导数的应用之曲线的切线问题专题讲义-2025届高三数学一轮复习

导数的应用 一、知识点、曲线的切线方程 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 二、典例 考点一：利用导数求函数式中的参数 例1．已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 又因为， 当时，，解得， 所以. 故选：D. 变式1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】对求导可得， 所以，所以， 故选：C 变式2．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由已知，所以，即． 故选：D． 变式3．已知函数（是的导函数），则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为 所以定义域为. 所以 当时，，，则 故选：A 考点二：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 例1．已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【解析】（1）由题意，故， 所以，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又在切线上，故或， 所以切线方程为或. 变式1．已知曲线方程 (1)求以点为切点的切线方程； (2)求过点与曲线相切的直线方程． 【解析】（1）由求导得， 则，所以以点为切点的切线方程是 （2）设切点坐标为， 则切线方程为，即， 代入，则，即， 解得或， 当时，所求直线方程为； 当时，切点，斜率为，所求直线方程为. 所以过点与曲线相切的直线方程为和 变式2．已知函数 (1)求的导数； (2)求曲线在点处的切线方程． (3)求曲线过点的切线方程 【解析】（1）由得，. （2），，故切线方程为. （3）设切点为， 因为切点在函数图像上，所以， 故曲线在该点处的切线为 因为切线过点， 所以，解得或 当时，，所以切线方程为， 当时，，所以切线方程为， 所以切线方程为或. 考点三：利用导数公式求切点坐标问题 例1．已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ． 【答案】 【解析】设切点为， 由，求导得，可得切线的斜率为， 因为切线倾斜角为，则斜率是1，即，解得， 故切点的坐标为. 故答案为：. 变式1．函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为 【答案】 【解析】设切点坐标为，由函数可得， 因为函数有一条斜率为2的切线，所以， 解得，所以切点坐标为， 故答案为：. 变式2．已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ． 【答案】 【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）. 考点：导数的几何意义 变式3．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为 【答案】或/或 【解析】由，若，则，可得， 所以，则，此时坐标为； ，则，此时坐标为； 故答案为：或 考点四：与切线有关的综合问题 例1．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 【答案】 【解析】由题意得，，设切点为， 则切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 解得，所以． 故答案为： 变式1．若直线为曲线的一条切线，则实数的值为 ； 【答案】 【解析】由，可得， 设切点为，则， 故切线方程为，即， 又因为切线为，所以， 解得，所以， 故答案为：. 变式2．若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】设切点为， 由，得， 可得切线的斜率为，① 又，② 联立①②解得，． 故答案为：1． 变式3．已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由，，由，当且仅当时，等号成立， 曲线所有的切线中斜率最小的切线的斜率，切点为， 所以切线方程为，整理可得. 故答案为：. 考点四：切线平行、垂直问题 例1．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得：，依题意，，解得， 即有，， 所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意. 故选：C 例2．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】函数，求导得：，则， 即函数的图象在点处的切线斜率为， 因为切线与直线垂直，有．所以. 故选：C 变式1．曲线在处的切线与直线平行，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由得， 因为曲线在处的切线与直线平行 所以，解得． 故选：C． 变式2．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，求导得， 于是得函数的图象在点处切线的斜率， 而直线的斜率为，依题意，，即，解得， 所以. 故选：C 考点五：最值问题 例1．抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为 【答案】 【解析】因为，所以， 令，得， 所以与直线平行且与抛物线相切的切点， 切线方程为，即， 由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离. 故答案为：. 变式1．曲线上的点到直线的距离的最小值为 【答案】 【解析】的定义域为， 求导得，令，解得，则，故切点坐标为， 故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为. 故答案为： 变式2．若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为 . 【答案】 【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小． 设切点为， ∴切线斜率为， 由题知，解得或(舍)． ∴，此时点到直线距离． 故答案为：． 变式3．已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是 【答案】 【解析】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2， 所以，解得， 则在点处的切线方程为，即 则与的距离即为的最小值， 即，故的最小值为. 故答案为： 考点五：公切线问题 例1．若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线与函数和的图象分别相切于点， 则由，得，令，得， 将代入中得， 由，得，令，得， 将代入中得， 所以． 故选：D 例2．已知函数，，若直线与曲线，都相切于点，则 ， ． 【答案】 【解析】易知，且， ∴，，化简得， 两边同时取对数得，， ∴，故应填； 将代入，得，∴， ∴，故应填． 故答案为：；． 例3．若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【答案】 【解析】设切点，则由，得， 由，得，则 解得. 故答案为：e. 变式1．已知函数，若直线l：与曲线相切，则实数 ． 【答案】/ 【解析】设切点为，由， 所以，由题意知：， 即，解得， 所以． 故答案为： 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的应用 一、知识点、曲线的切线方程 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 二、典例 考点一：利用导数求函数式中的参数 例1．已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 变式1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式2．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 变式3．已知函数（是的导函数），则（ ） A． B．1 C．2 D． 考点二：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 例1．已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 变式1．已知曲线方程 (1)求以点为切点的切线方程； (2)求过点与曲线相切的直线方程． 变式2．已知函数 (1)求的导数； (2)求曲线在点处的切线方程． (3)求曲线过点的切线方程 考点三：利用导数公式求切点坐标问题 例1．已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ． 变式1．函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为 变式2．已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ． 变式3．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为 考点四：与切线有关的综合问题 例1．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 变式1．若直线为曲线的一条切线，则实数的值为 ； 变式2．若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 . 变式3．已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为 ． 考点四：切线平行、垂直问题 例1．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 例2．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式1．曲线在处的切线与直线平行，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 考点五：最值问题 例1．抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为 变式1．曲线上的点到直线的距离的最小值为 变式2．若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为 . 变式3．已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是 考点五：公切线问题 例1．若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，，若直线与曲线，都相切于点，则 ， ． 例3．若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 变式1．已知函数，若直线l：与曲线相切，则实数 ． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$