精品解析：安徽省蚌埠市怀远县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若关于的函数是二次函数，则应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 2. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3. 若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 4. 将抛物线先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为， 故选D． 5. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 6. 若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 10或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．由于抛物线与轴有且只有一个交点，根据根的判别式，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴有且只有一个交点， ， 解得或2， 故选C． 7. 如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 已知点，和都在抛物线（）上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线，由可得抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 9. 如图，，，三点共线，与交于点，，若点是线段的黄金分割点（），则的周长的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，黄金分割．由得，由证明，然后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长之比， 而， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 易证， ， ． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是直线（随增大而增大）的一部分， （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质：比例中项的平方等于两条线段的乘积解答即可． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以c2=ab，即b2=3×6=18， 解得b=． 故答案为 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 12. 小明同学在校运动会铅球比赛中，某次掷铅球时，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则小明同学掷铅球的成绩是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，依据题意令，得到关于的方程，然后解方程并检验即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则，整理得：， 解得：（舍去），， ∴小明同学掷铅球的成绩是， 故答案为：． 13. 如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，利用割补法求解是解题的关键．先表示，再由建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 故答案为：16． 14. 如图，在等边中，点，分别是，边上的动点（不与边的端点重合），以为边向上作等边，与交于点，连接，． （1）图中与相似的三角形是______； （2）若，，则长度的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质证明，即可证明三角形相似； （2）过点作于点，设，则，将各边边长用含的代数式表示出来，得到，即可求出最小值． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点，设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最小值为84， 的最小值是． 故答案为：； 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知实数，，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令，，（），代入求解即可． 【详解】解：， 设，，（）， . 16. 已知，二次函数中的，满足如表． … 0 1 2 … … 2 … （1）求，，的值； （2）结合表格，直接写出满足什么条件时，随的增大而减小． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象与性质，正确求出函数表达式是解答的关键． （1）先由表格数据得到二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故设顶点式求解函数表达式，进而可求解； （2）根据表格数据和二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，当和时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设函数的表达式为，把代入， 得，解得， ． ，，； 【小问2详解】 解：由表格可知，二次函数图象的对称轴为直线，又， ∴当时，随的增大而减小． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．过点作于点，交于点，证明，得到，即，求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． （1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； （2）将向上平移个单位长度得到，请画出． 【答案】（1）即为所求： （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可； （）根据平移的性质即可画出； 本题考查了画位似图形和平移图形，掌握位似图形的性质和平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 【答案】（1）①；②； （2）证明：选取（1）①给予证明． 如图，过点作交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选取（1）②给予证明． 如图（见上图），过点作交于点， 由①得：， ∴， 由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【猜想】 【解析】 【分析】（1）根据［问题感知]即可得出①和②的结论； （2）选取（1）①给予证明．如图，过点作交于点，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论；选取（1）②可按同样的方法证明； ［猜想] 结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则， 故答案为：； ②若，则， 故答案为：； （2）略 ［猜想] 解：∵， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 20. 2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． （1）求与的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设一次函数表达式为（），根据题意列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设最大利润为元，根据题意得到，根据二次函数的性质计算即可． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为（）， 当销售单价为12元时，日销售量为76个；当销售单价为16元时，日销售量为68个， ， 解得， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：销售单价为元，进价为10元/个， 每个徽章的利润为元， 设最大利润为元， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为800元， 徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； （3）点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【小问1详解】 解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； 【小问3详解】 解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 七、（本题满分12分） 22. 如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ； （2） 证明：， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论； （2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ），当时，， 点坐标为， 当时，，解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形； （ⅱ）或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）略 （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若关于的函数是二次函数，则应满足（ ） A. B. C. D. 2. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 10或 7. 如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，和都在抛物线（）上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，三点共线，与交于点，，若点是线段的黄金分割点（），则的周长的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm． 12. 小明同学在校运动会铅球比赛中，某次掷铅球时，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则小明同学掷铅球的成绩是_____． 13. 如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为______． 14. 如图，在等边中，点，分别是，边上的动点（不与边的端点重合），以为边向上作等边，与交于点，连接，． （1）图中与相似的三角形是______； （2）若，，则长度的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知实数，，满足，求的值． 16. 已知，二次函数中的，满足如表． … 0 1 2 … … 2 … （1）求，，的值； （2）结合表格，直接写出满足什么条件时，随的增大而减小． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． （1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； （2）将向上平移个单位长度得到，请画出． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 20. 2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． （1）求与的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； （3）点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $