第01讲 一元二次方程 （知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 一元二次方程 【题型1一元二次方程的概念】 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 知识1： 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【题型1一元二次方程的概念】 【典例1】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（江苏省苏州市八校联考2024—2025学年上学期11月九年级数学试卷）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（17-18九年级上·四川自贡·期末）若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）若关于 的方程是一元二次方程，则 的取值范围为 ． 知识点2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】（24-25九年级上·四川凉山·期末）一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【变式3-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）方程化为一般形式后的的值分别为（   ） A．3，1，4 B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】（四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知是方程的一个解，则 ． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】（24-25九年级上·云南大理·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 5．（24-25九年级上·山西晋中·期中）在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．（24-25九年级上·河南商丘·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 【题型1一元二次方程的概念】 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 知识1： 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【题型1一元二次方程的概念】 【典例1】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，化简，得：，方程变为一元一次方程，不符合题意； D、，化简，得：，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【变式1-1】（江苏省苏州市八校联考2024—2025学年上学期11月九年级数学试卷）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可． 【详解】解：A．∵原方程可整理得，未知数的最高次数是1， ∴方程不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．∵方程含有两个未知数， ∴方程不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．方程是一元二次方程，选项C符合题意； D．∵方程不是整式方程， ∴方程不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【变式1-3】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 【变式2-1】（17-18九年级上·四川自贡·期末）若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）若关于 的方程是一元二次方程，则 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，形如，且、、是常数，解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 解得． 故答案为：． 知识点2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】（24-25九年级上·四川凉山·期末）一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是(a、b、c是常数且)，叫二次项、叫一次项，是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项分别为，． 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数，且）．在一般形式中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案． 【详解】一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1． 故选:A． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）方程化为一般形式后的的值分别为（   ） A．3，1，4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为， 故选：B． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得， 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，把代入方程可得到关于的方程，解方程可得的值，根据一元二次方程的定义，即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， 且， 解得，． 故选：B． 【变式4-2】（四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的运用，理解方程的解，代入计算即可求解，掌握一元二次方程的解得运用是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得，， 故答案为：9 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入一元二次方程即可得出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 则， 故答案为：． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】（24-25九年级上·云南大理·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的求值方法，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键，由是一元二次方程的解可得关于的方程，结合所求、变形方程即得答案． 【详解】解： 是一元二次方程的解， ， ， ， 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入一元二次方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ， ， ． 故答案为：2021． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键． 由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：化为一般式为， ∴一次项系数和常数项分别为1，， 故选：A． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期中）在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程解的定义得到，再整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2028． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为2025． 8．（24-25九年级上·河南商丘·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，掌握整体代入思想是解题的关键． 将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握基本概念是解题的关键． 根据一元二次方程的一般式，计算即可． 【详解】解：方程化成一元二次方程的一般形式是， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据方程解的定义得到，再将进行化简代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$