6.4.3 （第1课时）余弦定理（分层作业)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.3 第1课时 余弦定理 分层作业 1、 题型研究 题型1： 已知两边及一角解三角形 在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 题型2： 已知三边解三角形 已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3： 利用余弦定理判断三角形形状 在中，，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 2、 基础达标 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（    ） A．2 B． C． D． 4.在中，内角所对的边分别是，已知，则 A． B． C． D． 5.在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D．4 6.若的内角所对的边满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.锐角中，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 8.三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程的根则三角形的另一边长为（    ） A． B． C．52 D．13 3、 能力提升 1.在中，角的对边分别为，且，则等于（    ） A．1 B． C．2 D．3 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（    ） A． B． C． D． 4.在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（    ） A． B． C． D． 5.在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 7.已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 8.在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4、 直击高考 1.（2024高三上·全国·阶段练习）在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2.（2023高三上·山西·阶段练习）在中，，，，P为平面ABC内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4.（2023高三上·河南·阶段练习）在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3 第1课时 余弦定理 分层作业 1、 题型研究 题型1： 已知两边及一角解三角形 在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用，可得为锐角，然后求出，根据三角形内角和定理，求出的值． 【详解】解：，，， 由正弦定理， 可得，， ，为锐角，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 题型2： 已知三边解三角形 已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数的取值范围. 【详解】显然边长x<x+1,所以只需和的对角均为锐角即可，由余弦定理得： ，解得：． 故选：A 【点睛】已知三边，判断是锐角三角形还是钝角三角形的方法： ①如果一个三角形的最长边平方=其他两边的平方和，这个三角形是直角三角形； ②如果一个三角形的最长边平方>其他两边的平方和，这个三角形是钝角三角形； ③如果一个三角形的最长边平方<其他两边的平方和，这个三角形是锐角三角形； ④特别地：如果一个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形，也是锐角三角形。 题型3： 利用余弦定理判断三角形形状 在中，，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据三角形三边的性质，大边对大角，先利用余弦定理求出最大角的余弦值，进而判断三角形的形状即可. 【详解】在中，因为，则， 所以，由余弦定理可知： ， 所以角为钝角，则为钝角三角形， 故选：A. 2、 基础达标 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，可得，即. 故选：B 2.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接利用余弦定理，代入数值即可求解. 【详解】由余弦定理可得， ， 所以. 故选：B. 4.在中，内角所对的边分别是，已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由题结合三角形内角和定理可得B=C,进而b＝c＝2a，利用余弦定理即可得解． 【详解】解：已知：π﹣A＝2B，A+B+C＝π 则：B＝C， 所以：b＝c＝2a． 则：． 故选C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，余弦定理的应用．属于基础题. 5.在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆的半径. 【详解】由三角形的面积公式得，即，所以，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得. 故选：B 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角形外接圆半径的求法，属于基础题. 6.若的内角所对的边满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意和余弦定理，直接求解． 【详解】由，整理得：， 由余弦定理得：， 所以，解得， 故选：D． 7.锐角中，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】锐角三角形最大角为锐角，由于，所以的最大角是角或角，则且，利用余弦定理列式即可求得的取值范围 【详解】由于，所以的最大角是角或角， 则且 故. 故选：C. 8.三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程的根则三角形的另一边长为（    ） A． B． C．52 D．13 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设已知两边的夹角为．求出，再利用余弦定理求解. 【详解】设已知两边的夹角为．根据题意得或（舍去）， ∴三角形的另一边长为． 故选：A 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3、 能力提升 1.在中，角的对边分别为，且，则等于（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理直接求得. 【详解】由题意及余弦定理可得：,所以. 故选：A. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】 对原式化简得，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值. 【详解】，化简得， ， 当且仅当时等号成立， 故选：D. 3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理结合已知条件可得出，再利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， ，所以，， 由余弦定理可得， ，因此，. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 4.在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】首先利用正弦定理求出的值，进一步求出的值，最后利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】在中，已知，，， 利用正弦定理得：，解得：，， ， 则：， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题. 5.在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据条件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，，由余弦定理， 得到，即，解得， 由，得到， 又，所以， 故选：B. 6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由已知条件结合正余弦定理可得，再利用三角函数恒等变换公式可得结果. 【详解】由，得， 所以， 即， 所以，即， 所以．即． 故选：C 7.已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】将变成，然后根据取值范围分析即可 【详解】因为,所以 两边同除以,得 因为,所以.所以 即 所以为锐角,又为最大角,所以此三角形是锐角三角形 故选：A 8.在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，即， 所以 故选：B 4、 直击高考 1.（2024高三上·全国·阶段练习）在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理求得的长． 【详解】在中，由余弦定理有， 所以， 在中，由余弦定理有， 又，所以， 在中，由余弦定理有 ， 所以． 故选：B 2.（2023高三上·山西·阶段练习）在中，，，，P为平面ABC内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的坐标表示 【分析】由余弦定理解三角形得，取BC的中点O，连接AO，则，即可建立如图平面直角坐标系，由坐标法求最小值. 【详解】在中，由余弦定理得，即，解得， 取BC的中点O，连接AO，则. 以O为坐标原点，BC为轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 所以，，， 设，所以，， 所以，当且仅当，时等号成立， 即的最小值是. 故选：C. 3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【解析】根据题意，在中根据余弦定理，可求，再在中利用余弦定理，即可求. 【详解】中根据余弦定理， 即，整理为，解得， 在中利用余弦定理， ，所以. 故选：C. 4.（2023高三上·河南·阶段练习）在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【解析】根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为在中， 由正弦定理可得． 因为，可得， 即，即， 所以． 因为，可得，所以， 当且仅当，即，，时取“=”， 所以，即的最大值为. 故选：D． 【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$