6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 教学设计 1、 教学目标 1. 掌握平面向量加、减运算的坐标表示； 2. 会用坐标求两向量的和、差 3.通过利用平面向量的坐标表示进行平面向量加、减运算的坐标表示的过程。 2、 重点难点 教学重点：平面向量加、减运算的坐标表示； 教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。 3、 学情分析&教材分析 本节的主要内容包括平面向量的正交分解及坐标表 示与平面向量加、减运算的坐标表示.平面向量基本定理 实际上只是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定 了任意一个向量在两个不共线向量的基底上能进行唯一 分解, 建立坐标系才有了依据. 同时, 只有正确地构建向量 的坐标才能有向量的坐标运算, 如加减运算、数乘运算、数 量积等坐标运算. 通过这一节的学习, 可为不同层次的学 生搭建学习数学的基础平台且与后续的知识有着紧密的 联系. 本节所涉及的核心素养有:数学运算、数学抽象和逻 辑推理等. 上一节学生学习了平面向量基本定理,知道了平面上 任何一个向量, 都可以由不共线的两个向量合成. 不共线 的向量中, 垂直又是比较特殊的情况, 引出正交分解的概念,进而引出向量的坐标表示,有了坐标表示可以使向量 的运算完全代数化, 将数与形紧密结合起来, 整个过程是 层层推进的, 学生学习起来有较强的逻辑性, 学生比较容 易理解和接受. 4、 学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 5、 导入新知 1.1 复习回顾，温故知新 1.问题1：平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.问题2：用坐标表示向量的基本原理是什么？ 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y). 【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 2.情景引入、探索新知 问题3：如图，取与 轴、 轴同向的两个单位向量作为基底， 分别用 表示OA，OB，并求出它们的坐标. 问题4：向量的坐标呢？ 答案：法一：直接用定义对向量做正交分解 法二：把向量的起点移到原点的位置，终点C的坐标（4，-2）就是向量的坐标 问题5：能不能其他的方法进行求解呢？这就是我们今天要探索的向量坐标的简单运算 思考 已知，，你能得出，的坐标吗? 【答案】 【解析】 ， 即 同理可得 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）． 【设计意图】通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。 6、 应用新知 例4 已知， ，求，的坐标． 解：，． 探究：如图6.3-11，已知， ，你能得出的坐标吗? 如图，作向量，，则． 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【变式】设向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量减法的法则 【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】. 故选：B. 【感悟提升】求平面向量坐标的三种方法 (1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (3)作差法：用向量终点的坐标减去始点的坐标． 例5 如图6.3-13，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，求顶点的坐标． 解法1：如图6.3-13，设顶点的坐标为．因为，，又，所以．，解得． 所以顶点的坐标为． 解法．如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知 ． 所以顶点的坐标为． 你能比较一下两种解法在思想上的异同吗？ 【变式】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，则第四个顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、用坐标表示平面向量 【分析】设，由平行四边形ABCD可知，再利用坐标相等即可求解. 【详解】设，由平行四边形ABCD可知 又，，，， ，解得，即D点的坐标为 故选：B 【感悟提升】平面向量坐标的线性运算 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行计算． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行． 【设计意图】通过对例题进行变式，让学生体会不同题干对问题的影响，提高学生审题能力，此题有多种情况，可以提高学生分类讨论能力的培养，提高学生解决问题的能力。 7、 能力提升 题型一、平面向量加、减运算的坐标表示 【练习1】在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【解析】由向量的坐标运算可直接求得结果. 【详解】，     故选： 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 题型二、平面向量坐标运算的应用 【练习2】（1）如图所示，已知向量，，，，求作向量，.    （2）已知向量、的坐标分别是、，求，的坐标. 【答案】（1）答案见解析；（2）， 【知识点】向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）由平面向量减法的三角形法则计算；（2）利用平面向量坐标运算法则计算出答案. 【详解】（1）如图所示，图1为，图2为；    （2），. 反思感悟　1．进行向量坐标运算的常见方法 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数． 2．利用向量的坐标运算求参数的思路 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解． 8、 课堂总结 （一）平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (3)向量坐标的几何意义 如图所示，在平面直角坐标中，若A(x1，y1)，则＝(x1，y1)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． [点拨]　(1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关； (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． （二）向量坐标表示加减运算： （三）向量的坐标表示方法： 定义法：分别向坐标轴引垂线. 原点法：向量起点放到原点，终点的坐标 两点法：终点的坐标-起点坐标。 9、 作业设计 教材第 30 页练习第 题. 10、 板书设计 练习（第30页） 1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求，的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 1．解析：（1） ，． （2），． （3），． （4），． 2．在下列各小题中，已知，两点的坐标，分别求，的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 2．解析：（1）， （2）， （3）， (4) ， 3．若点，，，，则与有什么位置关系?证明你的猜想． 3．解析 证明：由点，，，， 得，，所以， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$