6.3.4&6.3.5平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示讲义【九大题型】-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 【例1】．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·四川成都·月考）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·吉林长春·月考）下列选项中，与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·福建福州·月考）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型二：由向量平行（共线）求参数 【例2】．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【举一反三】 1．（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例3】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·天津蓟州·月考）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 2．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 题型四：由坐标解决线段平行和长度问题 【例4】．（23-24高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【举一反三】 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 题型五：数量积和模的向量坐标运算 【例5】．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知向量． (1)若，求； (2)若，求的值； (3)当时，求的最小值． 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）平面内给定两个向量，； (1)求的坐标； (2)求以及. 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 题型六：向量垂直的坐标表示问题 【例6】．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，，若，则 . 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，，若，则 . 3．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知平面向量，若，则 . 题型七：向量垂直和数量积的参数问题 【例7】．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知向量，，若，则的值为 ． 1．（2023·河南·模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，若，则 . 题型八：向量的夹角问题 【例8】．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【举一反三】 1．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 2．（24-25高一下·天津·期中）已知，，则与的夹角的余弦值为 . 3．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. (1)用表示； (2)已知，求的余弦值. 题型九：平面向量数乘和数量积的综合问题 【例9】．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 2．（24-25高一下·广西梧州·月考）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且，求向量的夹角. 3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为，，已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若为锐角，求实数m的取值范围； (3)当时，求在方向上的投影向量的坐标. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东江门·模拟预测）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 10．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 11．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 三、填空题 12．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 13．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 四、解答题 16．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 17．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 18．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 19．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 【例1】．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 【举一反三】 1．（23-24高一下·四川成都·月考）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】只需判断与是否平行即可. 【详解】对于A，，所以此时与不平行满足题意，故A正确； 对于B，与平行，不满足题意，故B错误； 对于C，，与平行，不满足题意，故C错误； 对于D，，与平行，不满足题意, 故D错误． 故选：A． 2．（23-24高一下·吉林长春·月考）下列选项中，与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念与向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】A：，，故A不符合题意； B：，故B不符合题意； C：，故C符合题意； D：，故D不符合题意. 故选：C 3．（22-23高一下·福建福州·月考）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，为零向量，、不能作为基底，A不满足条件； 对于B选项，，，则，、不能作为基底，B不满足条件； 对于C选项，，，则，、不能作为基底，C不满足条件； 对于D选项，，，因为，则、不共线， 、能作为基底，D满足条件. 故选：D. 题型二：由向量平行（共线）求参数 【例2】．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 【举一反三】 1．（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型三：由坐标解决三点共线问题 【例3】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 【举一反三】 1．（24-25高一下·天津蓟州·月考）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 2．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【详解】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 题型四：由坐标解决线段平行和长度问题 【例4】．（23-24高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. （2）由（1）可知， ∴， ∴. （3），， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 题型五：数量积和模的向量坐标运算 【例5】．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知向量． (1)若，求； (2)若，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)26 (3) 【分析】（1）先根据向量垂直的坐标公式求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）先根据向量平行的坐标公式求出，再根据平面向量数量积的坐标公式即可得解； （3）根据平面向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，则，解得，即， 所以； （2）因为向量，且， 所以，解得，即， 所以； （3）当时，， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得即可得答案； （3）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； 【详解】（1）因为与共线， 所以，所以. （2）因为，， 所以， 可得， （3）由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）平面内给定两个向量，； (1)求的坐标； (2)求以及. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得； （2）首先求出，，，，再根据夹角公式及向量模的坐标计算公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）因为，， 所以，，，， 所以，. 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）首先求出，，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）设，则且，解得即可； （3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以． （2）设，则， 由得，即，解得或， 所以或． （3）因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 题型六：向量垂直的坐标表示问题 【例6】．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则 【答案】/0.5 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解，最后利用模的坐标形式求解即可. 【详解】∵，，∴. 由得，∴，解得， ∴，∴. 故答案为：. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，，若，则 . 【答案】 【分析】先求出，进而根据，由平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，∴,得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知平面向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量的垂直得知它们的数量积为0，然后将坐标代入化简即可求得的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1. 题型七：向量垂直和数量积的参数问题 【例7】．（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知向量，，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】将两边平方化简可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由，两边平方可得：， 化简可得得，所以，则． 故答案为：1 1．（2023·河南·模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案. 【详解】， 由向量与的夹角是锐角，，解得或； 且向量与不共线，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 【答案】/ 【分析】由垂直向量数量积以及数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据垂直向量的坐标表示和数量积进行求解即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 题型八：向量的夹角问题 【例8】．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得，根据模长的坐标计算即可求解； （2）利用向量平行的坐标表示即可求解； （3）根据，代入坐标运算即可； 【详解】（1）由题意得． 故 （2）， ． 因为，所以． 即，解得． （3）． 又． 故． 【举一反三】 1．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 2．（24-25高一下·天津·期中）已知，，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据向量夹角余弦公式直接求解即可. 【详解】设与的夹角的大小为， 故. 故答案为： 3．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. (1)用表示； (2)已知，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立平面直角坐标系，由向量的夹角公式和坐标运算可得. 【详解】（1）. （2） 以为原点，建立如图所示直角坐标系， 由，可得， 是边上的中线，则， 则，， 所以. 题型九：平面向量数乘和数量积的综合问题 【例9】．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得； （2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解. 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据投影向量的定义即可求解； （2）利用向量垂直的坐标运算即可求解； （3）根据题意由向量的数量积和共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以在方向的投影向量为. （2）由题意知：，， 因为，所以 即，解得. （3）， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 2．（24-25高一下·广西梧州·月考）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且，求向量的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算. （2）利用向量垂直的坐标表示，列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用夹角公式求解. 【详解】（1）由，得，所以. （2）依题意，，由， 得，所以. （3）依题意，，则，而， 解得，即，则， ，因此，又， 所以. 3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为，，已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若为锐角，求实数m的取值范围； (3)当时，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）借助向量平行的坐标关系运算即可得； （2）由锐角性质可得且，计算即可得； （3）借助投影向量定义计算即可得. 【详解】（1）由得， 由，则，即， 解得或； （2）由为锐角，则且， 即且与不同向共线，也即， 解得且； （3）当时，，， 因在方向上的投影向量为， 且，， 从而可得， 因此在方向上的投影向量为. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 5．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 6．（2025·广东江门·模拟预测）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的坐标运算及向量相等的充要条件得到方程，求出的坐标，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】设，又， 则，，， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 7．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示数量积，转化为二次函数求最值. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设，则，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 二、多选题 8．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用向量基底的定义，共线向量的坐标表示逐项判断即得. 【详解】对于A，，不共线，可作基底，A是； 对于B，，，不能作基底，B不是； 对于C，，不共线，可作基底，C是； 对于D，不能作基底，D不是. 故选：AC 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，故与共线，A错误；B选项，举出反例；C选项，根据向量平行所满足的坐标公式进行判断；D选项，先表达出，根据平行得到方程，求出，D错误. 【详解】A选项，因为，所以与共线，不可以作为平面内所有向量的一组基底，A错误； B选项，若与同向共线，则，若与反向共线，则，B错误； C选项，， 所以向量不平行，C正确； D选项，，若，，三点共线， 则，解得，D错误. 故选：ABD 10．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标运算判断C；利用向量线性坐标运算及模的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，向量，，则，即，，可知A正确； 对于B，， ，若，可得，即，所以时，，因此B正确； 对于C， ，，则，得， 平方化简得，此时，显然矛盾，所以不存在，使得，因此C错误； 对于D，若向量，，，则，可得； 当时，，平方化简得，因为，所以方程有解， 即，使得，因此D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，再利用基本不等式求解判断AD；求出投影向量判断B；求出模的范围判断C. 【详解】由，得，而，， 则，即，又，则， 对于A，， 当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，在上投影向量，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 13．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】因为， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则，，，， 因为点，为的中点，则，， 可得，，， 又因为点在边上运动(包含端点)，设， 则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 16．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 17．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 由，可得，即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 18．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 【详解】（1）因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2）由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此．又，则，所以与夹角为． （3）由（2）知，，则，因此，当且仅当时取等号． 所以最小值为． 19．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则，所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形，以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系，设，则， 则，则， 由，可得，解得，又，则， 即实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $