精品解析：海南省澄迈县2024—2025学年上学期九年级数学期中测试题

澄迈县2024年秋季九年级数学学科期中测试题 （考试范围：第二十一至二十三章；考试时间：100分钟；试卷满分：120分） 一、选择题：本题满分36分，共12个小题，每小题3分，共36分． 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点 A（﹣3，1）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A. （﹣3，1） B. （﹣3，﹣1） C. （3，1） D. （3，﹣1） 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 6. 用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，澄迈县大丰镇才存村大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2021年利润为200万元，2023年利润为288万元，设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率．下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 11. 如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（ ） A. B. C. 或3 D. 或 12. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 方程的解为 _______. 14. 二次函数的顶点坐标是 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，则的长为________． 16. 如图，在中，，，，可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，则的长为__，的长为__． 三、解答题：（本大题满分72分）． 17. 请选择适当的方法解方程． （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且．求证：； 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，， （1）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （2）将向下平移个单位长度，画出； （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______． 20. 某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月售出kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg． （1）当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润． （2）商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 21. 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求的最大值和点M的坐标； （3）在直线的上方，抛物线上是否存在点M，使四边形的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； （3）如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄迈县2024年秋季九年级数学学科期中测试题 （考试范围：第二十一至二十三章；考试时间：100分钟；试卷满分：120分） 一、选择题：本题满分36分，共12个小题，每小题3分，共36分． 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、不是一元二次方程，错误； B、符合一元二次方程的定义，正确； C、原式可化为x4+6x2=0，是一元四次方程，错误； D、是分式方程，错误． 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，点 A（﹣3，1）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A. （﹣3，1） B. （﹣3，﹣1） C. （3，1） D. （3，﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点 B 的坐标． 【详解】解：∵点 A 坐标为（﹣3，1）， ∴点 B 的坐标为（3，﹣1）．故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P′（﹣x，﹣y）． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．将代入方程即可求出答案． 【详解】解：将代入方程， ， 解得． 故选D． 6. 用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用一元二次方程配方法进行配方即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法，正确的配出一次项系数的一半的平方是解题的关键． 7. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，澄迈县大丰镇才存村大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2021年利润为200万元，2023年利润为288万元，设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率．下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用，准确理解题中的等量关系是解题的关键．根据增长率列出方程即可． 【详解】解：设该公司从2021年到2023年利润的年平均增长率， 故， 故选A． 8. 把抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．直接根据函数图象平移规律即可解答． 【详解】解∶ 抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是， 故选∶D． 9. 点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1， ∵-2＜0＜1， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 10. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 11. 如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（ ） A. B. C. 或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 12. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标和最大值（最小值）进行解答即可得． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴a、b异号， ∴b>0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴是， ∴， 则， ∴， 故②正确； 把点（4，0）代入得：， 又∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵a<0， ∴， 即， 故③正确； 当x=1时，该函数取得最大值，此时， 当点A（m，n）在该抛物线上，此时， ∴， 即， 故④正确； 综上，①②③④正确； 正确的有4个， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 方程的解为 _______. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0． ∴， 故答案为： 14. 二次函数的顶点坐标是 _____． 【答案】（4，1） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得． 【详解】解：由二次函数得，顶点坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键； 先由轴上点的横坐标为求出点坐标为，再将代入，求出的值，得出、两点的坐标，进而求出的长度． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， 点坐标为． 当时，， 解得． 点坐标为，点坐标为． ． 故答案为： 16. 如图，在中，，，，可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，则的长为__，的长为__． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形性质及应用，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． 先计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，即可计算出，则，从而计算即可． 【详解】解：，， ， ， 可以由绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， ， ， ， ． 故答案为：4；6． 三、解答题：（本大题满分72分）． 17. 请选择适当的方法解方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，解一元二次方程，整式的乘法，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，绝对值进行计算，再进行加减运算即可； （2）根据单项式乘以多项式，平方差公式展开，再根据整式的加减运算计算即可； （3）直接根据开平方法解一元二次方程； （4）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 解： 或 ，； 【小问4详解】 解： 解得：，． 18. 如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且．求证：； 【答案】 证明：如图，四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据正方形的性质证明，再根据证明结论即可． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，， （1）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （2）将向下平移个单位长度，画出； （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，进而可得答案． 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求， 由图可得，点的坐标为， 故答案为：． 20. 某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月售出kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg． （1）当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润． （2）商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）销售单价定为60元时，月销售量为千克，销售利润为9000元 （2）销售单价应定为60元 （3）当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元． 【解析】 【分析】（1）根据月销售利润每千克的利润数量就可以表示出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，把代入解析式就可以求出销售利润，由售价与销售量的关系就可以求出月销售量； （2）当时，代入（1）的解析式求出结论即可； （3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论． 【小问1详解】 解：设销售单价为x，由题意，得， ． 当元时，月销售量为：(千克)； 销售利润为：（元）． 答：销售单价定为60元时，月销售量为千克，销售利润为9000元； 【小问2详解】 解：由题意，得 ， 解得：，． 为了让顾客得到更多实惠舍去，取， 答：销售单价应定为60元； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴y有最大值． ∴当时．y最大元． 答：当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，一元二次方程的应用，解答时求出函数的解析式是关键． 21. 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求的最大值和点M的坐标； （3）在直线的上方，抛物线上是否存在点M，使四边形的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）有最大值为4，；（3）存在，、 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）连接，设，根据，利用函数的最值解答； （3）先求出三角形的面积，根据，得到当四边形的面积为15时，，，即，解方程求出m的值，判断m的值是否使点M在直线的上方的抛物线上，即可得到答案． 【详解】解：（1）将点、、代入中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接，设， ∵、， ∴,， ∴ =， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，且最大值为4， 此时点M的坐标为； （3）存在 ∵、、， ∴， ∴， ∵， ∴当四边形的面积为15时，， ∴，即， 解得， 当时，；时，， ∴存在点、，使四边形的面积为15． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象与几何图形面积问题，三角形的面积公式，正确掌握二次函数的基础知识并应用解决问题是解题的关键． 22. 在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； （3）如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， 又由旋转可得，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：过点E作，交于点H， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和图形旋转的性质，可证明，可得，进一步可证结论； （2）过点E作，交于点H，可证明，，，由此可得，所以可得，即得，同时又可证明，因此可得； （3）取的中点P，连结，先根据三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质，证明点M在边上的高上，然后根据勾股定理分别求出和的值，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为．理由如下： 取的中点P，连结， 点M是的中点，， ，， ， ， ， ， 点M在边上的高上， ，， ， ， ， ， ， ， 同时可得， 点N是的中点， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $