专题2.1 二元一次方程组（4大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 二元一次方程组（4大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【知识点3】实际问题与二元一次方程组 【知识点4】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）． 知识点与题型目录 【考点一】二元一次方程组及有关概念 【题型1】二元一次方程（组）的定义............................................3 【题型2】二元一次方程（组）的解..............................................4 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】代入消元法解二元一次方程组..........................................6 【题型4】加减消元法解二元一次方程组..........................................7 【题型5】整体消元法解二元一次方程组..........................................9 【题型6】换元消元法解二元一次方程组.........................................11 【题型7】二元一次方程组错题复原问题.........................................15 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题...........................17 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组...................................................19 【考点四】二元一次方程组的应用 【题型10】销售与利润问题....................................................21 【题型11】行程、工程问题....................................................22 【题型12】方案、古代问题....................................................25 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型13】直通中考..........................................................28 【题型14】拓展延伸..........................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二元一次方程（组）的定义 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程．”判断即可． 本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题关键． 解：A、是二元一次方程组，此项符合题意； B、方程组中的第二个方程不是整式方程，此项不符合题意； C、是二元一次方程组，此项符合题意； D、是二元一次方程组，此项符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得，求解即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 解：把代入方程， 得， ． 【变式1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可． 解：将方程的解代入方程得： ，解得：， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 【例3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 解：（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出．将看作已知数求出即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组： （1） （2）． 【答案】（1） ；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）整理方程组，再用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加得到得，解得．再求出即可． 解：（1）解： 整理，得 ①-②，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以原方程组的解是 （2） ①+②，得，解得． ②-①，得，解得， 所以原方程组的解是 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了加减消元法．根据加减消元法的步骤进行解答即可． 解： 得到，， 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 把两个方程相加，得，结合，即可求解． 解：， ，得，即 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【题型5】整体消元法解二元一次方程组 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可． 解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 【变式1】（22-23七年级下·山西晋城·期末）解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用代入消元法解二元一次方程组，由①得，用含的代数式表示出，再将代入方程②，消去，可得到的值．能够正确代入并化简是解题的关键． 解：， 由①得：， 把③代入②得：， ∴． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ． 【答案】 17 【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答； 解：（1）解：代入式即可得到，进而得到， 故答案为； （2）解：， ②得：， ③②得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 【题型6】换元消元法解二元一次方程组 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 解：（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 【变式1】（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： （1）方程组的解是，则方程组的解是______； （2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 解：（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 解：（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 【题型7】二元一次方程组错题复原问题 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解． 解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 由①，得③， 把③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解．原因：由①，得，它与②矛盾，所以原方程组无解．若关于的方程组无解，则a，b需满足的条件是 ． 【答案】且 解：提示：易得可转化为．因为原方程组无解，所以解得所以需满足的条件是且． 【题型9】解三元一次方程组 【例9】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 解：（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得． 解：由题意得：或，且明文互为相反数， ∴，，即， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型10】销售与利润问题 【例10】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每件A型航模元，每件B型航模元；（2）张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 解：（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 【变式1（2025七年级下·全国·专题练习）某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值． 解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得： ， 解得：， ∴第一次购进箱，第二次购进箱， ∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型11】行程、工程问题 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】（1）甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；（2）小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 解：（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见分析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 【变式3】（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 【题型12】方案、古代问题 【例12】（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． （1）求七年级师生的总人数； （2）已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 【答案】（1）480人；（2）方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可； （2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得： ， 解得：， 答：七年级师生的总人数为480人． （2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为非负整数， ∴或或， 满足条件的所有租车方案有： 方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆； 方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆； 方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆； 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， 方案三费用：（元）， ∵， ∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱． 【变式1】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论，即可． 解：设购买了个篮球，购买了个足球， ∴， 整理得：且，为正整数， 当时，；当时，；当时，； ∴该社团共有种购买方案． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【答案】624个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： 法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可； 法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得， 解得：， 答：寺内有624个和尚；                                  法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得： ，解得， 所以 答：寺内有624个和尚． 【变式3】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 解：由题意得： ， 故选：A． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 【例2】（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是 元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是 元． 【答案】 79 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程组的应用，正确求解二元一次方程的整数解及利用整体思想求解二元一次方程组是解题的关键． 设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，则可求出每种款式簪花各种花的用量，再根据三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为，可列出方程，化简得，可求得x与y的值，即可进一步求得答案； 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，可列方程组，求解方程组得，将此解代入计算，即得答案． 解：设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝， 则三款簪花的用量可列表为： A款 B款 C款 丁香花（枝） 3 x 海棠花（枝） 2 y 玉兰花（枝） 2 y 所以， 化简，得， ，， 可求得方程的正整数解为， 故C款簪花的成本是（元）； 故答案为：； 同时，A款簪花的成本是（）元，B款簪花的成本是（）元， 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元， 则， ，得， ， 将代入①，得， 解得， ， 故C款簪花的成本是79元． 故答案为：  79． 【例2】（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． （1）小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； （2）原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】（1）见分析；（2）有5种购买方案，当时，，花费最高 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 解：（1）解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． （2）解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二元一次方程组（4大知识点5大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【知识点3】实际问题与二元一次方程组 【知识点4】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）． 知识点与题型目录 【考点一】二元一次方程组及有关概念 【题型1】二元一次方程（组）的定义............................................3 【题型2】二元一次方程（组）的解..............................................3 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】代入消元法解二元一次方程组..........................................4 【题型4】加减消元法解二元一次方程组..........................................4 【题型5】整体消元法解二元一次方程组..........................................4 【题型6】换元消元法解二元一次方程组..........................................5 【题型7】二元一次方程组错题复原问题..........................................6 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题............................6 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组....................................................7 【考点四】二元一次方程组的应用 【题型10】销售与利润问题.....................................................7 【题型11】行程、工程问题.....................................................8 【题型12】方案、古代问题.....................................................9 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型13】直通中考...........................................................9 【题型14】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二元一次方程（组）的定义 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 【例3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： （1） （2） （3） 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组： （1） （2）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 【题型5】整体消元法解二元一次方程组 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【变式1】（22-23七年级下·山西晋城·期末）解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ． 【题型6】换元消元法解二元一次方程组 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： （1）方程组的解是，则方程组的解是______； （2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【题型7】二元一次方程组错题复原问题 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解．原因：由①，得，它与②矛盾，所以原方程组无解．若关于的方程组无解，则a，b需满足的条件是 ． 【题型9】解三元一次方程组 【例9】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： （1） （2） 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 【题型10】销售与利润问题 【例10】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【变式1（2025七年级下·全国·专题练习）某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 【题型11】行程、工程问题 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【变式3】（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【题型12】方案、古代问题 【例12】（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． （1）求七年级师生的总人数； （2）已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 【变式1】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【变式3】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是 元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是 元． 【例2】（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． （1）小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； （2）原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$