精品解析：浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题

台州市2024学年第一学期高二年级期末质量评估试题 数学 2025.01 命题：丁君斌（台州市第一中学） 王智宇（台州市路桥中学） 审题：陈清妹（台州中学） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一般式方程为，则（ ） A. 直线的截距式方程为 B. 直线截距式方程为 C. 直线的斜截式方程为 D. 直线的斜截式方程为 3. 已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为2 B. 椭圆的焦点坐标为 C. 椭圆关于直线对称 D. 当点在椭圆上时， 4. 设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，，若直线与平面所成角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. ，数列为递增数列 B. ，使得数列为递减数列 C. 及正整数，使得成等比数列 D. ，数列的最小项为 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线 C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线 10. 对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，为平面内的动点，则（ ） A. 平面 B. 平面与平面所成角的正切值为 C. 若与所成角为，则点的轨迹为圆 D. 周长的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则__________. 13. 已知曲线，则该曲线的一条对称轴方程为__________.（写出满足条件的一个方程即可） 14. 用表示两数中的较大者，记，若，则的取值范围是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 17. 设函数，数列满足：. （1）若，求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 18. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 19. 把元有序实数组称为维向量，类似平面向量与空间向量，对于维向量，也可定义两个向量的加法运算和减法运算；数乘运算；向量的长度（模）；两个向量的数量积（表示向量的夹角，）；向量在向量上的投影向量的模维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间. （1）已知，求向量的夹角的余弦值； （2）已知4维向量，，且，求最小值； （3），求的最大值（用含的式子表示）. （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2024学年第一学期高二年级期末质量评估试题 数学 2025.01 命题：丁君斌（台州市第一中学） 王智宇（台州市路桥中学） 审题：陈清妹（台州中学） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点在平面上射影点的坐标特点，即可确定在平面内射影坐标. 【详解】点在平面内射影，只需即可，∴在平面内射影的坐标为. 故选：C 2. 已知直线的一般式方程为，则（ ） A. 直线的截距式方程为 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜截式方程为 D. 直线的斜截式方程为 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【详解】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 3. 已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为2 B. 椭圆的焦点坐标为 C. 椭圆关于直线对称 D. 当点在椭圆上时， 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 4. 设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题中已知条件计算出等比数列公比，然后计算的值即可. 【详解】因为，所以 所以， 故选：D 5. 台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 6. 在四面体中，，若直线与平面所成角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解. 【详解】由，得，，两两垂直. 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，设， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 则；， 设直线与平面所成角为， 则，，解得， ∴. 故选：B. 7. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. ，数列为递增数列 B. ，使得数列为递减数列 C. 及正整数，使得成等比数列 D. ，数列的最小项为 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，再结合二次函数分析单调性，即可求解. 【详解】由已知可得：， ， 要使得数列为递增数列，则当时，满足， 即，故A错误； 由可得：， 根据一次函数单调性可知数列为递增数列，故B错误； 不妨令，则 满足，此时成等比数列，故C正确； ， 要使得数列的最小项为，则需要满足， 解得，故D错误； 故选：C. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线 C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线 【答案】AD 【解析】 【分析】分，，，，多种情况分别对进行变形，对照圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程即可做出判断. 【详解】若，，表示以为圆心，半径为的圆,故A正确，但C不正确； 若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形；若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形.故B不正确； 若，则表示焦点在轴上的双曲线；若，则表示焦点在轴上的双曲线.故D正确. 故选：AD. 10. 对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照数列的递推公式进行计算，并根据周期数列的定义逐一验证即可判断. 【详解】对于A，，数列是周期为2的周期数列，故A正确； 对于B，由递推公式，， 数列是周期为3的周期数列，故B正确； 对于C，当为偶数时，，满足，当为奇数时，，从而不存在正整数，使得， 则数列不是周期数列，故C错误； 对于D，当为奇数时，，则，，， 当为偶数时，，则，，， 所以数列是周期为4的周期数列，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，为平面内的动点，则（ ） A. 平面 B. 平面与平面所成角的正切值为 C. 若与所成角为，则点的轨迹为圆 D. 周长的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面的位置关系、线线所成角、面面所成角、点关于面的对称点及最短距离的问题.对于A，计算得可判断；对于B，计算得，再求即可判断；对于C，由题意设，则，由，根据化简结果即可判断；对于D，求出关于平面的对称点为，计算即得周长的最小值. 【详解】 在正方体中建立如图所示空间直角坐标系， 则， ，， ∵，，所以是平面的一个法向量. 对于A，，，∴与平面不平行，故A不正确； 对于B，因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，故,,，故B正确； 对于C，因为为平面内的动点，设，则，，由，得，即，， ， 即，化简得. 故C正确； 对于D，设关于平面的对称点为， ∴平面，且的中点在平面上， ∴∥， 又， ∴，解得，∴. 则，，∴周长的最小值为.故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的方程及离心率求解即可. 【详解】由双曲线可知，， 又，所以， 所以，解得，即. 故答案为：2 13. 已知曲线，则该曲线的一条对称轴方程为__________.（写出满足条件的一个方程即可） 【答案】（答案不唯一､均可） 【解析】 【分析】根据求由曲线方程特征判别曲线对称性的方法求解即可. 【详解】用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 将互换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换同时用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称. 故答案为：（答案不唯一､均可） 14. 用表示两数中的较大者，记，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】我们先分别计算出，因为，里面两个式子一个是一次型，一个是指数型，利用两个函数的图象可知，增大时，指数型的增长加快，故可先讨论取指数型的值，其余为一次型的值，接着依次判断取指数型的值，其他为一次型的值，逐一判断即可. 【详解】由题可知，，，，， 当时，即，易知，显然不成立； 当，且时，即时， 得，显然不成立； 当，且时，即时，， 要使，则，解得，所以有； 当时，显然； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为在指数型函数与一次型函数都是递增的情况下，自变量变大时，指数型增长速度总有一个时候比一次型快，所以指数型的值如果开始比一次型的小，也在自变量足够大的时候指数型的函数值会大于一次型的函数值,故只需从开始按照两个值的大小分类讨论即可！ 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得. 【小问1详解】 由题意得，圆心在直线上， 即, 解得. 【小问2详解】 圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. 16. 如图，直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故 ； 【小问2详解】 由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17. 设函数，数列满足：. （1）若，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）代入化简可得，即可根据为等比数列求解， （2）根据为等差数列可求解，即可利用错位相减法求解. 【小问1详解】 得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，化简得， 因为，所以的通项公式为； 【小问2详解】 ， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ， ， ， 两式相减得， 所以， 故. 18. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）或. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. 【小问2详解】 ①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 19. 把元有序实数组称为维向量，类似平面向量与空间向量，对于维向量，也可定义两个向量的加法运算和减法运算；数乘运算；向量的长度（模）；两个向量的数量积（表示向量的夹角，）；向量在向量上的投影向量的模维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间. （1）已知，求向量的夹角的余弦值； （2）已知4维向量，，且，求的最小值； （3），求的最大值（用含的式子表示）. （注：） 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）求出、，代入可得答案； （2）求出的坐标，设，求出，由，得可得答案； （3）解法1：设，表示向量在上投影向量的模，设以为法向量的“平面”为，设与“平面”夹角为，由求出得可得答案； 解法2：由对任意恒成立，取，再由，得，可得答案. 【小问1详解】 ， ， 所以， 所以向量的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 ， 设， 则有 由， 得， 故的最小值为；当且仅当时取等； 【小问3详解】 解法1：设， 表示向量在上投影向量的模. 下求该投影向量模的最大值， 设以为法向量的“平面”为， 因为，所以在“平面”内， 设与“平面”夹角为， 向量在上投影向量模的最大值为在“平面”投影， 故 ， ， 所以， 故的最大值为； 解法2：因为，所以对任意恒成立， 取， 由， 得， 当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是设， 表示向量在上投影向量模，转化为求该投影向量模的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $