第13讲 一次函数与反比例函数综合（12题型）（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第13讲 一次函数与反比例函数综合（12题型）（10~15分） （思维导图+12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数与反比例函数综合 ►题型01 一次函数与反比例函数图像综合 ►题型02 求不等式解集 ►题型03 一次函数与反比例函数性质综合 ►题型04 已知面积求参数 ►题型05 求面积 ►题型06 最值问题 ►题型07 存在性等腰三角形 ►题型08 存在性直角三角形 ►题型09 存在性相似 ►题型10 存在性平行四边形 ►题型11 存在性矩形 ►题型12 存在性菱形 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数与反比例函数要求 · 综合性强，涉及相关知识点多，考查综合能力。 2024省卷8题， 反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的综合题等.常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 1. 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 2. 反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 3.(1)掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积:. (2)解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想: (3)涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题; (4)反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数与反比例函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． ►题型01 一次函数与反比例函数图像综合 【例1】（2022·山东滨州·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式1-1】（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C 【变式1-2】（2023·山东潍坊·一模）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：根据题意可得，一次函数表达式为， A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（2021·山东菏泽·模拟预测）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点，依次判断，即可求解， 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限． 【详解】解：当时，，在一、二、四象限，在二、四象限，只有B符合， 当时，，在二、三、四象限，在一、三象限，无选项符合， 故选：B． ►题型02 求不等式解集 【例2】（2022·山东东营·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（    ） A．或B．或C．或 D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或， 故选A． 【变式2-1】（2024·山东济南·一模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 当时，的取值范围是或， 故选：A． 【变式2-2】（2022·山东淄博·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 根据反比例函数图象的特点得出点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2， 点的横坐标为． 由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， 当时，的取值范围是或． 故选：A． 【变式2-3】（2022·山东济南·一模）如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象，可得不等式的解集为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，则不等式的解集为或， 故选：D． ►题型03 一次函数与反比例函数性质综合 【例3】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点，直线与和分别交于点，，下列说法中错误的是（   ） A．两函数图象的交点的坐标为 B．当时， C．当时， D．当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及反比例函数的性质，A联立两函数解析式求解即可得出答案；B．观察函数图象，可找出当时，．C．利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出；D．利用正比例函数的性质及反比例函数的性质，可得出答案． 【详解】解：A，解得：或（舍去） ∴点A的坐标为，说法正确，故选项A不符合题意； B．观察函数图象，可知∶当时，，原说法错误，故选项B符合题意； C．当时，，，∴点B的坐标为，点C的坐标为，，原说法正确，故选项C不符合题意； D∵，∴当x逐渐增大时，随着x的增大而增大； ∵，且， ∴当x逐渐增大时，随着的增大而减小，原说法正确，故选项D不符合题意， 故选∶B． 【变式3-1】（2024·山东潍坊·一模）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴、x轴分别交于C，D两点，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D．连接，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角函数； 先求出，，即可判定A、B，再根据图象即可判断C，求出即可判断D； 【详解】令一次函数中分别为0， 解出， ，A错误； ， ，B错误； 根据图象可得，当或时，，C错误； ， 即，D正确； 故选：D． 【变式3-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为 C．当时，最大值为1 D．若，则 【答案】D 【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。 【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为， 把代入得，， ，选项错误，不符合题意； B、当时，， 另一个交点坐标为：， 直线解析式为：，分别代入，，得： ， 解得， ，选项错误，不符合题意； C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意； D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】．（2022·山东济南·二模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，B两点，给出下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，随x的增大而减小.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据待定系数法，可得k，k 的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据观察图象，可得答案；③根据图象间的关系，可得答案；④根据反比例函数的性质，可得答案． 【详解】因为正比例函数和反比例函数的图象交于，B两点，所以，，，所以结论①不正确；对于②，由题中图象，可知当时，，所以结论②正确；对于③，由题中图象，可知当时，或，所以结论③不正确；对于④，因为，所以当时，y，随x的增大而减小，所以结论④正确.故选C. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于利用待定系数法求解. ►题型04 已知面积求参数 【例4】．（2023·山东菏泽·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，的面积是，则k的值为（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设直线与y轴的交点为点E，根据一次函数图像上点的特征以及，即可得出BD的长度，进而可求出点B的坐标，根据反比例函数上点的特征即可得出反比例函数系数k的值． 【详解】解：设直线与y轴的交点为点E，如图所示． 令直线中，则，解得， 令，则，即， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∵， ∴，解得． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，则，解得， ∴点B的坐标为，∴． 故选：B． 【变式4-1】．（2022·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、一次函数与几何综合，过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解． 【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，    ∴， ∴， ∴， 设B点坐标为，则， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴A点坐标为， 根据题意得， 解得， 故选：B． 【变式4-2】．（2022·山东聊城·模拟预测）已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点轴于点如图，若的面积等于2，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的面积等于2，求出a的值，从而求出点M坐标，再根据M点在正比例函数的图象与反比例函数的图象上，将点M坐标代入求解即可． 【详解】轴，点 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 解得： 故选：A． 【变式4-3】．（2024·山东德州·一模）如图，交双曲线于点，且，轴，轴，若的面积是8，则的值是（    ） A．18 B．36 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的几何意义，作轴于，证明，求出，得出，再结合反比例函数的几何意义即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ，， ， 轴，轴， ，， ， ， ， ，， ， 故选：B． ►题型05 求面积 【例5】．（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是    【答案】8 【分析】先求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式，进而可求出点的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵， ∴， 把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴， 如图，延长交x轴于点F，    设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 故答案为：8． 【变式5-1】．（2022·山东菏泽·二模）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，则△ABC的面积等于 ． 【答案】6． 【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC=3，则易得S△ABC=6． 【详解】∵双曲线y=与正比例函数y=kx的图象交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC， ∵S△AOC=×6=3，∴S△ABC=2S△AOC=6． 故答案为6． 【变式5-2】．（2022·山东德州·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，，连结交的图像于点，若是的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，根据相似三角形的性质，反比例系数与几何图形面积的计算方法可得，设，则，根据点是中点，且在反比例函数的图象上，可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点是中点，且在反比例函数的图象上， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】．（2022·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． ►题型06 最值问题 【例6】．（2022·山东东营·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入一次函数解析式求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点的坐标； （2）利用图象法求解即可； （3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，再求出直线的解析式即可求出点的坐标，由，，，可求出、的值，最后根据的周长为． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 联立， 解得： 或， ； （2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方， 当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示． 点， 点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 直线的表达式为， 在中，令，则， 点， ，，， ，， 的周长为．    【变式6-1】．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，过点B作轴于点C，，点在反比例函数的图象上．    (1)连接，求的长； (2)在x轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求函数解析式、两点坐标距离公式最短路径问题，熟练掌握将军饮马求最值是关键． （1）根据题意先求出反比例函数解析式，再求出点D坐标，由两点坐标距离公式计算即可； （2）作出点D关于x轴的对称轴，则，连接交x轴于点P，此时，最小，先求出直线解析式，利用解析式求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A， ∴当时，由得， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B的横坐标为1， 当时，， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，则， ∴； （2）解：在x轴上存在点P，使的值最小 如图，作出点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时，的值最小，    设直线解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线解析式为， 由得， ∴P． 【变式6-2】．（2022·山东淄博·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图像交于点M，过M作轴于点H，且． (1)请直接写出k的值； (2)设点是反比例函数图像上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)存在， 【分析】（1）)对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可； （2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P，此时PM+PN最小，由N与N1关于y轴的对称，根据N坐标求出N1坐标，设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN1的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标． 【详解】（1）由可得，即， ， ， 轴， 点M的横坐标为2， 点M在直线上， 点M的纵坐标为3，即， 点M在反比例函数的图像上， ； （2）∵点在函数的图像上， ∴，即点N的坐标为， 作N关于y轴的对称点，连接，交y轴于P（如图），此时最小， ∵N与关于y轴的对称，N点坐标为， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，把M，的坐标得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴P点坐标为． 【变式6-3】．（2023·山东德州·模拟预测）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可； 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得，， 所以反比例函数解析式是； （2）存在点P使△ABP周长最小，理由： 解和得， 和， ， 和， ， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小， △ABP的周长= ， ， ， ． 【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键． ►题型07 存在性等腰三角形 【例7】．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点． （1）求点A的坐标和k的值； （2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为（2，2），k=4；(2) 在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形． 【详解】试题分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=3x-4上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果． 试题解析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN． 设点A的坐标为（a，a）， ∵点A在直线y=3x-4上， ∴a=3a-4， 解得a=2， 则点A的坐标为（2，2）， ∵双曲线y=也经过A点， ∴k=4； （2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形． 过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点， 则△APQ为所求作的等腰直角三角形． 理由：在△AOP与△ABQ中， ∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ， 在△AOP和△ABQ中 ， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形． ∵B（4，0）， ∴Q（4，1）， 经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形． 考点：反比例函数综合题. 【变式7-1】．（2022·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B． (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出当x<0时，的解集． (3)若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)﹣3<x<0 (3)点P坐标为或 【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F．根据点A和点C坐标求出OA和OC的长度，根据全等三角形的判定定理和性质求出FB和FC的长度，进而求出点B的坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，进而得到反比例函数解析式． （2）根据题意使用数形结合思想即可． （3）根据等腰三角形ACP的腰的情况进行分类讨论，再根据线段的和差关系和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点B作BF⊥x轴于点F． ∵，， ∴OA=2，OC=1． ∵∠BCA=90°， ∴∠BCF+∠ACO=90°． ∵∠COA=90°， ∴∠CAO+∠ACO=90°． ∴∠BCF=∠CAO． ∵BF⊥x轴， ∴∠BFC=90°． ∴∠BFC=∠COA=90°． ∵BC=CA， ∴△BFC≌△COA． ∴FB=OC=1，FC=OA=2． ∴FO=FC+OC=3． ∴点B的坐标为（﹣3，1）． 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得． 解得m=﹣3． ∴反比例函数解析式为． （2）解：结合点B的坐标及图象可知在x<0的情况下，当x>-3时，反比例函数图象在一次函数图象的上方． 所以当x<0时，的解集为：﹣3<x<0． （3）解：分三种情况求解，如下图所示． ①当AP=AC时． ∵点P在y轴正半轴， ∴P1符合要求，P2不符合要求． ∵A（0，2），C（﹣1，0）， ∴． ∴． ∴． ∴． ②当AC=CP时，P3在y轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点P与点A重合，不符合题意，故AC=CP时，不存在． ③当PA=PC时，设P4（0，m）． ∴． ∴P4C=P4A=OA－P4O=2－m， ∵， ∴12+m2=（2－m）2． 解得． ∴． 综上所述，点P坐标为或． 【变式7-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点在上， ∴， ∵，都在一次函数的图象上，代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵直线与x轴交于点C，如图1， ∴， ∴， ∵A的坐标为，B的坐标为， ∴ ； （3）①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 作轴于点E，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可求； ③当时 设， 则， 解得， ∴． 同理可求． 综上可知，点P的坐标为． 【变式7-3】．（2024·山东东营·模拟预测）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． ►题型8 存在性直角三角形 【例8】．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， (2)①②存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论； （2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论； ②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）①设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； ②存在，理由如下； 设点， 则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 即， 解得或． 故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形， 此时点的坐标为或． 【变式8-1】．（2024·山东济南·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．    (1)求一次函数与反比例函数表达式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)存在，，或，或或． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论； （2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论； （3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）将代入的得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）过作轴于点，过作轴于点   ，，，， 的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积， 的面积梯形的面积； （3）延长交反比例函图象于点， 点与点关于原点对称， ， 设， ，，， ①当时，， ， 解得， ，或，； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，，或，或或． 【变式8-2】．（2022·山东济南·二模）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-；一次函数的解析式为y=-x+2； (2)S△AOB=9； (3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-，0）． 【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=-；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=-x+2； （2）先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到△AOB 的面积； （3）过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，可得P1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为（-，0），于是得到满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：将A（-3，4）代入y=，得m=-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y=-； 将B（6，n）代入y=-，得6n=-12， 解得n=-2， ∴B（6，-2）， 将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得 ， 解得， ∴所求的一次函数的解析式为y=-x+2； （2）解：当y=0时，-x+2=0， 解得：x=3， ∴C（3，0）， ∴S△AOC=×3×4=6，S△BOC=×3×2=3， ∴S△AOB=6+3=9； （3）解：存在． 过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图， ∴∠AP1C=90°， ∵A点坐标为（-3，4）， ∴P1点的坐标为（-3，0）； ∵∠P2AC=90°， ∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°， ∴∠AP2P1=∠P1AC， ∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1， ∴，即， ∴P1P2=， ∴OP2=3+=， ∴P2点的坐标为（-，0）， ∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-，0）． 【变式8-3】．（2022·山东济南·一模）如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或  P（0，﹣1） 【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解； （2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解. 【详解】（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2， ∴A（1，2）， 把A（1，2）代入反比例函数y=， ∴k=1×2=2； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C， ∴C（3，0）， 设P（x，0）， ∴PC=|3﹣x|， ∴S△APC=|3﹣x|×2=5， ∴x=﹣2或x=8， ∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：联立， 解得：或， ∴B点坐标为（2，1），    ∵点P在y轴上， ∴设P（0，m）， ∴AB=，AP=，PB=, 若BP为斜边， ∴BP2=AB2+AP2 ， 即 =2+， 解得：m=1， ∴P（0，1）； 若AP为斜边， ∴AP2=PB2+AB2 ， 即 =+2， 解得：m=﹣1， ∴P（0，﹣1）； 综上所述：P（0，1）或  P（0，﹣1）. ►题型9 存在性相似 【例9】．（2023·山东泰安·二模） 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，P点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两个函数的表达式建立方程，求出点、的坐标，再根据一次函数求出点的坐标，进而得到，最后根据即可求解； （3）先根据一次函数求出的坐标，得到，设点，则，推出，，分为和 两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点分别代入和 中， 得：，， 解得：，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接、， 联立， 解得：或， ，， 在一次函数中，令，则， 解得：， ， ， ；    （3）解：假设存在，使以、、为顶点的三角形与相似， 在一次函数中，令，则， ， ， 设点，则， ，， 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或．    【变式9-1】．（2022·山东东营·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点． (1)动点P在线段上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形的面积为2时，求出点P的位置； (2)在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想分析问题是解题的关键． （1）求得点A，B，设，由矩形面积公式求解即可； （2）先求出点C，D的坐标，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如下图，对于函数， 当时，，当时，， ∴，， ∵动点P在线段上， ∴设点，，，即， ∴，， ∵矩形的面积为2， ∴，即， 解得或， ∴点或； （2）如下图， ∵，， ∴， ∴，， 联立一次函数与反比例函数，可得， 解得或， ∴， ∴， 设，， 以A、B、E为顶点的三角形与相似，且， ∴或， ∴或， 解得 或， ∴或． 【变式9-2】．（2022·山东德州·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)的面积为 (3)点的坐标为或 或或 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两个函数的表达式建立方程，求出点、的坐标，再根据一次函数求出点的坐标，进而得到，最后根据即可求解； （3）先根据一次函数求出的坐标，得到，设点，则， 推出，，分为和 两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点分别代入和 中， 得：，， 解得：，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）如图，连接、， 联立， 解得：或， ，， 在一次函数中，令，则， 解得：， ， ， ； （3）假设存在，使以、、为顶点的三角形与相似， 在一次函数中，令，则， ， ， 设点，则， ，， 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或 或或． 【变式9-3】．（2023·山东济南·三模）如图，一次函数的图像与x轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过直线上的点B作轴于点C，与反比例函数交于点，连接，．    (1)求k的值与B点坐标； (2)求； (3)若点P是直线上的动点，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)4 (3)存在，或． 【分析】（1）将已知点代入解析式求解析式，再代入点的一个坐标求出另一个坐标即可； （2）利用解析式求出所需点，再用割补法求目标三角形面积； （3）先利用目标点位置确定一个角的对应关系，得到三角形相似的可能对应情况，分类讨论进行边长计算，再由几何角度求出纵坐标，代入解析式求出横坐标，得到点． 【详解】（1）将代入得： ， 解得， ， 将代入，解得， ， 将代入得：， 解得， ， 代入，得， ， 将代入，得， ； （2）由题意知：，，，， ； （3），，， ，， ，    当点P在延长线上时，，为锐角三角形，此种情况不存在， 点P在线段上，且， 或， ①当时，作于点H，为图中位置， ， ， ，， ，， 代入得， ； ②当时，，同理作，为图中位置， ，， ， 代入得， ， 综上，当或时与相似． ►题型10 存在性平行四边形 【例10】．（2024·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数表达式为 (2) (3)点坐标为或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质． （1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）分四边形和为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为； （2）解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：； （3）解：存在 ∵， ∴直线的解析式为：， ∵过点作平行于x轴，交于点D， ∴， ∴， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为． 综上，点坐标为或． 【变式10-1】．（2023·山东德州·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． 【变式10-2】．（2023·山东济南·二模）如图，直线与轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作MH⊥轴于点H，且tan∠AHO=2. （1）求的值； （2）在轴上是否存在点P，使以点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． （3）点N（，1）是反比例函数图象上的点，在x轴上有一点P，使得PM+PN最小，请求出点P的坐标. 【答案】（1）4；（2）存在；P点坐标为（0，6）或（0，-2）；（3）（，0）． 【详解】试题分析：（1）对于y=2x+2，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，确定出M横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，确定出M的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可； （2）存在，理由为：如图所示，分两种情况考虑：当四边形P1AHM为平行四边形时；当四边形AP2HM为平行四边形时，利用平行四边形的性质确定出P的坐标即可； （3）把M坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P，此时PM+PN最小，利用待定系数法确定出直线MN1的解析式，即可确定出P的坐标． 试题解析：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2， ∵tan∠AHO=2， ∴OH=1， ∵MH⊥x轴， ∴点M的横坐标为1， ∵点M在直线y=2x+2上， ∴点M的纵坐标为4，即M（1，4）， ∵点M在y=上， ∴k=1×4=4； （2）存在，如图所示： 当四边形P1AHM为平行四边形时，P1A=MH=4， ∴P1A+AO=4+2=6，即P1（0，6）； 当四边形AP2HM为平行四边形时，MH=AP2=4， ∴OP2=AP2-OA=4-2=2，此时P2（0，-2）， 综上，P点坐标为（0，6）或（0，-2）； （3）∵点N（a，1）在反比例函数y=上， ∴a=4，即点N的坐标为（4，1）， 过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P，此时PM+PN最小， ∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1）， ∴N1的坐标为（4，-1）， 设直线MN1的解析式为y=kx+b， 由，解得：， ∴直线MN1的解析式为y=-x+， 令y=0，得x=， ∴P点坐标为（，0）． 考点：反比例函数综合题． 【变式10-3】．（2023·山东淄博·模拟预测）如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围； （3）在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、y=；(2)、﹣1＜x＜0或x＞1；(3)、（﹣1，﹣4） 【分析】（1）把A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例函数解析式； （2）由题意，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可； （3）存在，理由为：由四边形ABDC为平行四边形，得到AC=BD，且AC∥BD，由AC与x轴垂直，得到BD与x轴垂直，根据A坐标确定出AC的长，即为BD的长，联立一次函数与反比例函数解析式求出B坐标，即可确定出D坐标． 【详解】解：（1）把A（1，2）代入y=mx得：m=2， 则一次函数解析式是y=2x， 把A（1，2）代入y=得：k=2， 则反比例解析式是y=； （2）根据图象可得：﹣1＜x＜0或x＞1； （3）存在，理由为： 如图所示，四边形ABDC为平行四边形， ∴AC=BD，AC∥BD， ∵AC⊥x轴， ∴BD⊥x轴， 由A（1，2），得到AC=2， ∴BD=2， 联立得：， 消去y得：2x=，即x2=1， 解得：x=1或x=﹣1， ∵B（﹣1，﹣2）， ∴D的坐标（﹣1，﹣4）． ►题型11 存在性矩形 【例11】．（2022·山东东营·模拟预测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标： (3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为： (2)或 (3)存在，其坐标分别为 【分析】（1）把点的坐标代入，得出反比例函数解析式；把点的坐标代入，求出的值，得到一次函数的解析式； （2）求出点，设，根据可得，由点是反比例函数图象上的一个动点，即可得点的坐标； （3）分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，根据矩形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ∴，， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，； （2）解：一次函数中，当 时，， ， 设， ， ∴， ， 点在上， 或1， 或； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下： ①当点在轴上时，如图，设点的坐标为， 过点作轴于点， ，， ， ∴， ，， ，， ， ∴， ， ∴点的坐标为； ②当点在轴上时，过点作轴于点，如图， 设点的坐标为， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴点的坐标为， ∴存在点，，使得四边形是矩形，点的坐标分别为或． 【变式11-1】．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和B两点，与y轴交于点C．    (1)求反比例函数的解析式； (2)若点M在y轴上，且的面积为4，求点M的坐标； (3)将线段在平面内平移，当一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C的坐标，再根据求出，由此即可得到答案； （3）设，则，，，再分当为边时，则，当为对角线时，则，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，令，则， ∴， 联立，解得或， ∴， ∵点M在y轴上，且的面积为4， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为或； （3）解：设， ∵，， ∴，，， 当为边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 【变式11-2】．（2023·山东济南·一模）如图，直线：的图象与反比例函数： 的图象交于点C，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，的图象经过线段的中点M． (1)求c的值与k的值； (2)求平行四边形的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)存在， 【分析】 （1）把代入，即可求出c的值，将点代入即可求出点k的值； （2）过点C作轴交x轴于点D，过点M作轴交x轴于点E，通过证明得出，进而求出点M的坐标，求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）过点A作于点A，交y轴于点F，则点Q在上，通过证明，得出点F的坐标，再求出直线的函数表达式为，根据矩形的性质可得所在直线的函数表达式为，将点M的坐标代入，求出m的值，最后联立所在直线的函数表达式和反比例函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得； ∴， 将代入，得． 综上：，． （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M是中点， ∴ ， 如图，过点C作轴交x轴于点D，过点M作轴交x轴于点E， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由（1）可得，则反比例函数表达式为：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解：如图，过点A作于点A，交y轴于点F，则点Q在上， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵四边形为矩形， ∴， 设所在直线的函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴所在直线的函数表达式为：， 联立反比例函数和直线的表达式得： ， 解得：，， ∴存在，． 【变式11-3】．（2022·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1． (1)求反比例函数解析式； (2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值； (3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)|PC−PD|最大时a的值为6 (3)存在，点M的坐标为（，） 【分析】（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解； （3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E， ∴∠CEO=90°， ∵tan∠AOC=1， ∴∠COA=45°， ∴∠OCE=45°， ∵OC=2， ∴OE=CE=2， ∴C（2，2）， ∵点C在反比例函数图象上， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数解析式为y=； （2）解：∵点C（2，2），点O（0，0）， ∴OC解析式为：y=x， ∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0）， ∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC， ∴点B（5，2）， ∴设AB解析式为：y=x+b， ∴2=5+b， ∴b=-3， ∴AB解析式为：y=x-3， 联立方程组可得：， ∴或（舍去）， ∴点D（4，1）； 在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值， 由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n， ∴，解得， ∴直线CD的解析式为：y=x+3， 令y=0，即x+3=0，得x=6， ∴|PC-PD|最大时a的值为6； （3）（3）存在，理由如下： 若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形， 则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G， 由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA， 则AF：MG=CF：AG， ∵C（2，2），A（3，0）， ∴OF=CF=2，AF=1， ∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2， 设MG=t，则AG=2t， ∴M（2t+3，t）， ∵点M在反比例函数y=的图象上， 则t（2t+3）=4， 解得t=，（负值舍去）， ∴M（，）； ②当点C为直角顶点时，这种情况不成立； 综上，点M的坐标为（，）． ►题型12 存在性菱形 【例12】．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解； （3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）当时，，解得， 当时，， 一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 为线段上的点， ∴设，则， 则有， 解得，或舍去 ； ∴； （3）设点，， 由（2）可知：点，点， ∴， 由题意知，为菱形的边， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 由平移规则和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或或． 【变式12-1】．（2022·山东东营·模拟预测）综合与探究 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标； (3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，求出点坐标，再代入反比例函数解析式，求解即可； （2）求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分为菱形的边长，以及为菱形的对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵，当时间，， ∴， 作点关于轴的对称点， 则：，， ∴当三点共线时，的值最小， 连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 设，设， 则：，，； 当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况： ①当为边时，则：， 当时：，， 则：，解得：， 当时：，，即：； 当时：，，即：； 当时，，， 则：，解得：或（舍掉）， 当时，，，即：； ②当为对角线时：则， ∴， 此时，即：，解得：， ∴，即：； 综上：或或或． 【变式12-2】．（2023·山东滨州·一模）如图，在直角坐标系xOy中，一直线y＝x+b经过点A（﹣3，0）与y轴正半轴交于B点，在x轴正半轴上有一点D，且OA＝OD，过D点作DC⊥x轴交直线y＝x+b于C点，反比例函数y＝（x＞0）经过点C． （1）求这条直线和反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点P，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出P的点坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x+4＝8，；（2）P（6，4）． 【分析】（1）利用待定系数法求出b=4，进而求出点D的坐标，即可求出点C坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）利用菱形的性质判断出点P的坐标，即可得出结论． 【详解】（1）∵直线y＝x+b经过A（﹣3，0）， ∴﹣4+b＝0， ∴b＝4， ∴直线的解析式为y＝x+4， ∵OA＝OD＝3， ∴D（3，0）， 把x＝3代入y＝x+4＝8， ∴C（3，8）， ∵反比例函数y＝经过点C， ∴k＝3×8＝24， ∴反比例函数解析式为y＝； （2）当四边形BCPD是菱形时， ∵C（3，8），D（3，0）， ∴CD⊥x轴， ∴点P和点B关于CD对称， ∴点P的坐标为（6，4）， ∴4×6＝24＝k， ∴点P在反比例函数图象上， ∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BCPD为菱形，此时点P（6，4）． 【变式12-3】（2022·山东济南·一模）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称． （1）求一次函数，反比例函数的表达式； （2）求证：点C为线段AP的中点； （3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形．如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x＋1；y＝（2）证明见解析；（3）存在，D（8，1）． 【分析】（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式； (2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论 ； （3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝ 的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1）， BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标． 【详解】解：（1）∵点A与点B关于y轴对称， ∴AO＝BO， ∵A(－4，0)， ∴B(4，0)， ∴P(4，2), 把P(4，2)代入y＝得m＝8， ∴反比例函数的解析式：y＝     把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b 得：，解得：， 所以一次函数的解析式：y＝x＋1； （2）∵点A与点B关于y轴对称， ∴OA=OB ∵PB丄x轴于点B， ∴∠PBA=90°， ∵∠COA=90°， ∴PB∥CO， ∴点C为线段AP的中点.     （3）存在点D，使四边形BCPD为菱形 ∵点C为线段AP的中点， ∴BC=， ∴BC和PC是菱形的两条边 由y＝x＋1，可得点C(0，1)， 过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D， 分别连结PD、BD， ∴点D（8，1）， BP⊥CD ∴PE＝BE＝1，    ∴CE＝DE＝4， ∴PB与CD互相垂直平分， ∴四边形BCPD为菱形． ∴点D（8，1）即为所求． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 2．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 首先由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，，进而得出一次函数图象经过第二、四象限且与轴正半轴相交，于是得解． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ，， 函数的图象应经过第一、二、四象限， 故选：B． 3．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是数形结合．求的自变量的取值范围，从图上看就是一次函数图象在反比例函数图象上方时，横坐标的取值范围，据此结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知，当或时，， 故选：D． 4．如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（    ） A． B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键，依据题意，过点A作轴，，结合的面积得出，进而可得的值． 【详解】解：由题意，过点A作轴， ∵A点反比例函数图像上， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又∵该反比例函数图像在第二、四象限， ∴ ， ∴． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（  ） A．点与点关于原点对称 B．点是的中点 C．在中，的值随值的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； 点与点关于原点对称， ， 轴， ， ， 是的中点，故选项B正确，不合题意； ③在中，在每个象限内，随的增大而减小，故选项C错误，符合题意； ④，故选项D正确，不合题意； 故选：C． 6．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【详解】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    【答案】一、三 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 8．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：0． 9．一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 三、解答题 11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数关系式； (2)比较大小： （填“＜”，“=”或“＞”）； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)= (3)或 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数的解析式为可知，， ∴，， ∴， 故答案为：＝； （3）解：由图象可知：时的取值范围是或． 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 12．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数解析式及的值： (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，的值为； (2)点，． 【分析】（）把，代入反比例函数，求出和的值，然后代入即可求出解析式； （）由（）可得，再把，代入一次函数，求出一次函数解析式为，当时，，即点，最后由即可求出面积； 此题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数、反比例函数与图形面积问题，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，的值为； （2）解：由（）得， ∴， ∵，在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴点， 由 ． 13．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求m，n的值及一次函数的解析式； (2)直接写出时，x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用反比例函数求出交点、点的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）观察图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围即可； （3）先求出点和点的坐标， 设 根据得到的值，再根据点在反比例函数的图象上，代入求解即可. 【详解】（1）解：∵点、的横、纵坐标分别为、， 点、在的图象上， 当时， ；当时， ， ， ∵点、在一次函数的图象上， ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可得，当的取值范围是或 时，； （3）解：存在， 对于，当时， ，当时，， ， 设， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 15．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 能力提升 一、单选题 1．正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象是解题的关键．分别判断正比例函数和反比例函数的图象，即可得出答案． 【详解】解：由正比例函数中，， ∴正比例函数的图象是过第一、三象限的正比例函数， 选项B、D符合； 由反比例函数中，， ∴反比例函数的图象是过第一、三象限的反比例函数， 选项C、D符合； 综上，选项D符合题意， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于M，N两点．根据图象信息，可得关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用数形结合思想，准确识图． 根据图象可知，的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x的取值范围． 【详解】解：由图可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将点坐标代入到两个解析式，可以得到，，将代数式变形为，代入即可解决． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 4．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，平行四边形的性质和中点坐标，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据一次函数的解析式，设点D坐标为，然后根据中点坐标公式得点B坐标，然后根据平行四边形的性质得出点C坐标，运用待定系数法代入反比例函数即可解答． 【详解】解：∵直线的函数表达式为， 设点D坐标为， ∵D为的中点，点A的坐标为， ∴点B坐标为， 在平行四边形中，， ∴，， ∴点C坐标为， ∵反比例函数经过点C，D， ∴ 解得：． 故选：D． 5．如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点C，则k的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】作轴，作轴，连接，将两个函数关系式联立求出点A，B的坐标，再根据勾股定理求出，然后根据是等边三角形，可得，根据勾股定理得，再证明，得，接下来求出，即可得点C的坐标，代入关系式得出答案． 【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接， ∵一次函数与反比例函数的图象相较于A，B两点， ∴， 解得， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点C的坐标为， 将代入得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质和判定，勾股定理，一次函数和反比例函数交点，等边三角形，构造辅助线是解题的关键． 二、填空题 7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．根据图象求解即可． 【详解】解：由图可知，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 8．若直线与双曲线交于两点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程的解，解题的关键是：根据对称性结合反比例函数图象上点的坐标特征求值． 根据正、反比例函数的对称性，找出、，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出结论． 【详解】解：由正、反比例函数的对称性，可知：、， ， ， ． 故答案为：12． 9．如图，已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是3，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键． 解析式联立成方程组，解方程组求得A、B的坐标，设，利用待定系数法求得直线为，过A作y轴的平行线交于点Q，则，即可求得，则根据，得到关于m的方程，解方程求得，即可求得点． 【详解】解：联立， 解得或， ， 设， 设直线为，则 ， 解得， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q，则， ， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 10．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系及两点间的距离公式，设，进而求出，求出，将一次函数表达式代入反比例函数表达式整理后，根据根与系数关系进一步求出，即可求出结论． 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵轴交反比例函数图像于点N， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： 三、解答题 12．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 13．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y (2)8 (3)x＜﹣3或0＜x＜1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可； （3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y； （2）解：如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8； （3）解：观察函数图象知， 不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可． 14．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】(1)正比例和反比例函数的表达式分别为：， (2)点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，； （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：． 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小， 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为 当时， 点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)过的另一条直线与轴，轴分别交于两点，若的面积与的面积比为，求点的坐标； (3)点都在直线上，过分别作轴的平行线交双曲线与，设的横坐标分别为，且，，连接、，若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（）把点代入即可求出，进而求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （）分两种情况：在轴的正半轴和负半轴，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可解答； （）由题意可知，，，，，根据，点到的距离点到的距离，列方程可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点、， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数经过点、， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：分两种情况： ①如图，当直线经过第二、三、四象限时，过点作轴于， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当直线经过第一、二、三象限时，过点作轴于， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴ 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图， 由题意可知， ，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴，点到的距离点到的距离， ∴，， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得，， ∵， ∴， ∴． $$第三章 函数 第13讲 一次函数与反比例函数综合（12题型）（10~15分） （思维导图+12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数与反比例函数综合 ►题型01 一次函数与反比例函数图像综合 ►题型02 求不等式解集 ►题型03 一次函数与反比例函数性质综合 ►题型04 已知面积求参数 ►题型05 求面积 ►题型06 最值问题 ►题型07 存在性等腰三角形 ►题型08 存在性直角三角形 ►题型09 存在性相似 ►题型10 存在性平行四边形 ►题型11 存在性矩形 ►题型12 存在性菱形 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一次函数与反比例函数要求 · 综合性强，涉及相关知识点多，考查综合能力。 2024省卷8题， 反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的综合题等.常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 1. 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 2. 反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 3.(1)掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积:. (2)解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想: (3)涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题; (4)反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数与反比例函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． ►题型01 一次函数与反比例函数图像综合 【例1】（2022·山东滨州·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【变式1-2】（2023·山东潍坊·一模）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2021·山东菏泽·模拟预测）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． ►题型02 求不等式解集 【例2】（2022·山东东营·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（    ） A．或B．或C．或 D． 【变式2-1】（2024·山东济南·一模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A．或 B． C． D．或 【变式2-2】（2022·山东淄博·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-3】（2022·山东济南·一模）如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象，可得不等式的解集为（　　） A． B．或 C．或 D．或 ►题型03 一次函数与反比例函数性质综合 【例3】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点，直线与和分别交于点，，下列说法中错误的是（   ） A．两函数图象的交点的坐标为 B．当时， C．当时， D．当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小 【变式3-1】（2024·山东潍坊·一模）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴、x轴分别交于C，D两点，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D．连接，则 【变式3-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为 C．当时，最大值为1 D．若，则 【变式3-3】．（2022·山东济南·二模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，B两点，给出下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，随x的增大而减小.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型04 已知面积求参数 【例4】．（2023·山东菏泽·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，的面积是，则k的值为（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】．（2022·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】．（2022·山东聊城·模拟预测）已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点轴于点如图，若的面积等于2，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】．（2024·山东德州·一模）如图，交双曲线于点，且，轴，轴，若的面积是8，则的值是（    ） A．18 B．36 C．12 D． ►题型05 求面积 【例5】．（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是       【变式5-1】．（2022·山东菏泽·二模）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，则△ABC的面积等于 ． 【变式5-2】．（2022·山东德州·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，，连结交的图像于点，若是的中点，则的面积是 ． 【变式5-2】．（2022·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． ►题型06 最值问题 【例6】．（2022·山东东营·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 【变式6-1】．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，过点B作轴于点C，，点在反比例函数的图象上．    (1)连接，求的长； (2)在x轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】．（2022·山东淄博·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图像交于点M，过M作轴于点H，且． (1)请直接写出k的值； (2)设点是反比例函数图像上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】．（2023·山东德州·模拟预测）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． ►题型07 存在性等腰三角形 【例7】．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点． （1）求点A的坐标和k的值； （2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】．（2022·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B． (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出当x<0时，的解集． (3)若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【变式7-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【变式7-3】．（2024·山东东营·模拟预测）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   ►题型8 存在性直角三角形 【例8】．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】．（2024·山东济南·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．    (1)求一次函数与反比例函数表达式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-2】．（2022·山东济南·二模）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】．（2022·山东济南·一模）如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．    ►题型9 存在性相似 【例9】．（2023·山东泰安·二模） 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式9-1】．（2022·山东东营·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点． (1)动点P在线段上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形的面积为2时，求出点P的位置； (2)在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】．（2022·山东德州·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式9-3】．（2023·山东济南·三模）如图，一次函数的图像与x轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过直线上的点B作轴于点C，与反比例函数交于点，连接，．    (1)求k的值与B点坐标； (2)求； (3)若点P是直线上的动点，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型10 存在性平行四边形 【例10】．（2024·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 【变式10-1】．（2023·山东德州·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】．（2023·山东济南·二模）如图，直线与轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作MH⊥轴于点H，且tan∠AHO=2. （1）求的值； （2）在轴上是否存在点P，使以点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． （3）点N（，1）是反比例函数图象上的点，在x轴上有一点P，使得PM+PN最小，请求出点P的坐标. 【变式10-3】．（2023·山东淄博·模拟预测）如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围； （3）在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由． ►题型11 存在性矩形 【例11】．（2022·山东东营·模拟预测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标： (3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-1】．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和B两点，与y轴交于点C．    (1)求反比例函数的解析式； (2)若点M在y轴上，且的面积为4，求点M的坐标； (3)将线段在平面内平移，当一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】．（2023·山东济南·一模）如图，直线：的图象与反比例函数： 的图象交于点C，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，的图象经过线段的中点M． (1)求c的值与k的值； (2)求平行四边形的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】．（2022·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1． (1)求反比例函数解析式； (2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值； (3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型12 存在性菱形 【例12】．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】．（2022·山东东营·模拟预测）综合与探究 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标； (3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】．（2023·山东滨州·一模）如图，在直角坐标系xOy中，一直线y＝x+b经过点A（﹣3，0）与y轴正半轴交于B点，在x轴正半轴上有一点D，且OA＝OD，过D点作DC⊥x轴交直线y＝x+b于C点，反比例函数y＝（x＞0）经过点C． （1）求这条直线和反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点P，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出P的点坐标；如果不存在，说明理由． 【变式12-3】（2022·山东济南·一模）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称． （1）求一次函数，反比例函数的表达式； （2）求证：点C为线段AP的中点； （3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形．如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（    ） A． B． C．11 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（  ） A．点与点关于原点对称 B．点是的中点 C．在中，的值随值的增大而减小 D． 6．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    8．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 9．一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 三、解答题 11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数关系式； (2)比较大小： （填“＜”，“=”或“＞”）； (3)当时，请直接写出的取值范围． 12．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数解析式及的值： (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积． 13．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求m，n的值及一次函数的解析式； (2)直接写出时，x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 15．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 能力提升 一、单选题 1．正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C．D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于M，N两点．根据图象信息，可得关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点C，则k的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 二、填空题 7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围 ． 8．若直线与双曲线交于两点，则的值为 ． 9．如图，已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是3，则点C的坐标是 ． 10．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 11．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 三、解答题 12．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 13．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 14．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)过的另一条直线与轴，轴分别交于两点，若的面积与的面积比为，求点的坐标； (3)点都在直线上，过分别作轴的平行线交双曲线与，设的横坐标分别为且，，连接、，若，求点的坐标． $$