第12讲 反比例函数的图像与性质（讲练）（思维导图+10种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像与性质（6~15分） （思维导图+3考点+2命题点8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的相关概念 考点二 反比例函数的图象与性质 考点三 反比例系数k的几何意义 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 由增减性比较函数值大小 ►题型02 利用增减性求参数取值范围 ►题型03 反比例函数综合性质 ►题型04 利用对称性求坐标 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知面积求K ►题型02 求面积 ►题型03 求点的坐标 ►题型04 与面积相关的规律性问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 2024省卷20题， 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题。 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 【例1】．（2021·山东枣庄·二模）若是反比例函数，则的值为（ ） A．m=2 B．m=-1 C．m=1 D．m=0 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义得到:m-1且〡m〡-2=-1，由此求出m的值． 【详解】解:依题意得: m且〡m〡-2=-1 解得m=-1 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键. 【变式1-1】．（2022·山东滨州·一模）函数是反比例函数，则m的值为（　　） A．0 B．-1 C．0或-1 D．0或1 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由是反比例函数，得 m2+m-1=-1且m+1≠0， 解得m=0， 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的定义及一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1-2】．（2023·山东淄博·一模）若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A．0 B．-2 C．2 D．-6 【答案】B 【详解】试题解析：∵点（a，b）反比例函数上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2-4=-2． 故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）下列y关于x的函数中，是反比例函数的为（       ） A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【详解】解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意； B.y是x的反比例函数，故B选项正确； C.y是x的正比例函数，故C选项不符合题意； D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意； 故选B． 考点二 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【例2】．（2024·山东济南·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大， 又∵点 ∴点A在第二象限内，点B、点C在第四象限内， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：C 【变式2-1】．（2024·山东济宁·二模）已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足，则直线不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，根据，，确定同一象限内y随x的增大而增大，进而得到，问题随之得解． 【详解】解：∵反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足， ∴同一象限内y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 【变式2-2】．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 【变式2-3】．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象必经过点，原说法正确，不合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，原说法正确，不符合题意； C、若，则，原说法错误，符合题意； D、，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 考点三 一元一次方程的解法 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 【例3】．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（    ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上， ∴， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上， ∴S矩形OABC=k2， ∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3， ∴k2-k1=3， ∴k1-k2=-3， 故选：B． 【变式3-1】．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是4和2， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 【变式3-2】．（2022·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（    ） A． B．27 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系．根据题意，利用面积法求出，利用等腰三角形三线合一的性质求得，设出点坐标，表示点的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求． 【详解】解：作轴于，交于． 与轴平行， ， ， ， 点的纵坐标为4，点的纵坐标为1， ，， ， 的面积为， ， ， ， 设点的坐标为，则点坐标为， 顶点、在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为， ， 故选：D． 【变式3-3】．（2024·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，    ∵， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故选：D． 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 由增减性比较函数值大小 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 【变式1-1】．（2023·山东济南·中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， 点，在第二象限， ，， 函数图象在第二象限内为增函数，， ． ，点在第四象限， ， ，，的大小关系为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【变式1-2】．（2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【变式1-3】．（2022·山东济宁·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． ►题型02 利用增减性求参数取值范围 【例2】．（2021·山东枣庄·二模）反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】．（2023·山东淄博·一模）反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 【答案】A 【分析】对于函数y=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1－k＜0， ∴k＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误． 【变式2-2】．（2021·山东临沂·模拟预测）在反比例函数图象上有两点A（，）B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 【答案】B 【详解】对于反比例函数y=，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 本题根据题意可得：k＞0，即1－3m＞0， 解得：m＜． 故选：B． 【点睛】考点：反比例函数的性质． 【变式2-3】．（2022·山东聊城·二模）若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由反比例的性质可知m+2<0 ►题型03 反比例函数综合性质 【例3】．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象必经过点，原说法正确，不合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，原说法正确，不符合题意； C、若，则，原说法错误，符合题意； D、，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】．（2021·山东济南·一模）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 【变式3-2】．（2022·山东青岛·三模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ） A．图象在二、四象限 B．当时，y随x的增大而减小 C．点（在反比例函数图象上 D．当时， 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，即， ∴反比例函数图象经过一、三象限，故A不符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小，故B符合题意； 当，， ∴点（-1，5）不在反比例函数图象上，故C不符合题意； ∵在第三象限内，即当时，， ∴当时，不符合题意，故D不符合题意． 故选B． 【变式3-3】．（2021·山东临沂·二模）对于反比例函数（为任意实数），下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图像是轴对称图形，对称轴只有一条是直线 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的增减性和对称性确定A、B错误，把x=-1代入函数解析式判定C错误，根据反比例函数的增减性判定D正确. 【详解】解：∵t2≥0，∴t2+1＞0，即-t2-1＜0，故图象在每个象限内y随x的增大而增大，A错误； 当y= -t2-1时，x=，当y= 时，x=，根据图象在每个象限内y随x的增大而增大知1≤x≤2，D正确； 反比例函数图象的对称轴有2条y=x或y=-x，故B错误； 当x=-1时，y=≥1，故C错误， 故选：D. ►题型04 利用对称性求点坐标 【例4】．（2022·山东滨州·模拟预测）互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，的值等于（　　） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线对称，即有，，再根据两点均在反比例函数图象，可得，问题随之得解． 【详解】解：根据题意A、B关于直线对称， ∴，， ∵互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线对称，得出，，是解答本题的关键． 【变式4-1】．（2022·山东枣庄·三模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选C． 【变式4-2】．（2021·山东菏泽·一模）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数的图像一个交点的坐标是（－1，3），则它们另一个交点的坐标是 ． 【答案】（1，－3） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】根据题意，直线y＝k1x经过原点与双曲线相交于两点， 又由于双曲线与直线y＝k1x均关于原点对称． 则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（-1，3）， 则另一个交点的坐标为（1，-3）． 故答案为：（1，-3）． 【变式4-3】．（2023·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知面积求k 【例1】．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是4和2， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 【变式1-1】．（2023·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点D，E，连接，，则当的面积最大时，k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质得点B的坐标为，则，，即可得，，根据三角形面积的计算公式得 ，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴ ∴当时，的面积最大， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点，表示出的面积． 【变式1-2】．（2022·山东枣庄·三模）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题． 【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M， ∵轴 ∴AB⊥y轴， ∴， ∵ ∴ 解得 ∵点B在双曲线上，且B在第二象限 ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键． 【变式1-3】．（2021·山东菏泽·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，的面积是，则k的值为（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设直线与y轴的交点为点E，根据一次函数图像上点的特征以及，即可得出BD的长度，进而可求出点B的坐标，根据反比例函数上点的特征即可得出反比例函数系数k的值． 【详解】解：设直线与y轴的交点为点E，如图所示． 令直线中，则，解得， 令，则，即， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∵， ∴，解得． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，则，解得， ∴点B的坐标为，∴． 故选：B． ►题型02 求面积 【例2】．（2022·山东济宁·中考真题）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ． 【答案】4 【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解． 【详解】点C是OA的中点， ∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB, ∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB, ∴S△ABD = S△OBD, 点B在双曲线上，BD⊥ y轴， ∴S△OBD=×8=4, ∴S△ABD =4, 答案为：4. 【变式2-1】．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝ ．（结果用a，b表示） 【答案】a 【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论． 【详解】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n）， ∵点P为曲线C1上的任意一点， ∴mn＝a， ∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n） ＝mn﹣b（mn﹣b﹣b） ＝mn﹣bmn+b a． 故答案为：a． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题． 【变式2-2】（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 ．    【答案】 【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝−，由平行四边形的性质可得OB=10，BE=6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解． 【详解】解：∵双曲线 y＝（k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5）， ∴k＝﹣60， ∴双曲线解析式为 y＝． ∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10， ∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝上， ∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6． ∵△BOC和△BGC关于BC对称， ∴BG＝BO＝10，GC＝OC． ∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10， ∴EG＝＝8． 延长EG交x轴于点H，    ∵EG∥y轴， ∴∠GHC是直角， 在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2， 则有m2＝22+（6﹣m）2， ∴m=， ∴GC＝＝OC， ∴S△BOC=××10=， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题关键． 【变式2-3】（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是    【答案】8 【分析】先求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式，进而可求出点的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵， ∴， 把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴， 如图，延长交x轴于点F，    设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴ ， ∴的面积为8． 故答案为：8． ►题型03 求点的坐标 【例3】．（2023·山东临沂·二模）如图，的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知的面积是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数解析式、平行四边形的性质、熟练掌握待定系数法求函数的解析式和平行四边形的性质是解题的关键．过作轴于，延长交轴于，首先由可得，直线的解析式为，进而可设，则点，由此得，最后通过的面积是可求出，即可求出点坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 反比例函数经过、两点，， ， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入，得：， 直线的解析式为， 可设点，则点， ， 的面积是， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为． 故选：D． 【变式3-1】．（2022·山东枣庄·三模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4，3)在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（    ） A．(5，) B．(6，) C．(，4) D．(，) 【答案】C 【分析】根据点D(4，3)先分别求出反比例函数y＝，直线OB的解析式为y＝x，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得BCOA， S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BC＝﹣a，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（4，3）， ∴3＝， ∴k＝12， ∴反比例函数y＝， ∵OB经过原点O， ∴设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（4，3）， 则3＝4m， ∴m＝， ∴OB的解析式为y＝x， ∵反比例函数y＝经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BCOA，S平行四边形OABC＝2S△OBC＝， ∴点B的纵坐标为，S△OBC＝， ∵OB的解析式为y＝x， ∴将y＝代入y＝x，得： ＝x， 解得：x＝， ∴B（，）， ∴BC＝﹣a， ∴S△OBC＝××（﹣a）＝， 解得：a＝3或a＝﹣3（舍去）， ∴B（，4）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2022·山东聊城·二模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可． 【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴易得CH=AF ∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点 ∴ 即反比例函数解析式为 ∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，点B坐标为 ∵平行四边形的面积是 ∴ 解得（舍去） ∴点B坐标为 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解． 【变式3-3】（2023·山东临沂·一模）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是 A．（1，） B．（，1） C．（2，）      D，（，2） 【答案】C 【详解】试题分析：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0）， ∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°． 在Rt△BOA中，， ∴b=．∴点B的坐标为（a，）． ∵点C是OB的中点，∴点C坐标为． ∵点C在双曲线上，∴． ∴a=2（负值已舍去）． ∴点B的坐标是（2，）．故选C． ►题型04 与面积相关的规律性问题 【例4】．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    【答案】 【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值． 【详解】当时，的纵坐标为8， 当时，的纵坐标为4， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出． 【变式4-1】（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2023·山东聊城·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取……，过点，，，……分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，……，得直角三角形，，，……，并设其面积分别为，，，……，则的值为 ． 【答案】 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，，由反比例函数解析式中，得出，，，…，的面积都为1，而为的，且与的高为同一条高，故的面积为的面积的，由的面积都为1，得出的面积，即为的值． 【详解】解：连接，，…，，如图所示： ∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，， ∴，即， 又∵， ∴，，，…，， ∵与的高为同一条高， ∴， ∴， 故答案为：． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项不符合题意； 故选：C． 2．关于反比例函数y＝﹣，下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点（﹣2，﹣3） B．函数图象在第一、三象限 C．当x＞﹣2时，y＞3 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：画出反比例函数y＝﹣的图象如图所示， A、将点（﹣2，﹣3）代入表达式y＝﹣，得：，等式不成立，选项错误，不符合题意； B、由图象可得，函数图象在第二、四象限，选项错误，不符合题意； C、由图象可得，当时，y＞3，选项错误，不符合题意； D、由图象可得，当x＜0时，y随x的增大而增大，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 3．已知反比例函数的图象过点P（1，3），则该反比例函数图象位于（　　） A．第一、二象 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的性质：当时，图象位于一、三象限；当时，图象位于二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象y＝过点P(1，3) ∴该反比例函数图象位于第一、三象限 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成． 4．反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，判断出解题的关键．先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】函数的图象经过一，三象限， 且反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象经过二，四象限， ， 点、、在的图象上， 点、在第二象限，在第四象限， 在第二象限内，反比例函数随的增大而增大， 且， ， 在第四象限， ， ， 故选：C． 5．若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，依据题意，由反比例函数的图象与性质进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵反比例函数图象的每一支上， ∵当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 6．反比例函数， 当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】解：当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，在每一象限内，随x的增大而增大， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而增大，在每一象限内，随x的增大而减小， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 综上：的值为， 故选：B． 二、填空题 7．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质得到且 ，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴且， 解得， 故答案为：． 8．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 9．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质． 结合反比例函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：反比例函数中， 该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大， ，， ． 故答案为：． 10．在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 三、解答题 11．在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 【答案】（1）第一、三象限；（2） 【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解； （2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0， 即﹤5 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 12．用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质． （1）列表，描点，连线作出函数的图象，根据图象求解即可； （2）根据反比例函数的增减性结合图象进行求解即可． 【详解】（1）解：列表 1 2 3 4 3 4 6 12 描点，连线作出函数的图象，如图， 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得， 观察图象，当时，的取值范围是． 13．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 14．在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或． 【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点，运用数形结合思想得x的取值范围为或． 【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象，如图所示：    （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 如图所示：    （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 15．如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解； （3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∴． 能力提升 一、单选题 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断点是否在反比例函数解析式上，理解题意是本题的关键．根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：反比例函数， ， A、 ，点不在反比例函数图像上，故本选项不符合题意； B、 点不在反比例函数上图像，故本选项不符合题意； C、 ，点不在反比例函数图像上，故本选项不符合题意； D、 ，点在反比例函数图像上，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象在第一、第三象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 3．已知反比例函数的图像分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像与的关系：①当时，图像在一、三象限；②当时，图像在二、四象限；从而根据反比例函数的图像分别位于第二、第四象限得到，结合选项即可确定答案． 【详解】解：反比例函数的图像分别位于第二、第四象限， ， 根据四个选项确定，只有， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像，熟记反比例函数图像与的关系：①当时，图像在一、三象限；②当时，图像在二、四象限；是解决问题的关键． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．根据反比例函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．比例系数 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】对于反比例函数， A、当时，，∴图象过点，故此选项错误； B、∵，∴图象在第二、四象限，故此选项错误； C、∵，∴每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误； D、比例系数，故此选项正确． 故选：D． 6．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴交x轴于点C，则四边形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选：B． 二、填空题 7．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 8．若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 9．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】由轴及函数图象可知，即，于是可得，由图象可知，于是得解． 【详解】解：轴， ， 即：， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，化简绝对值，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 三、解答题 11．已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过得、，即，计算得，即可得； （2）由（1）得，，即反比例函数解析式为，把， 分别代入反比例函数解析式即可得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过 ∴、， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 即反比例函数解析式为， 当时，， 当时，， 即当时，随着的增大而减小， y的取值范围为：． 12．如图，在所给的平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象．如果，，三点都在反比例函数的图象上，试比较，，的大小． 【答案】，理由见解析 【分析】（1）根据描点法的步骤画出反比例函数的图象； （2）观察图象或者根据反比例函数的性质得出，，的大小关系． 【解】列表如下： x … -4 -2 -1 1 2 4 … y … -1 -2 -4 4 2 1 … 描点、连线如图． 由表格或者反比例函数的图象可知，当时，；当时，；当时，， ∴ 【详解】详解片段 13．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 15．用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质． （1）列表，描点，连线作出函数的图象，根据图象求解即可； （2）根据反比例函数的增减性结合图象进行求解即可． 【详解】（1）解：列表 1 2 3 4 3 4 6 12 描点，连线作出函数的图象，如图， 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得， 观察图象，当时，的取值范围是． $$第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像与性质（6~15分） （思维导图+3考点+2命题点8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的相关概念 考点二 反比例函数的图象与性质 考点三 反比例系数k的几何意义 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 由增减性比较函数值大小 ►题型02 利用增减性求参数取值范围 ►题型03 反比例函数综合性质 ►题型04 利用对称性求坐标 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知面积求K ►题型02 求面积 ►题型03 求点的坐标 ►题型04 与面积相关的规律性问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 2024省卷20题， 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题。 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 【例1】．（2021·山东枣庄·二模）若是反比例函数，则的值为（ ） A．m=2 B．m=-1 C．m=1 D．m=0 【变式1-1】．（2022·山东滨州·一模）函数是反比例函数，则m的值为（　　） A．0 B．-1 C．0或-1 D．0或1 【变式1-2】．（2023·山东淄博·一模）若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A．0 B．-2 C．2 D．-6 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）下列y关于x的函数中，是反比例函数的为（       ） A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 考点二 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【例2】．（2024·山东济南·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2024·山东济宁·二模）已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足，则直线不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2-2】．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 考点三 一元一次方程的解法 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 【例3】．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（    ） A．3 B．-3 C． D． 【变式3-1】．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-2】．（2022·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（    ） A． B．27 C．3 D．6 【变式3-3】．（2024·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 由增减性比较函数值大小 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023·山东济南·中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2022·山东济宁·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 ►题型02 利用增减性求参数取值范围 【例2】．（2021·山东枣庄·二模）反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2023·山东淄博·一模）反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 【变式2-2】．（2021·山东临沂·模拟预测）在反比例函数图象上有两点A（，）B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 【变式2-3】．（2022·山东聊城·二模）若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是 A． B． C． D． ►题型03 反比例函数综合性质 【例3】．（2022·山东青岛·模拟预测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 【变式3-1】．（2021·山东济南·一模）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，则 【变式3-2】．（2022·山东青岛·三模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ） A．图象在二、四象限 B．当时，y随x的增大而减小 C．点（在反比例函数图象上 D．当时， 【变式3-3】．（2021·山东临沂·二模）对于反比例函数（为任意实数），下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图像是轴对称图形，对称轴只有一条是直线 C．当时， D．当时， ►题型04 利用对称性求点坐标 【例4】．（2022·山东滨州·模拟预测）互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，的值等于（　　） A． B．1 C． D．7 【变式4-1】．（2022·山东枣庄·三模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2021·山东菏泽·一模）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数的图像一个交点的坐标是（－1，3），则它们另一个交点的坐标是 ． 【变式4-3】．（2023·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知面积求k 【例1】．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】．（2023·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点D，E，连接，，则当的面积最大时，k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·山东枣庄·三模）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2021·山东菏泽·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，的面积是，则k的值为（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 ►题型02 求面积 【例2】．（2022·山东济宁·中考真题）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ． 【变式2-1】．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝ ．（结果用a，b表示） 【变式2-2】（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 ．    【变式2-3】（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是      ►题型03 求点的坐标 【例3】．（2023·山东临沂·二模）如图，的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知的面积是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东枣庄·三模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4，3)在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（    ） A．(5，) B．(6，) C．(，4) D．(，) 【变式3-2】（2022·山东聊城·二模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·山东临沂·一模）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是 A．（1，） B．（，1） C．（2，）      D，（，2） ►题型04 与面积相关的规律性问题 【例4】．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    【变式4-1】（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【变式4-2】（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 【变式4-3】（2023·山东聊城·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取……，过点，，，……分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，……，得直角三角形，，，……，并设其面积分别为，，，……，则的值为 ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．关于反比例函数y＝﹣，下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点（﹣2，﹣3） B．函数图象在第一、三象限 C．当x＞﹣2时，y＞3 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 3．已知反比例函数的图象过点P（1，3），则该反比例函数图象位于（　　） A．第一、二象 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．反比例函数， 当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值是 ． 8．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 9．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 10．在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 三、解答题 11．在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 12．用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 1 2 3 4 3 4 6 12 13．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 14．在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 15．如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 能力提升 一、单选题 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图像分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．0 D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．比例系数 6．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴交x轴于点C，则四边形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 8．若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 9．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则 ． 三、解答题 11．已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 12．如图，在所给的平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象．如果，，三点都在反比例函数的图象上，试比较，，的大小． 13．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 15．用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． $$