精品解析：江苏省镇江市镇江新区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024∼2025学年第一学期阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共5页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 5. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，直径，，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于__________．（结果保留） 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则__________． 13. 一元二次方程的解是________． 14. 用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为__________． 15. 在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过__________． 16. 如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）求的值． （2）求此时的方程的两个根． 19. 某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． （1）当售价为元/只时，月销售量为__________只． （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： （1）多项式关于__________平衡； （2）若关于的多项式关于平衡，则__________； （3）关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 22. 如图，点、、、在上，且，是（不是直径）延长线上一点，且，是的中点． （1）探索与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，设是的中点，过点作，连接、，求证：． 23. 矩形中，点在线段上． （1）在图1中利用无刻度的直尺和圆规作出点，使得（不写做法，保留作图痕迹）； （2）①在图2中利用无刻度的直尺和圆规作出点，使得（不写做法，保留作图痕迹）； ②若，时，在线段上总存在点使得，则的取值范围是__________． 24. 定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“经典方程”：____________________； （2）求证：关于的“经典方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年第一学期阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共5页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，是一元一次方程； B．若添加，是一元一次方程； C．若添加，是一元二次方程； D．若添加，含2个未知数，不是是一元二次方程； 故选C． 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∵， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．首先将方程的常数项移到等号右边得到，方程两边同时加上9，再利用完全平方公式配方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键； 当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；据此即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为3，, ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 5. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 8. 如图，是的外接圆，直径，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质．连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可求解． 【详解】解：连接， 由圆周角定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的特殊解，理解一元二次方程的解得到是解题的关键． 根据关于的一元二次方程有一根为，得到一元二次方程的解为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故选：B ． 10. 如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理．连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得．从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】解：连接，过作，垂足为． ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． 四边形为矩形． ，． ， 设，则． 的直径为， ． ． 在中，由勾股定理得． 即． 解得， 大于0， 舍去． ． ，． ，由垂径定理知，为的中点 ． 故选∶A． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 根据扇形面积的计算公式（为扇形圆心角的度数）计算即可． 【详解】解：一个扇形的半径为，圆心角为， ∴， 故答案为： ． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解． 把代入原方程，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为2， ∴， 解得，， 故答案为：． 13. 一元二次方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解决问题的关键． 移项，提公因式x，化成两个一元一次方程解答即可． 【详解】∵， ∴移项得，， 分解因式得，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为， 如图，在正中，边长为，于点D， ∴， ∴， ∴正的面积为； ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为； 如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为； ∴． 故答案为： 15. 在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 16. 如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 【答案】2 【解析】 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解； （3）利用公式法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， 【小问3详解】 解： ， ∴ 【小问4详解】 解： ， 18. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）求的值． （2）求此时的方程的两个根． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两个实数根分别为， 则； ∵， ∴或 19. 某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． （1）当售价为元/只时，月销售量为__________只． （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 【答案】（1） （2）该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得当售价为元/只时，月销售量为只； （2）设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只，，据此即可求解； 【小问1详解】 解：∵售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． ∴当售价为元/只时，月销售量为只， 故答案为： 【小问2详解】 解：设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只， ， 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 故：该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 21. 阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： （1）多项式关于__________平衡； （2）若关于的多项式关于平衡，则__________； （3）关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 【答案】（1） （2）5 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和解一元二次方程的方法是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （3）利用完全平方公式进行配方可得，从而可得，，则方程为，利用直接开平方法解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴多项式关于平衡， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡， ∴， 故答案为：5． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡，且最小值为6， ∴，， ∴， ∴方程为， 解得，． 22. 如图，点、、、在上，且，是（不是直径）延长线上一点，且，是的中点． （1）探索与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，设是的中点，过点作，连接、，求证：． 【答案】（1） 解：，理由： 连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，由（）知，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）连接，由中点定义可得，又，则，故有，从而得出； （）由是的中点，则，根据中位线定理可得，由圆周角定理得，则，故有，证明，根据全等三角形的性质即可得出； 本题考查了圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系，中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 矩形中，点在线段上． （1）在图1中利用无刻度的直尺和圆规作出点，使得（不写做法，保留作图痕迹）； （2）①在图2中利用无刻度的直尺和圆规作出点，使得（不写做法，保留作图痕迹）； ②若，时，在线段上总存在点使得，则的取值范围是__________． 【答案】（1） 如图：点或即为所求． （2）①如图：为所求点． ② 【解析】 【分析】（1）作的中垂线，以的中点为圆心作圆，交于点P和点，即可； （2）①以为边作等边三角形，分别作的中垂线交于点O，圆O交于点，则为所求点； ②如图：当的外接圆与相切时，的值最大；如图，当圆为矩形的外接圆时，值最小，据此即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①以为边作等边三角形，分别作的中垂线交于点O，圆O交于点，则为所求点． ②如图，记的外接圆，半径为，连接，，，过点作； 由题意知，点既在上，也在圆上，则当圆与相切时，切点为点， 则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴共线， ∴四边形是矩形， ∴， 此时，有最大值，最大值为； 当圆为矩形的外接圆时，m值最小，此时点与点重合， 如图：连接，则， ∴, ∴,即， 解得：； 综上，m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出图形成为解题的关键． 24. 定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“经典方程”：____________________； （2）求证：关于的“经典方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】（1） （2） 证明：关于的方程是“经典方程”， 且， ①当时， ， 方程有两个实数根， ②当时， 方程为，， 该方程有实数根， “经典方程”必有实数根； （3） 【解析】 【分析】本题考一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键． （1）由“经典方程”满足的条件，即可写出一个“经典方程”； （2）由是“经典方程”，得且，，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“经典方程”必有实数根； （3）作于，延长交于，根据垂径定理得，，，根据勾股定理得，根据“经典方程”得，再证推出； 【小问1详解】 解：∵中，，， ，， ∴， ∴满足“经典方程”， ∴“经典方程”可以为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，延长交于， ， ， ∴， ，， ， ， 是“经典方程”， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $