第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 2．小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔（   ） A．2支 B．3支 C．4支 D．5支 3．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 8．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．不等式的非负整数解为 ． 12．已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 13．若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 14．如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 15．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 16．直线与函数的图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 18．（8分）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 19．（8分）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 20．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ． 【知识迁移】 （3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 21．（10分）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 22．（10分）综合与实践 问题情景：周末小王和数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂乡加社会实践，该厂的厂长让他们用200张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 制作方式：在参观的时候他们发现有以下3种剪裁方法都可以制作纸箱． 第①种裁法：裁成2个侧面与4个底面； 第②种裁法：裁成4个侧面； 第③种裁法：裁成3个侧面与2个底面． 动手操作：小王和数学兴趣小组的同学分成3个小组用三种不同的剪裁方法剪裁白板纸．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱． 问题解决：设按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张． (1)按第③种方法剪裁的白板纸有 张．（用含a，b的式子表示） (2)将200张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含a，b的式子表示，结果要化简） (3)当，时，将200张白板纸剪裁完后，最多制作多少个纸箱？ (4)当a，b满足什么样的条件时，这200张白板纸剪裁完后，能够制作的纸箱数量最多？最多能制造多少个纸箱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，结合已知条件列不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 即， 即x的取值范围是， 故选：C． 2．小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔（   ） A．2支 B．3支 C．4支 D．5支 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出不等式是解题的关键．设小明还可以买支钢笔，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明还可以买支钢笔， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 的最大值为3， 即他最多还可以买钢笔3支． 故选：B． 3．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 4．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴． 故选：B． 5．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 6．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 7．若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 8．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 9．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵无论 取何值，始终有 ， ∴两直线平行，才会始终有 ， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 此时两条直线相交， 如图，    ∴且， 当时，如图，不符合题意；    故选：D 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 12．已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中的点坐标的特征是解题关键．根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 13．若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据每个不等式组的解集得出关于的不等式是解答此题的关键． 先求出每个不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组无解， ， ， 故答案为：． 14．如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 15．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 16．直线与函数的图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先把函数化为分段函数的形式，再求解当过时，当过时，的值，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 而过， 如图， 当过时， ∴， 解得：， 当过时， ∴， 解得：， 此时的图象与的图象平行， ∴直线与函数的图象有且只有两个公共点，k的取值范围是； 故答案为： 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）． （1）根据解一元一次不等式的步骤，求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得，， 解得，， 不等式组的解集为:． 18．（8分）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【答案】(1)2； (2)景点或景点． 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． 学校可能组织学生去景点或景点． 19．（8分）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 20．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ． 【知识迁移】 （3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 【答案】（1）3；（2）①或；②2；（3）点C与D的“识别距离”的最小值为；相应的C点坐标为 【分析】（1）根据新定义分别计算，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得； ②根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （3）先求出时的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴，而， ∴点与点的“识别距离”为3； （2）①设点的坐标为，而， ， ∴点与的“识别距离”为， 解得：， 则点的坐标为或； ②点的坐标为，而， ， 若，则点的“识别距离”为； 若，则点的“识别距离”为． ∴点与点的“识别距离”的最小值为2． 故答案为：2． （3）由得：或， 解得：或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时， 则点C的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标，绝对值运算，解一元一次方程，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 21．（10分）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 22．（10分）综合与实践 问题情景：周末小王和数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂乡加社会实践，该厂的厂长让他们用200张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 制作方式：在参观的时候他们发现有以下3种剪裁方法都可以制作纸箱． 第①种裁法：裁成2个侧面与4个底面； 第②种裁法：裁成4个侧面； 第③种裁法：裁成3个侧面与2个底面． 动手操作：小王和数学兴趣小组的同学分成3个小组用三种不同的剪裁方法剪裁白板纸．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱． 问题解决：设按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张． (1)按第③种方法剪裁的白板纸有 张．（用含a，b的式子表示） (2)将200张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含a，b的式子表示，结果要化简） (3)当，时，将200张白板纸剪裁完后，最多制作多少个纸箱？ (4)当a，b满足什么样的条件时，这200张白板纸剪裁完后，能够制作的纸箱数量最多？最多能制造多少个纸箱？ 【答案】(1) (2)一共可以裁出个侧面，个底面 (3)最多能制作150个长方体纸箱 (4)当时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱160个 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用，有理数除法的应用等知识点，理解题中的数量关系，熟练掌握用代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据数量关系，共有200张白板纸，按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张，由此列式即可； （2）根据题意，按第①种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个，按第②种方法剪裁的侧面数为：个，按第③种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个，由此列式即可； （3）把，代入（2）中的式子，分别算出侧面数与底面数，再根据四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱进行计算即可； （4）根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：按第①种方法剪裁的白板纸有a张，按第②种方法剪裁的白板纸有b张， ∴按第③种方法剪裁的白板纸有张， 故答案为：； （2）解：由条件可知：按第①种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个， 按第②种方法剪裁的白板纸有b张，每张有4个侧面， ∴按第②种方法剪裁的侧面数为：个， 按第③种方法剪裁的白板纸有张，每张有3个侧面与2个底面， ∴按第③种方法剪裁的侧面数为：个，底面数为：个， ∴侧面数共有：个， 底面数共有：个， 答：一共可以裁出个侧面，个底面； （3）解：由（2）可知，一共可以裁出个侧面，个底面， ∴当，时， 侧面数为：（个）， 底面数为：（个）， 且，， ∴不配套，最多能制作150个长方体纸箱， 答：200张白板纸剪裁完后，最多可以制作150个长方体纸箱． （4）解：由（2）可知，一共可以裁出个侧面，个底面，． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱160个． 学科网（北京）股份有限公司 $$