专题04 圆柱的体积和容积解决问题-2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破（北师大版）

2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 专题04 圆柱的体积和容积解决问题 答案解析 1．【解题思路】（1）由题意可知：抹水泥部分的面积＝沼气池的侧面积＋下底的面积，又因圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆锥的底面直径已知，于是可以求出其底面周长和底面积，进而可以求出抹水泥部分的面积； （2）利用圆柱的体积公式v＝πr2h即可求出这个水池最多能装多少水。 【规范解答】（1）3.14×3×2＋3.14×（）2 ＝9.42×2＋3.14×2.25 ＝18.84＋7.065 ＝25.905（平方米） 答：抹水泥部分的面积是25.905平方米。 （2）3.14×（）2×2 ＝3.14×2.25×2 ＝7.065×2 ＝14.13（立方米） 14.13立方米＝14130升 答：这个水池最多能装14130升水。 【考察方向】此题主要考查圆柱的侧面积和圆的面积及体积的计算方法。 2．【解题思路】根据题意，用公式：圆柱的容积（体积）＝底面积×高，底面积＝（d÷2）2π，将数据代入计算出一杯水的容量再乘6，再与1500毫升比较即可；据此解答。 【规范解答】3.14×（6÷2）2×10×6 ＝3.14×9×10×6 ＝28.26×10×6 ＝282.6×6 ＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6毫升＞1500毫升 答：他每天的饮水量达到要求了。 【考察方向】此题考查了圆柱容积（体积）的计算，关键熟记公式。 3．【解题思路】圆柱体积＝底面积×高，图①零件的体积＝高2厘米的圆柱体积＋高（3－2）厘米圆柱体积的一半，图①零件的体积÷图②容器底面积＝水位上升高度，据此列式解答。 【规范解答】2÷2＝1（厘米） 3.14×12×2＋3.14×12×（3－2）÷2 ＝3.14×1×2＋3.14×1×1÷2 ＝6.28＋1.57 ＝7.85（立方厘米） 7.85÷[3.14×（4÷2）2] ＝7.85÷[3.14×22] ＝7.85÷[3.14×4] ＝7.85÷12.56 ＝0.625（厘米） 答：该圆柱形容器的水位将上升0.625厘米。 【考察方向】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 4．【解题思路】（1）求做这样一个水桶至少需要多少平方分米的材料，就是求圆柱的表面积。根据题意，这个无盖圆柱形水桶外表面积＝侧面积＋底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积＝πr2。已知水桶的底面周长是50.24厘米，根据圆的周长＝2πr，需要用50.24除以2π求出圆柱的底面半径，再根据上面的公式计算。 （2）求这个水桶可以装水多少升，就是求圆柱的容积。圆柱的容积＝底面积×高，据此解答。 【规范解答】（1）50.24÷3.14÷2＝8（厘米） 50.24×40＋3.14×82 ＝2009.6＋200.96 ＝2210.56（平方厘米） ≈22.11（平方分米） 答：做这样一个水桶至少需要22.11平方分米的材料。 （2）3.14×82×40 ＝200.96×40 ＝8038.4（立方厘米） ≈8.04（升） 答：这个水桶大约可以装水8.04升。 【考察方向】本题考查圆柱的表面积和容积的应用。熟练运用圆柱的表面积和容积公式是解题的关键。 5．【解题思路】求需要准备铁皮的面积，就是求这个圆柱形无盖铁皮水桶的表面积，再乘2，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出需要铁皮的面积； 求水桶能装水多少升，就是求这个水桶的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出一个圆柱形水桶的容积，再乘2，即此解答。 【规范解答】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5 ＝3.14×22＋12.56×5 ＝3.14×4＋62.8 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 75.36×2＝150.72（平方分米） 150.72平方分米≈160平方分米 3.14×（4÷2）2×5×2 ＝3.14×22×5×2 ＝3.14×4×5×2 ＝12.56×5×2 ＝62.8×2 ＝125.6（立方分米） 125.6立方分米＝125.6升 125.6升≈125升 答：大约需要准备160平方分米铁皮，这对水桶做好后大约能装125升水。 6．【解题思路】根据题意，这个“生命通道”是一个底面直径是8分米，高是10分米的圆柱，根据圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 答：这个“生命通道”的容积约是502.4立方分米。 7．【解题思路】（1）已知圆柱形水桶的底面直径是30厘米即3分米，高4分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出圆柱部分能装多少升水。 （2）已知张涛家饮用一天水，水面下降8厘米，那么水下降部分的体积就是张涛家这一天饮用水的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”求解，得数根据“四舍五入”法保留一位小数。 【规范解答】（1）30厘米＝3分米 3.14×（3÷2）2×4 ＝3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝28.26（立方分米） 28.26立方分米＝28.26升 答：圆柱部分能装28.26升水。 （2）8厘米＝0.8分米 3.14×（3÷2）2×0.8 ＝3.14×1.52×0.8 ＝3.14×2.25×0.8 ＝5.652（立方分米） 5.652立方分米＝5.652升≈5.7升 答：这一天饮用了5.7升水。 8．【解题思路】（1）圆的周长＝2πr，据此用37.68除以2π可以求出水池的底面半径，再根据圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，代入数据计算即可解答。 （2）根据题意，抹水泥部分的面积＝圆柱的侧面积＋一个底面积＝Ch＋πr2，据此求出抹水泥部分的面积。根据乘法的意义，用5乘抹水泥的面积，即可求出需要多少千克水泥。最后根据除法的意义，用水泥的总重量除以一袋水泥的重量，即可求出需要的袋数。结果要用“进一法”取整数值。 【规范解答】（1）37.68÷3.14÷2＝6（米） 3.14×62×3 ＝3.14×36×3 ＝339.12（立方米） 答：这个水池最多可以蓄水339.12立方米。 （2）37.68×3＋3.14×62 ＝113.04＋3.14×36 ＝113.04＋113.04 ＝226.08（平方米） 226.08×5÷50 ＝1130.4÷50 ≈23（袋） 答：至少需要准备下面包装的水泥23袋。 9．【解题思路】因原来铅锤是浸没在水中的，当铅锤从水中取出后，下降水的体积等于铅锤的体积。水的体积V＝πr2h，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥的底面积＝3V÷h。 【规范解答】容器水下降的体积：3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积是：56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铅锤的底面积是18.84平方厘米。 10．【解题思路】（1）蒙古包占地面积即为圆柱的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，列式计算即可； （2）圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。由此分别求出圆柱和圆锥体积，再相加，即可求出蒙古包占的空间大约是多少立方米。 【规范解答】（1）12÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：蒙古包的占地面积为113.04平方米。 （2）113.04×2.5＋×113.04×1 ＝282.6＋37.68 ＝320.28（立方米） 答：求蒙古包占的空间，列式为（113.04×2.5＋×113.04×1）。 11．【解题思路】已知圆锥的底面直径和高，可以通过半径＝直径÷2和圆锥体积公式，求得这堆混凝土的体积；将这堆混凝土浇筑成圆柱形立柱，已知底面直径和高，根据半径＝直径÷2和圆柱体积公式，求出一根立柱的体积。最后用这堆混凝土的体积除以一根立柱的体积，即可求出浇筑的根数。 【规范解答】（米） 混凝土体积： =9.42×2 （立方米） （米） 立柱体积： =0.785×4 =3.14（立方米） 18.84÷3.14＝6（根） 答：可以浇筑6根。 12．【规范解答】因为两个圆柱的底面积相等，根据体积和高就能求出底面积，已知底面积和高就可以求出体积。 底面积：81÷4.5＝18（平方分米） 体积：18×3.3＝59.4（立方分米） 答：第二个圆柱的体积是59.4立方分米。 13．【解题思路】因为两个圆柱的底面积相等，已知其中一个圆柱的体积和高，就能求出它们的底面积，根据圆柱的体积＝底面积×高，就可以求出另一个圆柱的体积。 【规范解答】S底＝V1÷h1＝81÷4.5＝18（平方分米） V2＝S底h2＝18×3.3＝59.4（立方分米） 答：第二个圆柱的体积是59.4立方分米。 14．【解题思路】（1）求刷漆的面积，就是求这样柱子的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答； （2）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出柱子的体积，再乘600，即可解答；保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】（1）3.14×1×12.7 ＝3.14×12.7 ≈39.9（平方米） 答：刷漆的面积约39.9平方米。 （2）3.14×（1÷2）2×12.7×600 ＝3.14×0.52×12.7×600 ＝3.14×0.25×12.7×600 ＝0.785×12.7×600 ＝9.9695×600 ＝5981.7（千克） 5981.7千克≈5.98吨 答：这根柱子约重5.98吨。 15．【解题思路】（1）根据底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积，代入数据解答即可； （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这个圆柱的体积，验证上面的结果是否正确即可。 【规范解答】（1）圆柱体积：（3×6×2）2×10÷12 ＝362×10÷12 ＝1296×10÷12 ＝12960÷12 ＝1080（立方厘米） 答：圆柱的体积是1080立方厘米。 （2）根据圆柱体积公式：3×62×10 ＝3×36×10 ＝108×10 ＝1080（立方厘米） 答：根据圆柱的体积公式验证上面结果正确。 【考察方向】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握圆柱的体积计算公式。 16．【解题思路】（1）根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据即可求出这个薯片筒的体积。 （2）圆柱的侧面积：S＝πdh，代入数据即可求出这个薯片筒侧面贴上一圈商标纸的面积。 【规范解答】（1）3.14×（4÷2）2×14 ＝3.14×22×14 ＝3.14×4×14 ＝175.84（立方厘米） 答：这个薯片筒的体积是175.84立方厘米。 （2）3.14×4×14＝175.84（平方厘米） 答：在这个薯片筒的侧面贴上一圈商标纸，至少需要175.84平方厘米的商标纸。 17．【解题思路】先计算铁锤的体积，也是水下降的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高进行计算，根据圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出底面积，圆锥形铁锤的体积＝底面积×高÷3，利用求出的铁锤体积和底面积求出铁锤的高。 【规范解答】圆柱底面半径为12÷2＝6（厘米） 圆柱底面积为（平方厘米） 铁锤的体积为（立方厘米） 铁锤的底面半径为（厘米） 铁锤的底面积为（平方厘米） 铁锤的高为 （厘米） 18．【解题思路】圆柱的体积＝πr2h，根据圆柱的体积求出一个杯子的容积，再求出3个杯子的容积。最后和1升比较出是否够三个人一人一杯。注意：进行单位换算，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升。 【规范解答】×10 ＝3.14×36×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（立方厘米） 1130.4立方厘米＝1.1304升 1.1304×3＝3.3912升 3.3912升＞1升 答：不够每人一杯。 19．【解题思路】（1）圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽是圆柱底面周长，据此根据圆的周长＝圆周率×直径，求出圆的周长，如果等于长方形的长或宽，就能围成圆柱，据此分析。 （2）根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高；圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【规范解答】（1）淘气：3.14×2＝6.28（厘米），能围成圆柱体； 笑笑：3.14×3＝9.42（厘米），不能围成圆柱体。 淘气剪下的图形能围成圆柱体。 （2）3.14×（2÷2）2×2＋6.28×4 ＝3.14×12×2＋25.12 ＝3.14×1×2＋25.12 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方厘米） 3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝12.56（立方厘米） 答：围成的圆柱体的表面积和体积分别是31.4平方厘米、12.56立方厘米。 20．【解题思路】空隙部分的体积就相当于高为5厘米，底面直径为12厘米的圆柱的体积，所以这个瓶子的容积就相当于高为25厘米，底面直径为12厘米的圆柱的体积，然后根据圆柱的体积公式：，代入数据解答即可。 【规范解答】30－25＝5（厘米） 20＋5＝25（厘米） 3.14×（12÷2）2×25 ＝3.14×62×25 ＝3.14×36×25 ＝2826（立方厘米） 答：这个瓶子的容积为2826立方厘米。 21．【解题思路】分析题意可知：谷囤的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，其中底面周长是6.28米，结合谷囤图形的特点可知：这个底面周长既是圆锥也是圆柱的底面周长，根据圆的周长＝，则底面半径＝底面周长÷（）。圆锥的体积＝，圆柱的体积＝，代入数据分别计算出圆锥和圆柱的体积，进而求出谷囤的体积。又知每立方米稻谷约重650千克，则用谷囤的体积×650＝这个谷囤的稻谷的总质量。据此解答即可。 【规范解答】6.28÷（2×3.14） ＝6.28÷6.28 ＝1（米） 3.14×12×2+（3.14×12）×0.3× ＝3.14×1×2+3.14×0.3× ＝6.28+0.314 ＝6.594（立方米） 6.594×650＝4286.1（千克） 答：这个谷囤的稻谷约重4286.1千克。 22．【解题思路】（1）根据题意可知，鱼池墙体的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）需要贴瓷砖的面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的底面积＋小圆柱侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积公式：底面积＝，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）20厘米＝0.2米 1.6÷2＝0.8（米） 0.8＋0.2＝1（米） 3.14×12×1.5－3.14×0.82×1.5 ＝3.14×1×1.5－3.14×0.64×1.5 ＝3.14×1.5－2.0096×1.5 ＝4.71－3.0144 ＝1.6956（立方米） 答：这个鱼池墙的体积是1.6956立方米。 （2）3.14×1×2×1.5＋3.14×12＋3.14×1.6×1.5 ＝3.14×2×1.5＋3.14×1＋5.024×1.5 ＝6.28×1.5＋3.14＋7.536 ＝9.42＋3.14＋7.536 ＝12.56＋7.356 ＝20.096（平方米） 答：需要贴瓷砖的面积是20.096平方米。 23．【解题思路】（1）根据底面和内壁贴上瓷砖，所以贴瓷砖的面积＝底面积＋侧面积＝π（d÷2）2＋πdh，将数据代入计算即可； （2）由（1）得到贴瓷砖的面积再乘每平方米瓷砖35元即可得到总价； （3）根据：V＝πr2h，计算出水池的容积，再乘每立方米水重1吨，即可得到水池的装水重量。 【规范解答】（1）3.14×＋3.14×10×0.8 ＝3.14×25＋3.14×8 ＝3.14×33 ＝103.62（平方米） 答：贴瓷砖的面积是103.62平方米。 （2）103.62×35＝3626.7（元） 答：购买瓷砖需要3626.7元。 （3）3.14××0.8 ＝3.14×25×0.8 ＝62.8（立方米） 1×62.8＝62.8（吨） 答：这个水池最多能装62.8吨水。 24．【解题思路】用底面周长除以圆周率再除以2得出圆柱形铁棒的半径，再根据圆柱体积底面积高计算即可。 【规范解答】 （分米） ＝3.14×1×100 （立方分米） 答：它的体积是314立方分米。 25．【解题思路】圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。 【规范解答】下降的水的体积为： （立方厘米） 圆锥铁块的高为： ＝12（厘米） 答：这个圆锥体的高是12厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 专题04 圆柱的体积和容积解决问题 一、解答题 1．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径3米，深2米。在池的四壁与下底面抹上水泥。 （1）抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个沼气池的最大容积是多少立方米？ 2．在成人体内，60%的质量是水。儿童体内水的比重更大，可达近80%。营养学家建议：每日喝水应不少于1500毫升。明明每天用底面直径6厘米、杯子内高10厘米的圆柱形水杯喝满6杯水。他每天的饮水量达到要求了吗？（通过计算回答） 3．如图，如果将一个实心的铁圆柱形零件（图①），放在一个盛有水的足够高的圆柱形容器（图②）中，则该圆柱形容器的水位将上升多少厘米？ 4．做一个无盖的圆柱形水桶，水桶的底面周长是50.24厘米，高40厘米。 （1）做这样一个水桶至少需要多少平方分米的材料？（得数保留两位小数） （2）这个水桶可以装水多少升？（得数保留两位小数） 5．王师傅要做一对圆柱形无盖铁皮水桶，底面直径4分米，高5分米。大约需要准备多少平方分米的铁皮？（得数保留整十数）这对水桶做好后大约能装多少升水？（得数保留整数） 6．北京时间2023年10月26日，“神十七”发射成功。当它升空后，会与“天和核心舱”端口进行对接，形成一条长约10分米，直径约8分米的圆形通道，这是航天员进入空间站的“生命通道”。这个“生命通道”的容积约是多少？ 7．一台饮水机上的水桶，圆柱部分的高是4分米。（壁厚忽略不计） （1）圆柱部分能装多少升水？ （2）张涛家饮用一天水，水面下降8厘米。这一天饮用了多少升水？（得数保留一位小数） 8．山底村计划在山上新建一个圆柱形蓄水池，水池内口周长为37.68米，深为3米。 （1）这个水池最多可以蓄水多少立方米？ （2）在水池的底面和侧壁抹上水泥，每平方米需要水泥5千克。至少需要准备下面包装的水泥多少袋？ 9．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 10．如图所示，蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。 （1）蒙古包的占地面积有多大？ （2）蒙古包占的空间大约是多少立方米？（此小题只列式不计算） 11．一堆混凝土，堆成了圆锥形，它的底面直径是6米，高是2米。如果将这堆混凝土浇筑成底面直径是1米，高是4米的圆柱形立柱，可以浇筑几根？ 12．两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高为4.5分米，体积为81立方分米；第二个圆柱的高为3.3分米，它的体积是多少立方分米？ 13．两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高为4.5分米，体积为81立方分米；第二个圆柱的高为3.3分米，它的体积是多少立方分米？ 14．太和殿是我国现存规制最高的古代宫殿建筑。太和殿中有72根圆柱形大柱，每一根柱子都是珍贵的楠木，其中最大的柱子高12.7米，直径约是1米。 （1）若要给这根最大的柱子侧面刷漆，刷漆的面积约是多少平方米？（得数保留一位小数） （2）这根柱子约重多少吨？（若1立方米楠木重600千克）（得数保留两位小数） 15．我国古代的数学名著《九章算术》中的商功，记载着这样种求圆柱体积的方法：周自相乘，以高乘之，十二而。意思就是用底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积。（本题π的值取3） （1）利用上述方法求如图圆柱的体积。 （2）你能用所学的数学知识验证上面的结果吗？ 16．一个圆柱形薯片筒如图，底面直径是4厘米，高14厘米。 （1）这个薯片筒的体积是多少立方厘米？(不计厚度) （2）在这个薯片筒的侧面贴上一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？ 17．一个装水的圆柱形容器的底面内直径是12厘米，一个底面周长是18.84厘米的圆锥形铁锤完全浸没在这个容器的水中，将铁锤取出后，水面下降了2厘米，这个铁锤的高是多少厘米？ 18．乐乐家里来了两位同学做客，妈妈榨了1升果汁。如果用右图中的玻璃杯喝果汁，乐乐和两位同学每人一杯够吗？（数据是从杯子内部测量得到的：底面半径为6厘米，高为10厘米。） 19．研学实践中有一项手工制作活动，淘气和笑笑准备做一个圆柱形纸筒，他们分别在纸上剪下了两个相等的圆和一个长方形。（单位：厘米） （1）仔细观察相关数据，判断出（    ）剪下的图形能围成圆柱体。 （2）请你计算出围成的圆柱体的表面积和体积。 20．刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径12厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高20厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。你能根据这些信息求出瓶子的容积吗？ 21．一个谷囤，上面是圆锥形的，下面是圆柱形的。量得底面周长是6.28米，圆柱的高是2米，圆锥的高是0.3米。如果每立方米稻谷约重650千克，这个谷囤的稻谷约重多少千克？ 22．如下图所示，李叔叔在院子里用砖和水泥砌一个圆柱形的鱼池，墙厚20厘米（底面利用原来的水泥地）。 （1）这个鱼池墙体的体积是多少立方米？ （2）如果给这个鱼池的内部和外部的所有面都贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 23．某广场有一个圆柱形音乐喷水池，底面直径10m，深0.8m。 （1）如果要在水池的底面和内壁贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）每平方米瓷砖35元，购买瓷砖需要多少元？ （3）每立方米水重1吨，这个水池最多能装多少吨水？ 24．西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 25．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$