专题05 圆锥的体积和容积解决问题-2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破（北师大版）

2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 专题05 圆锥的体积和容积解决问题 一、解答题 1．一堆玉米堆成圆锥形，底面周长是18.84米，高是2米。 （1）如果把这些玉米装在内底面半径是2米的圆柱形粮仓里，能装多高？ （2）如果每立方米玉米重750千克，这些玉米有多少吨？ 2．一个圆锥形沙堆，高是1.8米，底面直径是16米。如果工人师傅用容积是0.7立方米的小推车运这堆沙子，要运多少车？（根据实际情况取近似值，得数保留整数。） 3．一个圆柱形易拉罐的高度正好等于一个圆锥形高脚杯的高度（如下图）。 （1）在易拉罐的侧面全部贴上商标纸，商标纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个易拉罐在商标纸上标注“净含量：750毫升”，你认为商家做虚假宣传了吗？为什么？（饮料罐厚度忽略不计） （3）把满罐饮料全部倒入高脚杯中，最多可以倒满几杯？（高脚杯的厚度忽略不计） 4．一个圆柱形鱼缸，底面直径为40厘米，高30厘米，里面盛了一些水。把一个底面半径10厘米的圆锥形铅锤放入鱼缸中（铅锤全部浸入水中），水面高度上升了2厘米。这个铅锤的高是多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 5．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 6．一个圆锥形沙堆（如图），底面直径2米，高1.5米。如果用容积是0.3立方米的小车来运，需要运几次才能运完？ 7．据统计，被称为“龙卷风”之乡的美国平均每年形成1000次左右的龙卷风，而根据国家气候中心1991年到2020年的统计数据，我国平均每年发生龙卷风38个，其中江苏和广东最多。某次龙卷风的高度约126米，顶部直径约80米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为多少立方米？ 8．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 9．假日里，小宁和家人奔赴了一场草原之旅。小宁对入住的蒙古包非常感兴趣，他看到蒙古包整体上由一个圆柱和一个圆锥组成。经了解。蒙古包从里面量得的数据如图所示。这个蒙古包内部的空间有多少立方米？ 10．为践行绿色文明，提高环保意识，城东小学举办“变废为宝”手工创意大赛，某同学制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）张老师打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 11．龙卷风是一种强涡旋现象，常发生在夏季，破坏力极大。某次龙卷风的高度约为120米，顶部直径约为100米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为多少立方米？ 12．为提升学生科学素养，培养学生创新思维和动手能力，学校开展了校园科技节活动。科技兴趣小组的同学手工制作了神舟飞船模型，下图是模型的一部分，它的体积是多少？ 13．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 14．2024年各地加强小区改建，某小区准备修建一个底面直径是20米，高0.3米的圆柱形花坛。（花坛壁的厚度忽略不计） （1）如果想在花坛内种上花，需要多少立方米的土才能填满这个花坛？ （2）现在有一个圆锥形的土堆，土堆的底面周长是31.4米，高3米。这堆土能否填满这个花坛？ 15．一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 16．一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 17．一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 18．蒙古包的下半部是圆柱形，上半部是圆锥形。一个蒙古包底面的占地半径是3米，圆柱部分高是1.8米，最高处距地面的距离是3.4米。这个蒙古包内的空间是多少立方米？ 19．南京某景区推出系列文创冰激凌，商家设计了和两种包装（每种包装都刚好装满），两种包装及定价如图所示。 （1）两种包装的体积各是多少立方厘米？ （2）你认为这样的定价合理吗？说明理由。 20．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 21．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，然后把这个圆锥沿着高切开，得到两个如图的物体，一个截面的面积是30平方厘米。如果这个圆锥的高是6厘米，那么这个圆柱形木料的体积是多少？ 22．一个圆柱体侧面展开后是一个长6.28厘米，宽3厘米的长方形，如果把它削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的底面直径是多少厘米？削去部分的体积是多少？ 23．淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。 （1）这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？ （2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积） 24．小林先用橡皮泥捏成一个底面积是4平方厘米，高是6厘米的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。 （1）如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 （2）如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 25．一个圆柱形木料，它的底面周长是15.7厘米，高是4厘米。把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 专题05 圆锥的体积和容积解决问题 答案解析 1．【解题思路】（1）由题意可知，把玉米装在圆柱形的粮仓里玉米的体积不变，先求出圆锥的底面半径，再根据“”求出这堆玉米的体积，最后利用“”求出玉米装在圆柱形粮仓里面的高度； （2）先利用“”求出这堆玉米的体积，再乘每立方米玉米的重量求出玉米的总重量，最后把单位转化为“吨”，据此解答。 【规范解答】（1）18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） ＝ ＝ ＝ ＝1.5（米） 答：能装1.5米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝4500×3.14 ＝14130（千克） 14130千克＝14.13吨 答：这些玉米有14.13吨。 【考察方向】本题主要考查圆锥和圆柱体积公式的应用，熟练掌握并灵活运用公式是解答题目的关键。 2．【解题思路】根据“圆锥的体积＝×底面积×高”求出这堆沙子的体积，需要运的车数＝这堆沙子的体积÷小推车的容积，最后结果用进一法取整数。 【规范解答】3.14×（16÷2）2×1.8× ＝3.14×64×1.8× ＝200.96×1.8× ＝361.728× ＝120.576（平方米） 120.576÷0.7≈173（车） 答：要运173车。 3．【解题思路】（1）根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可； （2）根据圆柱体积＝底面积×高，求出易拉罐的容积，与标注的净含量比较即可； （3）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出高脚杯的容积，易拉罐容积÷高脚杯容积，结果用去尾法保留近似数即可。 【规范解答】（1）9＋6＝15（厘米）   3.14×8×15＝376.8（平方厘米） 答：商标纸的面积是376.8平方厘米。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝753.6（立方厘米） ＝753.6（毫升） 753.6毫升＞750毫升 答：商家没有做虚假宣传，因为罐内容积大于750毫升。 （3）10÷2＝5（厘米）   3.14×52×6÷3 ＝3.14×25×6÷3 ＝157（立方厘米） ＝157（毫升） 753.6÷157≈4（杯） 答：最多可以倒满4杯。 4．【解题思路】把圆锥放入圆柱形鱼缸中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，，求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，那么h＝V×3÷S，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×（40÷2）2×2 ＝3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝1256×2 ＝2512（立方厘米） 2512×3÷（3.14×102） ＝2512×3÷（3.14×100） ＝2512×3÷314 ＝7536÷314 ＝24（厘米） 答：这个铅锤的高是24厘米。 5．【解题思路】观察图形可知，粮囤是由一个圆锥和一个圆柱组成，它们的底面积相等。已知粮囤的底面周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出粮囤的底面半径； 已知整个粮囤的高度是8米，圆柱的高与圆锥的高的比是5∶3，则圆柱的高占整个粮囤的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出圆柱的高；再用整个粮囤的高减去圆柱的高，求出圆锥的高； 根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的容积，再相加即是这个粮囤的最多能装多少立方米稻谷。 【规范解答】底面半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 圆柱的高： 8× ＝8× ＝5（米） 圆锥的高：8－5＝3（米） 粮囤的容积： 3.14×102×5＋×3.14×102×3 ＝3.14×100×5＋×3.14×100×3 ＝1570＋314 ＝1884（立方米） 答：这个粮囤最多能装1884立方米稻谷。 6．【解题思路】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个沙堆的体积； 已知用容积是0.3立方米的小车来运这个沙堆，用沙堆的体积除以小车的容积，即可求出需要运的次数。注意得数采用“进一法”保留整数。 【规范解答】×3.14×（2÷2）2×1.5 ＝×3.14×12×1.5 ＝×3.14×1×1.5 ＝1.57（立方米） 1.57÷0.3≈6（次） 答：需要运6次才能运完。 7．【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积。 【规范解答】×3.14×（80÷2）2×126 ＝×3.14×402×126 ＝×3.14×1600×126 ＝211008（立方米） 答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为211008立方米。 8．【解题思路】把容器的高度看作单位“1”，根据容器里装有的水，可知此时水的高度是（8×）分米。圆锥放入其中〈全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，说明容器内水面上升了（8－8×）分米。由此利用圆柱的体积公式先求出容器中上升部分的水的体积，即得出圆锥的体积，再利用圆锥的高＝3×体积÷圆锥的底面积，即可解决问题。 【规范解答】8－8× ＝8－6 ＝2（分米） 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷（3.14×4） ＝75.36÷12.56 ＝6（分米） 答：这个圆锥的高是6分米。 9．【解题思路】求蒙古包内部的空间，就是求底面直径是8米，高是2米的圆柱的体积加上底面直径是8米，高是1.5米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×1.5× ＝3.14×42×2＋3.14×42×1.5× ＝3.14×16×2＋3.14×16×1.5× ＝50.24×2＋50.24×1.5× ＝100.48＋75.36× ＝100.48＋25.12 ＝125.6（立方米） 答：这个蒙古包内部的空间有125.6立方米。 10．【解题思路】（1）模型由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，再相加，即可解答； （2）求彩纸的面积，就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 【规范解答】（1）3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流罩模型的体积是18.84立方分米。 （2）3.14×2×5 ＝6.28×5 ＝31.4（平方分米） 答：需要31.4平方分米的彩纸。 11．【解题思路】由题可知，圆锥的直径是100米，高是120米，根据公式：半径＝直径÷2，底面积＝圆周率×半径的平方，圆锥的体积＝×底面积×高，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】×3.14×（100÷2）2×120 ＝×3.14×502×120 ＝×3.14×2500×120 ＝314000（立方米） 答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为314000立方米。 12．【解题思路】这个立体图形由一个圆锥和一个圆柱组成，已知圆锥的底面直径是4分米，高是6分米，根据圆锥体积＝×底面积×高， 可求出圆锥的体积；已知圆柱的底面直径是4分米，高是8分米，根据圆柱体积＝底面积×高，可求出圆柱的体积，最后把两部分体积相加即可。 【规范解答】圆锥体积： ＝ ＝ ＝25.12（立方分米） 圆柱体积： ＝ ＝ ＝100.48（立方分米） 总体积：（立方分米） 答：它的体积是125.6立方分米。 13．【解题思路】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【规范解答】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 14．【解题思路】据题意可知，花坛是个圆柱体。 （1）求填满花坛的土的立方米数，就是求圆柱的体积，根据，又知，代入数据计算即可。 （2）根据，求出半径，再根据，代入数据求出圆锥的体积，最后与圆柱的体积进行比较，即可得解。 【规范解答】（1）3.14×（20÷2）2×0.3 ＝3.14×102×0.3 ＝3.14×100×0.3 ＝94.2（立方米） 答：需要94.2立方米的土才能填满这个花坛。 （2）×3.14×（31.4÷3.14÷2）2×3 ＝×3.14×52×3 ＝×3.14×25×3 ＝78.5（立方米） 78.5＜94.2 答：这堆土不能填满这个花坛。 15．【解题思路】（1）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出黄沙体积，黄沙体积×每立方米吨数＝总吨数，据此列式解答； （2）铺到路上的形状是个长方体，路面厚相当于长方体的高，根据1米＝100厘米统一单位，再根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。结果根据四舍五入法保留近似数。 【规范解答】（1）3.14×（8π÷π÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×1.5＝37.68（吨） 答：这堆黄沙约重37.68吨。 （2）2厘米＝0.02米 25.12÷6÷0.02≈209.3（米） 答：能铺209.3米长。 16．【解题思路】根据题意，先算出这个圆锥形沙堆的体积，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。然后统一单位，5厘米＝0.05米，根据长方体的体积公式可知，用算出的体积除以8再除以0.05，即可求出答案。 【规范解答】沙堆： ＝5×4 ＝20（立方米） 5厘米＝0.05米 20÷8÷0.05 ＝2.5÷0.05 ＝50（米） 答：能铺50米路。 17．【解题思路】先依据求出水的体积，再据水的体积不变，利用即可求出圆锥形容器后的底面积。 【规范解答】5×4×3＝60（立方厘米） 60×3÷5 ＝180÷5 ＝36（平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是36平方厘米。 18．65.94立方米 【解题思路】蒙古包的容积分为圆柱部分和圆锥部分，将数据分别代入圆柱的体积公式和圆锥的体积公式计算即可，注意圆锥的高＝3.4－1.8＝1.6（米）。 【规范解答】3.14×3×3×1.8＝50.868（立方米） 3.4－1.8＝1.6（米） 3.14×3×3×1.6×=15.072（立方米） 50.868＋15.072＝65.94（立方米） 答：这个蒙古包内的空间是65.94立方米。 19．【解题思路】（1）利用圆柱体积公式：，圆锥的体积公式：计算两种包装的体积即可； （2）两数相除又叫两个数的比，据此写出两种包装的体积比与价格的比，化简并求比值，比值相等说明合理，比值不相等，说明不合理。（理由合理即可） 【规范解答】（1） （立方厘米） （立方厘米） 答：包装的体积是602.88立方厘米，包装的体积是200.96立方厘米。 （2）体积比是： 单价比是： 答：这样的定价不合理。 20．【解题思路】根据题意可知，把圆锥形铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：，得出上升0.2厘米圆柱的体积，也就是圆锥的体积。再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】 （厘米） 答：圆锥形铁块的高是15厘米。 21．【解题思路】把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，则这个圆锥与圆柱等底等高。沿着高切开，截面是一个等腰三角形，三角形的底是圆锥底面圆的直径，高是圆锥的高。由截面的面积求出圆锥的半径，即圆柱的半径，再根据公式“圆柱体积＝底面积×高”求出圆柱形木料的体积。 【规范解答】（厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱形木料的体积是471立方厘米。 22．【解题思路】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，将圆柱削成最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的，底面直径＝底面周长÷圆周率÷2，削去部分的体积＝圆柱体积×，圆柱体积＝底面积×高，据此列式解答。 【规范解答】6.28÷3.14＝2（厘米） 3.14×（2÷2）2×3× ＝3.14×12×3× ＝9.42× ＝6.28（立方厘米） 答：这个圆锥的底面直径是2厘米，削去部分的体积是6.28立方厘米。 23．【解题思路】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是10cm，高9cm的圆锥的体积，利用公式求解即可； （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【规范解答】（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14××9 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（平方厘米） 答：这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入235.5毫升的污水。 （2）9×＝3（厘米） 答：圆柱形容器中水的高度大约是3厘米。 24．【解题思路】（1）根据圆柱的体积得出圆柱的体积，再根据圆柱的体积与长方体的体积相等，找到符合题意的长方体的长、宽、高，画图即可； （2）根据圆锥的体积公式：，结合圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，计算圆锥的底面半径和高，作图即可。 【规范解答】（1）4×6＝24（立方厘米） 24＝2×2×6，得出长方体的长是2厘米，宽是2厘米，高是6厘米。 （2）底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，则体积相等。 3×6＝18（厘米），得出圆锥的底面积是4平方厘米，高是18厘米。 25．【解题思路】已知圆柱形木料的底面周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 把这个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥与圆柱等底等高；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出它的体积，得数根据“四舍五入”法保留两位小数。 【规范解答】底面半径：15.7÷3.14÷2＝2.5（厘米） 3.14×2.52×4× ＝3.14×6.25×4× ＝78.5× ≈26.17（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是26.17立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$