第17章 勾股定理能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第17章 勾股定理能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（江苏省南京联合体2024-2025学年上学期八年级数学期末试题）边长为的等边三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西九江·期末）如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形和中间小的正方形，若直角三角形的两条直角边的比为，大正方形的面积为25，则小正方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，15只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直径均为45，要给他们盖一个遮雨棚，遮雨棚的最低高度为（）． A．225 B． C． D． 9．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，三条直线a、b、c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为3，则 ． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 14．（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则光线从点A到点B经过的路程为 ． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，高度为，的长是，，求的长． 18．（8分）（24-25八年级上·福建福州·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 19．（8分）（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处． (1)求证：； (2)若，，求BE的长． 20．（8分）（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 21．（10分）（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 22．（10分）（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 勾股定理能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（江苏省南京联合体2024-2025学年上学期八年级数学期末试题）边长为的等边三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，作于点，则，由等边三角形的性质得，则，然后通过勾股定理求出的长，最后由三角形面积公式即可求解，掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的根据． 【详解】解：如图，作于点，则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 点， 故故选：：D． 4．（24-25八年级上·江西九江·期末）如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形和中间小的正方形，若直角三角形的两条直角边的比为，大正方形的面积为25，则小正方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和勾股定理，熟悉全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 先根据全等三角形的性质和已知条件求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为25， ∴， ∵四个直角三角形是全等三角形， ∴， 又∵直角三角形的两条直角边的比为，即， ∴， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为5． 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积， ∴所求的面积为 ， 故选：A． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，15只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直径均为45，要给他们盖一个遮雨棚，遮雨棚的最低高度为（）． A．225 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，由题意可知，于点，先证明为等边三角形，再由等边三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，于点， 为等边三角形， 油桶的最高点到地面的距离， 即遮雨棚的最低高度为， 故选：B． 9．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】首先在等腰中，可知，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，，；过点作于点，解得，进一步可得，再在中，利用勾股定理解得的值，易得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，，是斜边的中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，三条直线a、b、c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得，从而可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 【答案】26 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点D作于点E，可得分米，分米，分米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则分米，分米， ∴分米， ∴（分米）． 所以此时牵狗绳的长为26分米． 故答案为：26． 14．（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则光线从点A到点B经过的路程为 ． 【答案】5 【分析】题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质及勾股定理，同时渗透光学中反射原理，熟练掌握坐标与图形性质是解决本题关键．作点，使其与点关于轴对称，路径长就是的长度．连接，先证明．再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长与x轴交于点， 这束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点， 由反射定律可得，， ， 于． 且， ， ， ， ． 即光线从点到点经过的路径长为5． 故答案为：5． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，高度为，的长是，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了勾股定理，正确进行计算是解答本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， . 答：的长为． 18．（8分）（24-25八年级上·福建福州·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)9米 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； （2）解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19．（8分）（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处． (1)求证：； (2)若，，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由折叠可得：，再由平行线的性质得，从而得到，根据等角对等边即可得出结论； （2）先根据平行线的性质与垂直定义求得，再由折叠的性质得由折叠可得：，，，然后设，则，最后在中 ，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得：，， 由（1）知： 设，则， 在中 ，由勾股定理，得 解得：， 即BE的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握等角对等边、勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 20．（8分）（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 21．（10分）（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 22．（10分）（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过30h从点移到点； (2)市受到台风影响的时间持续． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，即可求解； （2）在射线上取点，使得，利用勾股定理求出，进而求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 学科网（北京）股份有限公司 $$