精品解析：陕西省安康市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

安康市2024—2025学年第一学期高一期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数 的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以通过对给定函数进行变形，令指数部分为来找到图象恒过的定点. 【详解】对于函数（），令，即. 当时，. 所以函数（）的图象恒过定点. 故选：D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假. 【详解】由于，则命题是假命题，是真命题； 命题是真命题，是假命题， 故选：B 3. 有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 4. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算各区间端点处函数值的乘积，判断是否小于，,z根据零点存在性定理判定即可. 【详解】显然，函数在以上区间都连续. ，，，，， 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 由于，根据函数零点存在定理，函数在区间内一定存在零点. 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 综上所得，函数在区间内一定存在零点. 故选：B. 5. 已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与在给定区间的正负性，结合韦达定理求出的值. 【详解】在区间内，，. 已知和是方程的两根， 根据韦达定理有，. 因为，所以. 又因为，所以.则. 所以， 又，即，解得. 故选：C. 6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的面积公式，弧长公式以及象限角的范围结合充分、必要条件判断即可； 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得或， 所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不是第二象限角， 又第二象限角的范围为， 所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，结合基本不等式比较大小即得. 【详解】，因此； ，则 ， 所以. 故选：A 8. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 【点睛】易错点睛：同一问题，多次使用基本不等式求最值，注意各次运用时等号成立的条件要具有一致性，否则，等号可能不被取到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A、C正确；令可得B错误；作差可得D正确； 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知为锐角，角的始边均为轴正半轴，终边关于轴对称，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意对各个选项利用三角公式进行验证即可；对A选项，不能确定的值；对B选项，可由诱导公式得出其正确；对C选项，由两角差的正切公式和诱导公式计算判断；对D选项，可以先两边平方化简判断. 【详解】对于A选项，不能确定的值，A选项错误； 对于B选项，由题意，可得，是锐角，，，B选项正确； 对于C选项，由题意，由可得，，选项C正确； 对于D选项，由，，， 两边平方，得到，，D选项正确. 故选：BCD 11. 现定义：若对定义域内任意，都有，其中为正数，则称函数为“倍平移函数”，则（ ） A. 函数为“3倍平移函数” B. 函数不是“1倍平移函数” C. 函数是“2倍平移函数” D. 若函数是“2倍平移函数”，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据定义计算判断即可；对于B，根据定义计算判断即可；对于C，利用特殊值可判断；对于D，由条件结合定义分、讨论可得答案. 【详解】对于A，因为，又， 由于在上单调递增，所以， 所以函数为“3倍平移函数”，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以函数是“1倍平移函数”，故B错误； 对于C，因为，所以， 当时，，，即， 所以函数不是“2倍平移函数”，故C错误； 对于D，若，是“2倍平移函数”， 则，即对恒成立， 可得， 当时，可得， 整理得，所以，解得； 当时，可得， 整理得，所以，解得； 综上，，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：恒成立有解求参常见的方法有：参变分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若和的图象与轴的交点完全相同，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的平移和周期性质求解即可； 【详解】因为和的图象与轴的交点完全相同， 则，即， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的取值范围为__________，若 恒成立，则的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用此性质解不等式求出范围；换元并利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】函数的定义域为R，，函数是偶函数， 当时，令，函数在上单调递增，而函数是增函数， 因此函数在上单调递增，， 则，解得或， 所以的取值范围为； ，当且仅当时取等号， ， 不等式， 而，当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为6. 故答案为：；6 【点睛】关键点点睛：求出有范围，将配方变形，再分离参数是求解第二空的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式解出集合，再由集合的运算求解即可； （2）由集合间的包含关系列不等式求解即可； 【小问1详解】 ， 解得，所以，或， 若，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得. 16. （1）求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】（1）由根式，对数的运算性质计算即可； （2）利用三角函数的基本关系式，结合正余弦的齐次式法化简即可. 【详解】（1） ； （2）由可得，则， 所以， 所以. 17. 已知幂函数的定义域为． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】（1） （2） 在上单调递增，理由如下： 由（1）可得， 且， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解结合定义域可得，可求； （2）在上单调递增，利用单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或， 当，幂函数的定义域为，符合题意； 当，幂函数的定义域为，不符合题意； 所以，所以． 【小问2详解】 略 18. 某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． （1）若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； （2）已知径流量，证明：． 【答案】（1）63； （2） 当时，， 而， 又 ， 所以，即原等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系求出值. （2）利用对数运算法则推理论证即得. 【小问1详解】 当时，，扩大，即， 因此，即， 则，所以. 【小问2详解】 略 19. 已知，函数，且在区间上单调递增． （1）若，求曲线的对称轴与对称中心； （2）当取最大值时，若，求的最小值； （3）设函数，若对于任意的实数在区间上都不单调，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为，对称中心为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在指定区间上求出相位的范围，再结合单调性建立不等式求出范围，确定值，进而求出对称轴、对称中心. （2）由（1）确定值并代入，利用和角的正弦化简并求出，再求出的最小值. （3）利用三角恒等变换化简函数，由任意性可得的半周期小于区间长，再结合（1）的范围求得答案. 【小问1详解】 当时，，由在区间上单调递增， 得，解得，而，则，， 由，得；由，得， 所以曲线的对称轴为，对称中心为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由，得，整理得， 因此，，解得，则， 所以的最小值是. 【小问3详解】 由（1）知，， 而 ， 由对于任意的实数在区间上都不单调， 得函数在上至少取到一个最大值和一个最小值，即，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：结合正弦函数图象特征及任意性，可得函数在上至少取到一个最大值和一个最小值是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安康市2024—2025学年第一学期高一期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数 的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 4. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知为锐角，角的始边均为轴正半轴，终边关于轴对称，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 现定义：若对定义域内任意，都有，其中为正数，则称函数为“倍平移函数”，则（ ） A. 函数为“3倍平移函数” B. 函数不是“1倍平移函数” C. 函数是“2倍平移函数” D. 若函数是“2倍平移函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 13. 已知函数，若和的图象与轴的交点完全相同，则的最小值为__________． 14. 已知函数，若，则的取值范围为__________，若 恒成立，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. （1）求的值； （2）已知，求的值. 17. 已知幂函数的定义域为． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 18. 某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． （1）若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； （2）已知径流量，证明：． 19. 已知，函数，且在区间上单调递增． （1）若，求曲线的对称轴与对称中心； （2）当取最大值时，若，求的最小值； （3）设函数，若对于任意的实数在区间上都不单调，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $