专题2.3 两条直线的位置关系（专项练习）（培优拓展）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 两条直线的位置关系（专项练习）（培优拓展） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①线段与线段是同一条线段；    ②等角的补角相等； ③若两个角相等，则两个角是对顶角；    ④若，则点是的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（21-22七年级下·河南平顶山·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 6．（24-25七年级上·天津河北·期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）将长方形纸片的两个直角和沿直线折叠，得到如图，则互为余角的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，则之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“>” “<”或“=”） 12．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 14．（23-24七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    15．（19-20七年级下·河北承德·期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数为 度． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 17．（24-25七年级上·江西南昌·期末）在同一平面内，，射线与的一边所成夹角为直角，射线平分，则的度数为 ． 18．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （    ）（垂直的定义）． （已知）， （    ）（    ）． ∵直线，相交于点O（已知）， （   ）． （等量代换）． 20．（本小题满分8分）（湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图，点在直线上，在直线上方，且． （1）若，且在内部，与互余，则______，______． （2）若恰好平分，且与互补，求的度数． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图，，，，求的度数； （2）若把（1）中的“”去掉，则的度数是多少？ 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． （1）旋转前，的度数为_______，的度数为_______； （2）当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； （3）在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图1，点、、在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点、、不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． （1）如图2，若与重合，其中，，则________； （2）如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； （3）当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D C D D D A 1．B 【分析】本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于是解题的关键．利用互补两角和为，求解即可． 解：互补两角和为， 的互补角为， 故选：B． 2．C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了线段，补角，对顶角，线段的中点的定义，根据线段，补角，对顶角，线段的中点的定义，逐项分析判断即可求解． 解：①线段与线段是同一条线段，正确；     ②等角的补角相等，正确； ③若两个角相等，则两个角不一定是对顶角，故③错误；     ④若在线段上，且，则点是的中点，故④错误． 故选：B． 5．D 【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断． 解：∵为对顶角， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵OF平分， ∴，故选项B正确； ∵， ∴与互为补角，故选项C正确； ∵，， ∴的余角等于，故选项D错误； 故选：D． 【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键熟练掌握角平分线的定义和垂线的性质． 6．C 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断． 解：∵和互补，， ∴， ∵的余角，所以①正确； ∵， ∴的余角，所以②正确； ∵， ∴， ∴的余角，所以③错误，④正确． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算，根据角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、根据题意得，原选项不符合题意； 、根据题意得，原选项不符合题意； 、根据题意得，原选项不符合题意； 、由题意得：得，， ∵， ∴， ∴与互余，符合题意； 故选：． 8．D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了补角，绝对值，新定义，一元一次方程，解决问题的关键是理解新定义． 根据补角的概念，先求出这个角的垂角，由垂角的定义列方程，再解答即可 解：设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，根据题意， ， 或 解得或， 这个角的度数为或． 故选D． 10．A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 11． 【分析】本题考查网格特征、余角的定义、角的和差关系及大小比较等知识点，熟练掌握网格特征是解题关键．如图，取格点格点、，连接、、、，根据网格特征可得四边形是正方形，，，根据余角得定义得出，根据角的和差关系即可比较、的大小，可得答案． 解：如图，取格点格点、，连接、、、， 由网格特征可知：，，四边形是正方形， ∴，， ∵的余角为， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12． 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 13．/75度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出，然后结合，求出的度数，根据平角定义求出的度数，最后根据角平分线的定义求解即可． 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为OF平分， 所以． 14．/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案． 解：， ， 点A到直线PC的距离是线段的长， 故答案为：． 15．138 【分析】由于∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°，易求∠2=42°，而∠1=∠2，那么∠BOD=84°，再利平角的性质可求∠COB，即可求解． 解：∵∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°， ∴∠2=42°， ∵∠1=∠2， ∴∠BOD=2∠2=84°， ∴∠COB=180°-84°=96°， ∠COE=∠COB+∠2=138°． 故答案为：138 【点拨】此题考查对顶角和邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 16．或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 17．或或 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的度数的计算，正确作出图形，分类讨论是解题的关键； 根据题意画出符合条件的图形，可以与垂直（如图1），也可以与垂直（如图2），根据图形分别进行讨论进行讨论即可求解． 解：如图1，当与垂直时 ①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当与垂直时， ③∵，， ∵平分， ∴， ∴， ④∵，， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或或． 故答案为：或或． 18．40 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的补角为． 故答案为：40． 19．，，等量代换，对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质．根据垂直的定义可得，根据角的和差关系可得，再根据对顶角的性质解答即可． 解：∵于点O（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵直线，相交于点O（已知）， ∴（对顶角相等）， （等量代换）． 20．（1）， （2） 【分析】（1）根据互余的两个角的和为计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，设，表示出，，结合与互补，列出方程，解方程即可得出答案． 解：（1）解：如图 ∵，且在内部，与互余， ， 故答案为：，； （2）解：如图所示： ， ∵恰好平分， ， 设， ∵， ， ，， 与互补， ， 解得：， ． 【点拨】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差等知识点，熟练掌握垂直的定义以及角的等量代换解决问题是解题的关键． （1）根据已知，根据角的等量关系及等量代换求解即可； （2）根据可得，再利用角的等量代换求解即可． 解：（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 22．（1）， （2），理由见详解 （3）秒或秒或秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解； 掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 解：（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （3）解：存在； 理由如下： ①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 23．（1）90；（2），理由见分析；（3）仍然成立，理由见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义及角度和差关系．关键是利用角平分线的定义得出与的关系． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合； （2）有题意得，结合角平分线得，结合即可； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可． 解：（1）∵点、、在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）．理由： ∵是内的一条射线， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由： ∵平分，平分， ∴． ∵是内的一条射线， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． 24．（1） （2）见分析 （3）或或180°或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图根据题意得到，则问题可解； （2）①根据题意画图即可； ②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可； （3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可． 解：（1）解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： （2）①由题意，画图如下， ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴, ∴ （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则 综上，的角度为或或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$