专题2.1 两条直线的位置关系（4大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 两条直线的位置关系（4大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与考点目录】 【知识点归纳】 【知识点1】对顶角 1.定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2.性质：对顶角相等． 【知识点2】余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点3】余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等；2.同角（等角）的补角相等． 【要点提示】 （1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角α的余角可以表示为（90°-α），一个角α的补角可以表示为（180°-α） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°；（3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 【知识点4】垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【要点提示】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【要点提示】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【要点提示】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【考点与题型目录】 【考点一】对顶角 【题型1】对顶角的理解.......................................................3 【题型2】对顶角相等.........................................................4 【题型3】对顶角相等与角平分线综合...........................................6 【考点二】余角与补角 【题型4】求一个角的余角与补角...............................................8 【题型5】与余角、补角的有关计算............................................10 【题型6】利用同（等）角的余（补）角相等性质求值............................12 【题型7】对顶角、邻补角综合求值............................................15 【考点三】垂直 【题型8】垂线的定义理解....................................................16 【题型9】尺规作图——画垂线................................................18 【题型10】垂线段最短.......................................................20 【题型11】点到直线的距离...................................................22 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接.........................................................24 【题型13】拓展延伸.........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】对顶角定义及性质 【题型1】对顶角的理解 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 解：根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义判断解答即可． 本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：根据题意，得是对顶角的是： 故选：C． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意可得有两条直线，共有2对对顶角，而；有三条直线，共有6对对顶角，而；有四条直线，共有12对对顶角，而；……，由此发现规律，即可求解． 解：有两条直线，共有2对对顶角，而； 有三条直线，共有6对对顶角，而； 有四条直线，共有12对对顶角，而； ……； 当有n条直线相交于一点时，共有对对顶角； 故答案为：． 【题型2】对顶角相等 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的概念，解题的关键掌握对顶角相等的概念． 解：由题图可知与互为对顶角，所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角性质，得，结合得到，利用邻补角计算即可． 本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 【题型3】对顶角相等与角平分线综合 【例3】（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平角定义可得，根据垂直定义可得，然后利用角的和差即可解答； （2）由求出，根据对顶角相等得，然后利用角平分线的定义即可求解． 解：（1）解：平分，且 （2）解：由（1）知： ∵平分， 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的运算，对顶角相等等知识．先求出，再根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义求出，即可得到． 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【考点二】余角与补角 【题型4】求一个角的余角与补角 【例4】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． （1）图中与互余的角是______； （2）图中与互补的角是______； （3）如果，那么点在点的______方向． 【答案】（1），；（2），；（3）北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 解：（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知与互为余角，，则比大（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义，根据题意得，然后结合，即可解答． 解：∵与互为余角， ∴， 又∵， ∴，即，， ∴比大， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角、补角性质，分射线在直线的同侧、异侧两种情况讨论，是解题的关键． 先根据题意可得分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数． 解：当在直线同侧时， ∵，， ∴； 当在直线异侧时， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 【题型5】与余角、补角的有关计算 【例5】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析． 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及角之间的数量关系，补角的定义； （1）由角的和差得，由角平线的定义得，由补角的定义即可求解； （2）由角的和差得，由补角的定义得，即可求解； 理解角平分线的定义，能结合补角的定义熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 解：（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解：猜想：， 理由如下： ， ．， 平分， ， ． 【变式1】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据余角和补角的定义直接列式计算即可． 解：， 的余角， 的补角， 故答案为：，． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的有 ． ①钝角与锐角互补； ②的余角是； ③的补角是； ④若，则互余． 【答案】③ 【分析】本题考查了余角和补角的性质，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 根据互补和互余的定义一一判断即可． 解：①：例如：是钝角，是锐角，不互补；故此项错误； ②：当时，的余角是，当时，没有余角；故此项错误； ③：当时，的补角是；故此项正确； ④：互余是两个角之间的关系；故此项错误． 故答案为：③ ． 【题型6】利用同（等）角的余（补）角相等性质求值 【例6】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）请补充完成以下解答过程． 已知：如图，，，平分，若，求的度数． 解：因为， 所以 ______． 因为______， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以____________ 所以______ 【答案】；；；； 【分析】此题考查的是角的和与差，余角的性质，角平分线定义，掌握各个角的关系、角平分线的定义和同角的余角相等是解决此题的关键．根据同角的余角相等可得，从而求出，再根据角平分线的定义可得，从而求出即可． 解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 【变式1】（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，余角和补角的定义，余角的性质，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可判断①；根据余角的定义可以判断②；根据补角定义可以判断③；根据余角的性质先得出，根据即可判断④． 解：∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵，， ∴， ∴与互余，故②正确； 任何一个角的补角都是只有一个，因此的补角只有一个，而图中与互补的角有和两个，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，余角的性质：同角或等角的余角相等．根据同角的余角相等是解此题的关键．根据分别与互余，与互余即可求解． 解：， ， 即与互余，与互余， ， ， 故答案为： 【题型7】对顶角、邻补角综合求值 【例7】（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，相交于点． （1）写出，的邻补角； （2）写出，的对顶角； （3）如果，求，的度数． 【答案】（1）的邻补角是和，的邻补角是和；（2）的对顶角是，的对顶角是；（3），． 【分析】（1）根据邻补角定义“只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角”进行分析； （2）根据对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线”进行分析即可； （3）根据邻补角互补、对顶角相等可得答案． 解：（1）由图及题意可知：∠AOC的邻补角是∠COB，∠AOD； ∠BOE的邻补角是：∠AOE，∠BOF； （2）∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF； （3）∵∠AOC=50°，由对顶角相等可知： ∴∠BOD=50°， 由邻补角互补可知： ∠COB=180°-∠BOD =180° - 50°=130°． 【点拨】本题考查了邻补角及对顶角的定义，掌握邻补角及对顶角的概念是解决本题的关键． 【变式】（15-16七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 【考点三】垂直 【题型8】垂线的定义理解 【例8】（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （   ）（垂直的定义）． （已知）， （   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知）， （   ）． （等量代换）． 【答案】，，等量代换，对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质．根据垂直的定义可得，根据角的和差关系可得，再根据对顶角的性质解答即可． 解：∵于点O（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵直线，相交于点O（已知）， ∴（对顶角相等）， （等量代换）． 【变式1】（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 解：， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，，，点B，O，D在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的概念和角的和差计算． 根据邻补角的性质求出的度数，再根据垂直的定义求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】尺规作图——画垂线 【例9】（24-25七年级下·全国·期中）利用网格画图． （1）过点C画的平行线： （2）过点C画的垂线，垂足为； （3）线段的长度是点C到直线__________的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）；（4）；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短． ①根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； ②根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； ③根据点到直线的距离概念回答； ④根据垂线段最短直接回答即可． 解：（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式1】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型10】垂线段最短 【例10】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． （1）现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． （2）一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【答案】（1）作图见分析，理由：两点之间，线段最短；（2）作图见分析，理由：垂线段最短； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，树立了掌握它们的性质是解题的关键； （1）连接与直线l的交于点C即为所求； （2）过点A作交于点H，即为所求． 解：（1）解：（1）如图所示：连接与直线l的交点即为所求的点C， ， 理由：两点之间，线段最短， （2） 如图所示：点H即为所求；， 理由：垂线段最短． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题． 解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项， 故答案为：B． 【变式2】（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可． 解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 【题型11】点到直线的距离 【例11】（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． （1）线段_______的长度表示点到的距离； （2）_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； （3）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）＞；垂线段最短；（3） 【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 解：（1）解：线段的长度表示点M到的距离； 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短； 故答案为：>；垂线段最短； （3）解：平分， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 【答案】 线段的长度 【分析】本题考查了点到直线的距离：过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，根据定义即可求解． 解：图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有： 表示点到直线的距离的是线段的长度 点到直线的距离是线段的长度，即为 故答案为：；线段的长度；． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接 【例1】（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【例2】（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案． 解：如图，过作平面镜，    ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 【题型13】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒． （1）求的度数； （2）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； （3）若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）存在，或19.5，理由见分析；（3）或29 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论思想的应用． （1）设，则其补角为，根据比它的补角大120°列方程即可求得结果； （2）存在两种情况：当在直线上方时；当在直线下方时；分这两种情况考虑即可； （3）画出图形，结合图形表示出与，根据角平分线的性质建立方程即可求得t值． 解：（1）解：设，则其补角为， 由题意得：， 解得：， 即； （2）存在，理由如下： ①当在直线上方时，此时平分， ∵， ∴， 当没有旋转时，， 所以旋转了， 则旋转的时间（秒）， ②当在直线下方时，如图， ∵，且， 即：， ∵旋转了， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，当或19.5时，； （3）①、同时旋转，如图所示， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴t的值为3， ② ∵， ， ∴， 解得：， ∴t的值为29， 综上所述，当或29时，射线平分． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”. 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． （1）若，且在内部，则_____，______； （2）若平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：__________． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解； （2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得； （3）分两种情况：，或，进行解答即可． 解：（1）解：如图，∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：如图，∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：或 理由：当时， 由于， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ， ∵， ∴； 当时， 由于， ∴， ∵， ∴，此情况，重合， 同理可得：， ∴． 综上，或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了新定义——角的“分补线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，余角补角定义，角的和差倍分关系的计算，分类讨论，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 两条直线的位置关系（4大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与考点目录】 【知识点归纳】 【知识点1】对顶角 1.定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2.性质：对顶角相等． 【知识点2】余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点3】余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等；2.同角（等角）的补角相等． 【要点提示】 （1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角α的余角可以表示为（90°-α），一个角α的补角可以表示为（180°-α） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°；（3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 【知识点4】垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【要点提示】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【要点提示】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【要点提示】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【考点与题型目录】 【考点一】对顶角 【题型1】对顶角的理解.......................................................3 【题型2】对顶角相等.........................................................3 【题型3】对顶角相等与角平分线综合...........................................4 【考点二】余角与补角 【题型4】求一个角的余角与补角...............................................5 【题型5】与余角、补角的有关计算.............................................5 【题型6】利用同（等）角的余（补）角相等性质求值.............................6 【题型7】对顶角、邻补角综合求值.............................................7 【考点三】垂直 【题型8】垂线的定义理解.....................................................8 【题型9】尺规作图——画垂线.................................................9 【题型10】垂线段最短........................................................9 【题型11】点到直线的距离...................................................10 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接.........................................................11 【题型13】拓展延伸.........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】对顶角定义及性质 【题型1】对顶角的理解 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【题型2】对顶角相等 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【题型3】对顶角相等与角平分线综合 【例3】（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【考点二】余角与补角 【题型4】求一个角的余角与补角 【例4】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． （1）图中与互余的角是______； （2）图中与互补的角是______； （3）如果，那么点在点的______方向． 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知与互为余角，，则比大（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 【题型5】与余角、补角的有关计算 【例5】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式1】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的有 ． ①钝角与锐角互补； ②的余角是； ③的补角是； ④若，则互余． 【题型6】利用同（等）角的余（补）角相等性质求值 【例6】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）请补充完成以下解答过程． 已知：如图，，，平分，若，求的度数． 解：因为， 所以 ______． 因为______， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为平分， 所以____________ 所以______ 【变式1】（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【题型7】对顶角、邻补角综合求值 【例7】（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，相交于点． （1）写出，的邻补角； （2）写出，的对顶角； （3）如果，求，的度数． 【变式】（15-16七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【考点三】垂直 【题型8】垂线的定义理解 【例8】（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （   ）（垂直的定义）． （已知）， （   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知）， （   ）． （等量代换）． 【变式1】（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，，，点B，O，D在一条直线上，则的度数为 ． 【题型9】尺规作图——画垂线 【例9】（24-25七年级下·全国·期中）利用网格画图． （1）过点C画的平行线： （2）过点C画的垂线，垂足为； （3）线段的长度是点C到直线__________的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 【变式1】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【题型10】垂线段最短 【例10】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． （1）现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． （2）一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 （填序号）． 【题型11】点到直线的距离 【例11】（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． （1）线段_______的长度表示点到的距离； （2）_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； （3）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接 【例1】（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 【题型13】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒． （1）求的度数； （2）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； （3）若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”. 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． （1）若，且在内部，则_____，______； （2）若平分，求的度数； （3）若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$