精品解析：四川省遂宁市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

遂宁市2024—2025学年度高中二年级第一学期期末质量监测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ） A. B. C. D. 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ） A. ，的大小由确定 B. C. D. 5. 已知圆，圆，则圆与圆位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙队比甲队防守效果好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 D. 甲队每场比赛必失球 8. 已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C. 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 11. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ） A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为1圆 B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上 C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与互相垂直，则实数的值为___________. 13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_____. 14. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆长轴长为8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 16. 已知直线，圆（点为圆心）. （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 17. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. （1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走步数谁多？说明理由？ （2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 18. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为，求的值. 19. 已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； （3）斜率分别为的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，若，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遂宁市2024—2025学年度高中二年级第一学期期末质量监测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求出，然后由离心率公式求解. 【详解】因为双曲线， 所以，， 则， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求法，属于基础题. 2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，整理得. 故选：C 4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ） A. ，的大小由确定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概率的性质判断两次某一面朝下的概率大小即可. 【详解】由题设及古典概率的性质，对于任意一次某一面朝下的概率均为，不朝下的概率均为，所以. 故选：D 5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，两圆圆心距为， 则，故两圆相交. 故选：C. 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，解得， 故选：D. 7. 某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙队比甲队防守效果好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 D. 甲队每场比赛必失球 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、标准差的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因，平均来说甲队比乙队防守效果好，故A错误； 对于选项BC：因为，乙队比甲队技术水平更稳定，故B错误； 且甲队在防守中的波动性较大，可知甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C正确； 对于选项D：虽然甲队每场比赛平均失球数是1.3，但不能确定每场比赛是否失球，故D错误； 故选：C. 8. 已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助绝对值性质分类讨论可得的图象，化简后再分及，分别讨论其与的交点个数即可得. 【详解】对，若，则，即， 若，则，即， 则由两条射线：及组成； ， 即， ①当时，，此时曲线，只有交点，不符； ②当时，有，令，可得， 当时，与必有交点、， 当时，与必有交点、， 当时，与只有交点； ③令，若，此时该方程无解，不符； 若，则，此时与只有一个交点； 若，则， 则与必有交点、， 当时，两交点坐标、， 则此时，有三个公共点，不符； 则当时， ，有交点、、、，符合要求； 故，有四个公共点时，的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分类讨论得到的图象由两条射线：及组成后，再分及与的交点个数讨论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C. 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 11. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ） A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆 B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上 C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】设且，利用两点斜率公式求曲线，根据各项的描述及圆锥曲线方程的特征、联立方程判断直线与曲线的位置关系判断正误. 【详解】设且，则，则且， 当，则曲线为且，即以原点为圆心，半径为1的圆（去掉点），A错； 当，则曲线，若，直线轴时，直线与曲线没有公共点，C错； 当，曲线为焦点在y轴上的双曲线，联立， 整理得，显然不可能有两个交点， 若时，显然恒成立， 所以直线与曲线有两个不同公共点，B、D对. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】由向量，得，， 由与互相垂直，得， 所以. 故答案为：2 13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线平行求得，即可求两平行线之间的距离. 【详解】因直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 故答案为：3. 14. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】过点作平面于点，可得，，再结合空间向量线性运算法则及数量积公式计算即可得. 【详解】过点作平面于点，则， 由三棱柱性质可得平面平面， 故，则， 由、、平面，故 又，，， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用垂直的性质，其次是注意绝对值的考虑. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆长轴长为8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 【答案】（1） （2）双曲线的方程为，渐近线方程为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据题意可得，进而可得双曲线方程和渐近线方程. 【小问1详解】 由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：的顶点为，短轴长为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 由题意可知：，且焦点在x轴上，则， 所以双曲线的方程为，渐近线方程为. 16. 已知直线，圆（点为圆心）. （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 【答案】（1）或； （2）直线与圆相交于不同的两点， 【解析】 【分析】（1）借助切线定义计算即可得； （2）计算点到直线的距离，比较半径即可得直线与圆是否相交于不同的两点，再借助垂径定理可计算，即可的的面积. 【小问1详解】 由可得，即、半径， 由可得， 由直线与圆相切，则有，化简得， 即或； 【小问2详解】 当时，，此时点到直线的距离为， 故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点， 由，则， 则. 17. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. （1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？ （2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 【答案】（1）甲，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据每一轮甲前进的概率大于每一轮乙前进的概率，即可得结论. （2）根据2轮比赛后乙走的步数比甲走的步数多，分三种情况讨论，分别求出其概率，再求和即可. 【小问1详解】 因为甲的盒子里面有2个红球1个白球，甲摸到红球，甲向前走一步， 所以每一轮甲前进的概率为； 因为乙的盒子里面有2个红球3个白球，乙摸到白球，乙向前走一步， 所以每一轮乙前进的概率为； 因为，即每一轮甲前进的概率都大于每一轮乙前进的概率， 所以经过多轮比赛后，估计甲走步数多. 【小问2详解】 若频率作为概率，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多有三种情况： 乙走两步甲走一步，概率为； 乙走两步甲走零步，概率为； 乙走一步甲走零步，概率为； 综上，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率为 18. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为，求的值. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间结合面面夹角运算求解. 【小问1详解】 在图①中，过作，垂足为， 则，可知点与点重合，即， 在图②中，可得， 又因为，，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）可知：直线平面，， 以坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 若是的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：， 因为点在棱上，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 19. 已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； （3）斜率分别为的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，若，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得坐标，进而可得的面积； （3）设方程为，联立抛物线的方程，得出韦达定理，再根据代入韦达定理化简得出或，进而可得定点. 【小问1详解】 由抛物线的定义可得，则，解得， 则抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）的焦点，，则直线的方程为， 即，联立可得，即， 解得，，则，故. 【小问3详解】 显然直线的斜率不为0，则设方程为， 联立抛物线方程有，即，设， 则，又， 即，， ，则， 故，即. 故或， 则方程为或，即或， 故过（舍去）或，故直线过定点. 【点睛】方法点睛： （1）定点问题先根据题意确定需要设的直线方程，联立圆锥曲线化简得出韦达定理； （2）化简中注意因式分解得出的关系，进而可得定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$