精品解析：浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷)

2024-2025学年浙江省温州市高二第一学期期末检测数学试题（B 卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 3. 若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 4. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可. 【详解】圆：圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 又，所以， 所以圆与圆的位置关系为内含. 故选：A. 5. 已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析计算可得答案. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 则， 又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项， 则 故选: 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 7. 已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B 8. 已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解. 【详解】由题， ， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可. 详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得， 所以与交于点，故D正确. 故选：ACD. 10. 在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. M，N，B，D四点共面 B. C. 平面 D. 直线到平面CMN的距离是 【答案】AB 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量的共线定理，线线垂直的向量表示，线面平行的向量求法，线面距离的向量求法，逐一判断各选项，即可求解. 【详解】以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，因为，， 所以，所以，又不共线，所以， 从而M，N，B，D四点共面，故A正确； 对于B，因为，所以由，得，故B正确； 对于C，因为， 由，知MN与不垂直，而在平面内， 所以MN与平面不垂直，故C错误： 对于D，因为， 设是平面CMN的法向量， 则由，得：， 可取，直线到平面CMN的距离，即点到平面CMN的距离为d， 因为，则，故D错误. 故选： 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D. 【详解】由题，抛物线的焦点F为， 不妨令， 对A选项，若为等边三角形， 则， 根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直， 故点A的横坐标为3，所以，故A正确； 对B选项，由题可知，直线的斜率不为0， 令直线：， 联立直线与抛物线方程有， 所以， ， 所以以为直径的圆的方程为：， 令，则， 整理可得，故只有一个点P可使，故B错误； 对C选项，若A，O，P共线， 则直线AP：，令，则， 由B选项可知，， 所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确； 对D选项，由C选项， ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若共线，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量共线的条件，能求出x的值. 【详解】，向量与共线， ， 解得， 则 故答案为： 13. 已知等比数列的前n项和为，则______. 【答案】585 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和的性质即可求解. 【详解】由题可知成等比数列， 则， 所以 故答案为： 14. 已知P是双曲线上的任意一点，分别为点P到双曲线两条渐近线的距离，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，可得a与c的关系，即可求出离心率. 【详解】设，则，即 ， 双曲线两条渐近线的方程为， 则点P到两条渐近线的距离乘积为：  ， 即，因为，所以， 故 故答案是： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，可求得；当时，，对仍成立，可得数列的通项公式； （2）裂项可得，可求得数列的前n项和 【小问1详解】 当时，； 当时，， 对仍成立， 数列通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知 16. 已知直线，圆 （1）当时，判断直线l与圆C的位置关系； （2）记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】（1）相交 （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【小问1详解】 圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 又， 所以，解得 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 ， 可得 所以； 小问2详解】 ，，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 18. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 （1）求曲线C的方程； （2）过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）点到定点的距离为，点到定直线的距离为，根据题意列等式，即可求解； （2）（i）设直线l的方程为，与抛物线联立，即可求解k的取值范围和根与系数关系式，由，代入根与系数关系，即可求解k，进而得l方程； （ii），所以，将根与系数关系式代入即可求k，又，代入即可求解. 【小问1详解】 由已知得：， 两边平分并化简得：， 即，即为曲线C的方程； 【小问2详解】 （i）设直线l的方程为， 将其代入，得， 故，即或， 所以， ， ， ， 解得，所以； （ii）由 ， 所以， 所以， 所以， 或， 又 当时，；当时，， 所以或 19. 已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 （1）若，且为等比数列，求数列的通项公式； （2）若，求证：存在m，使得为等差数列； （3）若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质求解即可； （2）求出特例，将时，构成等差数列，即可证明； （3）当时，不妨记为，则为等比数列，，可以看出不符合题意，且最多只能有两个来自数列，再验证是否满足即可. 【小问1详解】 由已知得， 是等差数列，， ， 为等比数列， ，， 是等比数列，或； 【小问2详解】 当时，， 构成等差数列； 【小问3详解】 设等差数列的公差为， 当时，则中至少有3项来自数列， 不妨记为，则为等比数列， ， ， 舍去， 且最多只能有两项来自数列， 当时，来自数列， 取或， 构造等差数列， 此时为有5项的等比数列. 所以n的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省温州市高二第一学期期末检测数学试题（B 卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线有两个公共点，则k取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C 若时，则 D. 若时，则与交于点 10. 在棱长为2正方体中，M，N分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. M，N，B，D四点共面 B. C. 平面 D. 直线到平面CMN的距离是 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若共线，则______. 13. 已知等比数列的前n项和为，则______. 14. 已知P是双曲线上的任意一点，分别为点P到双曲线两条渐近线的距离，若，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和 16. 已知直线，圆 （1）当时，判断直线l与圆C的位置关系； （2）记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 18. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 （1）求曲线C的方程； （2）过直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 19. 已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 （1）若，且为等比数列，求数列的通项公式； （2）若，求证：存在m，使得为等差数列； （3）若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$