专题2.1 二元一次方程（组）及其解法（十一大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题2.1 二元一次方程（组）及其解法（十一大题型总结） 【题型一：二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 4．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【题型二：二元一次方程（组）的解与整数解】 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型三：已知二元一次方程的解，求字母或代数式的值】 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 10．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【题型四：二元一次方程的应用】 13．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 16．（23-24七年级下·江苏南京·期中）足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【题型五：代入消元法】 17．（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 19．（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： （1） （2） 20．（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组： （1）； （2） 【题型六：加减消元法】 21．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 22．（23-24七年级下·全国·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（      ） A．①② B．①② C．①② D．①② 23．（2024七年级上·全国·专题练习）加减消元法解方程组： （1） ； （2）． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： （1） （2） 【题型七：整体代入法与换元法】 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·云南昆明·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 27．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【题型八：二元一次方程组的错解复原问题】 29．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 31．（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 32．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【题型九：构造二元一次方程组求解】 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 34．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 36．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）在等式中，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）求当时的值． 【题型十：已知二元一次方程组的解的情况求参数】 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 38．（23-24七年级上·广西百色·期末）看关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 40．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 【题型十一：方程组同解问题】 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 42．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 43．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求这个相同的解； （2）求，的值． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二元一次方程（组）及其解法（十一大题型总结） 【题型一：二元一次方程（组）的定义】 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程的识别，根据二元一次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【解题过程】 解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【解题过程】 解：①，符合二元一次方程组的定义； ②，符合二元一次方程组的定义； ③，含有三个未知数； ④，符合二元一次方程组的定义； ⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次． 所以是二元一次方程组的有3个． 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 【思路点拨】 此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可求出的值． 【解题过程】 解：∵方程是二元一次方程组， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【解题过程】 解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【题型二：二元一次方程（组）的解与整数解】 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【解题过程】 解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【解题过程】 解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 7．（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【解题过程】 解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 本题主要考查了求二元一次方程组的解，先根据题意得到，再根据x、y都是正整数，得到一定是3的倍数，据此讨论y的值，确定x的值即可得到答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 【题型三：已知二元一次方程的解，求字母或代数式的值】 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【思路点拨】 本题考查的是二元一次方程的解，把代入，再解关于的方程即可． 【解题过程】 解：是关于、的方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 10．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【解题过程】 解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值．熟练掌握二元一次方程解的定义，整体代入求代数式的求值，是解决问题的关键 先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形后整体代入求值． 【解题过程】 解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【解题过程】 解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 【题型四：二元一次方程的应用】 13．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的正整数解，设标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，根据题意列出，然后出正整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【解题过程】 解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理清题意正确列出方程是解题的关键．设公鸡只，母鸡只，则小鸡只，由题意可得，整理后求出方程的正整数解即可． 【解题过程】 解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只 由题意得， 即 由于，，均为正整数 所以方程的正整数解只有或或 故选：D． 16．（23-24七年级下·江苏南京·期中）足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解题的关键． 设该球队胜x场，平y场，则负场，根据足球队共赛了15场，共得33分列出二元一次方程，然后确定符合题意的解即可解答． 【解题过程】 解：设该球队胜x场，平y场，则负场， 由题意得：， 整理得：， ∵x、y均为非负整数，且， ∴或或， ∴或0或4，即该队得胜、负、平场数情况共有3种不同的可能性． 故答案为：3． 【题型五：代入消元法】 17．（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 【解题过程】 解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【思路点拨】 此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求y的值即可． 【解题过程】 解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 19．（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【解题过程】 （1）解：， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 （1）； （2） 【思路点拨】 本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【解题过程】 （1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 【题型六：加减消元法】 21．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【解题过程】 解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 22．（23-24七年级下·全国·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（      ） A．①② B．①② C．①② D．①② 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，通过加减消元法能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．按照所给选项逐个计算，看哪个选项能够消掉一个未知数即可． 【解题过程】 解：A、由①②得出，故A错误； B、由①②得出，故B错误； C、由①②得出，故C错误； D、由①②得出，故D正确； 故选：D． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）加减消元法解方程组： （1） ； （2）． 【思路点拨】 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【解题过程】 （1）解： ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【解题过程】 （1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【题型七：整体代入法与换元法】 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【解题过程】 解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 26．（23-24七年级下·云南昆明·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组，先根据题意由①得到③，再把③代入②得到，据此求出，再把代入①求出x即可得到答案． 【解题过程】 解： 由①得③， 把③代入②得：，即，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 27．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【思路点拨】 （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解题过程】 （1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【解题过程】 （1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 【题型八：二元一次方程组的错解复原问题】 29．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意． 根据题意将代入方程组，得到即可求解； 【解题过程】 解：张亮看错了，所以是第二个方程的解，不是第一个方程的解． 因此代入方程组中，得到， 解得，A选项符合题意． 故选：A． 30．（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【思路点拨】 本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【解题过程】 解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 31．（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【解题过程】 解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 32．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【思路点拨】 本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可． 【解题过程】 解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 则原方程为： 得， 解得：， ，代入①得，， 解得：， ∴． 【题型九：构造二元一次方程组求解】 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【解题过程】 解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 34．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【思路点拨】 此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解题过程】 解：根据题中的新定义得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴ ∴， 故选：A 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【解题过程】 解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 36．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）在等式中，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）求当时的值． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值． （2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答． 【解题过程】 （1）将时，； 时，分别代入得： 解得：， （2）由（1）得， 将代入得： ． 【题型十：已知二元一次方程组的解的情况求参数】 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据相反数的定义得到，则可得到，据此求出，再把代入原方程组中含k的方程求解即可． 【解题过程】 解：∵关于x，y的方程组的解互为相反数， ∴， 把③代入①得：，解得， 把代入③得：， 把代入②得：， 解得， 故选：D． 38．（23-24七年级上·广西百色·期末）看关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键．先解方程组，用含的式子表示方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程即可得出结论． 【解题过程】 解：， 可得：， 故解得， 将代入， 即， 解得， 故选D． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的解，将方程两边同乘2，得，该方程与完全一样时，方程组有无数组解，即可求出、的值，再计算的值． 【解题过程】 解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 40．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组及根据解的情况求参数，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，先求解关于、方程组得，，再确定的值即可． 【解题过程】 解： 得：③， 得：④， 得：， 把代入①得： ， ∵方程组有整数解， ∴或， ∵是整数， ∴符合题意的或， 故答案为：或． 【题型十一：方程组同解问题】 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 【思路点拨】 找到两个不含参数的方程，组成新的方程组即可． 【解题过程】 解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：． 42．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【思路点拨】 本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【解题过程】 解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 43．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求这个相同的解； （2）求，的值． 【思路点拨】 本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【解题过程】 （1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可． 【解题过程】 （1）由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴ ∴． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$