专题5.7 一元一次方程中的动点问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（华东师大版2024）

专题5.7 一元一次方程中的动点问题 · 典例分析 【典例1】探究与发现：或表示，两数之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． （1）如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上位于点左侧一点，且，则数轴上点表示的数为________；    （2）若，则________； 拓展与延伸： （3）在（1）的基础上，解决下列问题： ①动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为； ②数轴上还有一点所对应的数为，动点和同时从点和点出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，点到达点后，运动停止．设运动时间为（）秒，问当为多少秒时，，之间的距离为（直接写出的值）． 【思路点拨】 （1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程； ②分，或三种情况，找出关于t的一元一次方程． 【解题过程】 （1）数轴上点表示的数． 故答案为：； （2） ， 或， 或． 故答案为：或． （3）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或． 答：当为秒或秒时，，两点之间的距离为． ②到达点时间：（秒）， 到达点时间：（秒）． 当时，、都没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，已经到达点，没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，、都已经到达点 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：当 为或或或秒时，， 之间的距离为 ． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发： （1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． （2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数． （3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数． 2．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右边．且与之间的距离是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 ，与点的距离为3的点表示的数是 ． （2）点表示的数 （用含的代数式表示），点表示的数 （用含的代数式表示）． （3）当运动时间为几秒时，点与点到原点的距离相等？ 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，点在数轴上表示的数是，点表示的数是，，两点同时分别以个单位/秒和个单位/秒的速度从、两点出发，沿数轴做匀速运动，设运动时间为（秒）． （1）线段的长度为　　个单位； （2）如果点向右运动，点向左运动，求： ①当为何值时，与点相遇？ ②当为何值时，？ （3）如果点，点同时向左运动，是否存在这样的时间使得，两点到点距离相等，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示－7，点表示10，点表示18，我们称点和点在“折线数轴”上相距25个单位长度．动点、同时出发，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速． （1）求动点从点运动到点共需多少秒？ （2）当、两点相遇时，求相遇点所对应的数是多少？ （3）设、两点的运动时间为秒，当、两点在“折线数轴”上相距的长度与、两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，请直接写出的值． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．    （1）求时点P表示的有理数； （2）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示） （3）当点P表示的有理数与原点的距离是4个单位长度时，求出所有满足条件的t值． 6．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，B，C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点． （1）点B表示的数是______，点C表示的数是______； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）若将数轴看作是一条河，数轴的正方向表示水流的方向，数轴上的一个单位长度表示的河流长度．小明和小军乘坐的大型轮船在静水中的速度为，小红乘坐的小型轮船在静水中的速度为，水流速度为．小明和小红分别从A，B两码头同时出发顺流而下，同时小军从C码头出发逆流而上，小明，小军和小红分别到达码头C、码头A、码头C之后均停止运动，令运动时间为，当小红到小明的距离等于到小军距离的2倍时，求t的值． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且． （1） _____， _____， _____； （2）若在数轴上存在一点M，且，求点M表示的数： （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 8．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： （1）请在数轴上标出原点O的位置； （2）直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少? （3）设点 M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动．点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，当M，N之间的距离为1时，求t的值． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， （1）求数________，________； （2）若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； （3）在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 10．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示，点表示数．单项式次数是，是这个单项式的系数，． （1） ______， ______ ， ______； （2）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向左运动．点与点同时出发，经过多少秒后，线段的中点到点的距离为； （3）在（2）的条件下，当点与点相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点开始从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，点运动的时间为秒，当时，求点在数轴上对应的数． 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足． （1）求线段的长； （2），两点分别从，沿数轴的向负方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的2倍．数轴上点表示的数为，设运动时间为秒． ①当，在数轴的正半轴上运动时，用含的代数式表示点，对应的数； ②当时，求的值． 12．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） （1）当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． （2）当为何值时，点和点重合？ （3）在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 13．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． （1）如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； （2）在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； （3）如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发． 小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足，且k为最大的负整数，． （1）则________，________． （2）如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位． （3）当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得，若存在求出t值，并求出点C所表示的数． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． （1） ， ， （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； （4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 16．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且满足．点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）点表示的数为_______；点表示的数为_______；若点为线段的中点，则点对应的数_______； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点是点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发后，点恰好是点的“2倍点”，请直接写出此时的值． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点、、、在数轴上的位置如图所示，已知，，，若点为原点，点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向折返；点以每秒个单位长度的速度向左运动．当 、都到达点时运动停止，设运动时间为（单位：秒）． （1）当时，求点与点之间的距离； （2）当 时，点到达点，此时点表示的数是 ； （3）当为何值时，、两点相距个单位？ 18．（24-25七年级上·重庆·期中）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ （3）若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 19．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： （1）当点P运动5秒时，______，______，______． （2）当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． （3）经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ （4）如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·北京西城·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 一元一次方程中的动点问题 · 典例分析 【典例1】探究与发现：或表示，两数之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． （1）如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上位于点左侧一点，且，则数轴上点表示的数为________；    （2）若，则________； 拓展与延伸： （3）在（1）的基础上，解决下列问题： ①动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为； ②数轴上还有一点所对应的数为，动点和同时从点和点出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，点到达点后，运动停止．设运动时间为（）秒，问当为多少秒时，，之间的距离为（直接写出的值）． 【思路点拨】 （1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程； ②分，或三种情况，找出关于t的一元一次方程． 【解题过程】 （1）数轴上点表示的数． 故答案为：； （2） ， 或， 或． 故答案为：或． （3）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或． 答：当为秒或秒时，，两点之间的距离为． ②到达点时间：（秒）， 到达点时间：（秒）． 当时，、都没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，已经到达点，没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，、都已经到达点 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：当 为或或或秒时，， 之间的距离为 ． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发： （1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． （2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数． （3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数． 【思路点拨】 本题主要考查了数轴上的动点问题，考查数轴表示数的意义和方法，相遇问题、追及问题的数量关系及应用，列方程求出相应的时间是解决问题的关键． （1）设出运动时间为x秒，根据P点运动的路程Q点运动的路程A、B两点之间的距离列方程求出相遇时间，进而求出点C所对应的数； （2）设出运动时间为y秒，根据P点运动的路程Q点运动的路程A、B两点之间的距离列方程求出追及时间，进而求出点D所表示的数； （3）分两种情况，相遇前为20，和相遇后为20分别进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：设运动时间为x秒，， 解得：， 因此C点对应的数为； （2）解：设运动时间为y秒，， 解得：， 点D对应的数为； （3）解：①相遇前时， 设运动时间为a秒，， 解得：， 因此Q点对应的数为； ②相遇后时， 设运动时间为b秒，， 解得：， 因此Q点对应的数为． Q点对应的数为11或27． 2．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右边．且与之间的距离是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 ，与点的距离为3的点表示的数是 ． （2）点表示的数 （用含的代数式表示），点表示的数 （用含的代数式表示）． （3）当运动时间为几秒时，点与点到原点的距离相等？ 【思路点拨】 （1）由点表示的数、的长及点在点的右边，即可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出与点的距离为3的点表示的数； （2）由点，的出发点、运动速度及运动方向，可找出当运动时间为秒时，点，表示的数； （3）由点与点到点距离相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解题过程】 （1）解： 点表示的数为，在的右边，且与的距离是6， 点表示的数为． ，， 与点的距离为3的点表示的数是1或7． 故答案为：4；1或7； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：；； （3）解：依题意，得：， 即或， 解得：或． 答：当或2时，点与点到点距离相等． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，点在数轴上表示的数是，点表示的数是，，两点同时分别以个单位/秒和个单位/秒的速度从、两点出发，沿数轴做匀速运动，设运动时间为（秒）． （1）线段的长度为　　个单位； （2）如果点向右运动，点向左运动，求： ①当为何值时，与点相遇？ ②当为何值时，？ （3）如果点，点同时向左运动，是否存在这样的时间使得，两点到点距离相等，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据点，表示的数，可求出线段的长； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点Q表示的数为． ①根据点与点相遇，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点Q表示的数为，根据，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴， （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①∵点与点相遇， ∴， 解得： ， ②∵， ∴， 解得： 或． （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴，即或， 解得：或， ∴存在这样的时间使得，两点到点距离相等，的值为或（秒）． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示－7，点表示10，点表示18，我们称点和点在“折线数轴”上相距25个单位长度．动点、同时出发，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速． （1）求动点从点运动到点共需多少秒？ （2）当、两点相遇时，求相遇点所对应的数是多少？ （3）设、两点的运动时间为秒，当、两点在“折线数轴”上相距的长度与、两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，请直接写出的值． 【思路点拨】 本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用： （1）根据时间等于路程除以速度，分3段，计算即可； （2）先确定点在段相遇，求出点到达点时，点在上运动的路程，用点的速度乘以相遇所需的时间，即可得出结果； （3）分四种情况，列出方程进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：点P从点A运动至C点需要的时间为： 答：点P从点A运动至C点需要的时间是20秒； （2）由题可知，点P从点A到点O需要7秒，点Q从点C到点B需要4秒， ∵， ∴当点到达点时，此时点Q 运动的长度为， ∴点在上运动的路程为：， 则P，Q两点的相遇点M在上， 此时， 答：相遇点M所对应的数是； （3）由题意，可知：点P从点A到点O需要7秒，点P从点O到点B需要5秒，点Q从点C到点B需要4秒，点从到需要秒， 共有 4 种可能： ①当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ②当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ③当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ④当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：． 综上：的值为或或或． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．    （1）求时点P表示的有理数； （2）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示） （3）当点P表示的有理数与原点的距离是4个单位长度时，求出所有满足条件的t值． 【思路点拨】 本题考查数轴，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键在于掌握数轴的特征，根据题意结合数轴分情况求解． （1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案； （2）根据情况分类讨论：，，速度乘以时间等于路程，可得答案； （3）根据绝对值的意义，可得P点表示的数，根据速度与时间的关系，分四种情况求解可得答案． 【解题过程】 （1）解：当时， P运动的距离为 ， ， 故P表示的有理数是； （2）解：当点与点重合时 P运动的距离为， ， 点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，点与点的距离分为两种情况： 当点到达点前时，即时， 点与点的距离是； 当点到达点再回到点的运动过程中，即时， 点与点的距离是：； 由上可知： 当时，点与点的距离是， 当时，点与点的距离是； （3）解：当点表示的有理数与原点（设原点为）的距离是4个单位长度时，点表示的数是或4， 则有以下四种情况： 当由点到点，点P在O点左侧时：，即：，； 当由点到点，点P在O点右侧时：，即：，； 当由点B到点，点P在O点右侧时：，即：，； 当由点B到点，点P在O点左侧时：，即：， 故的值为1秒或5秒或7秒或11秒． 6．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，B，C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点． （1）点B表示的数是______，点C表示的数是______； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）若将数轴看作是一条河，数轴的正方向表示水流的方向，数轴上的一个单位长度表示的河流长度．小明和小军乘坐的大型轮船在静水中的速度为，小红乘坐的小型轮船在静水中的速度为，水流速度为．小明和小红分别从A，B两码头同时出发顺流而下，同时小军从C码头出发逆流而上，小明，小军和小红分别到达码头C、码头A、码头C之后均停止运动，令运动时间为，当小红到小明的距离等于到小军距离的2倍时，求t的值． 【思路点拨】 （1）根据数轴上点的特点和中点定义，求出结果即可； （2）设x秒后点M与点C相距3个单位长度，根据点M与点C相距3个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况进行讨论：当小红与小军相遇前，当小红与小军相遇后，分别列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵点A表示的数为，， ∴， ∴点B表示的数为1， ∵B，C是数轴上原点右侧的点，B是的中点， ∴， ∴， ∴点C表示的数为6； 故答案为：1；6． （2）解：设x秒后点M与点C相距3个单位长度，根据题意得： ， 解得：或． 答：秒或秒后点M与点C相距3个单位长度． （3）解：∵数轴上的一个单位长度表示的河流长度， ∴， ∵小明和小军乘坐的大型轮船在静水中的速度为，小红乘坐的小型轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∴小明的运动速度为， 小军的运动速度为， 小红的运动速度为， 当小红与小军相遇前，， 解得：； 当小红与小军相遇后，， 解得：； 综上分析可知，当小红到小明的距离等于到小军距离的2倍时，或． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且． （1） _____， _____， _____； （2）若在数轴上存在一点M，且，求点M表示的数： （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 【思路点拨】 （1）先根据非负数的性质求出，，再根据数轴上两点间的距离表示方法求解即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）设经过t秒时，甲、乙相距8个单位长度，分五种情况进行讨论：乙到达A点前，甲、乙相遇前，乙到达A点前，甲、乙相遇后，乙到达A点后，甲到达点C前，当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇前，甲、乙间距离不可能为8；当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇后，分别列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：设点M表示的数为m， 当点M在线段上时，， 解得：； 当点M在线段延长线上时，， 解得：； 综上分析可知：点M表示的数为8或26． （3）解：，， ∴甲到达C所用的时间为12秒，乙到达C点所用时间为秒，乙到达A点所用时间为：秒， 设经过t秒时，甲、乙相距8个单位长度， 乙到达A点前，甲、乙相遇前，， 解得：； 乙到达A点前，甲、乙相遇后，， 解得：； 乙到达A点后，甲到达点C前， 解得：； 当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇前，甲、乙间距离不可能为8； 当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇后， ， 解得：； 综上分析可知：当或8或10或时，甲、乙相距8个单位长度． 8．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： （1）请在数轴上标出原点O的位置； （2）直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少? （3）设点 M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动．点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，当M，N之间的距离为1时，求t的值． 【思路点拨】 （1）由相反数的定义结合数轴可知中点即为原点O； （2）结合（1）即可得出点A，B，C，D所表示的数，再计算各点表示的数的平方，比较即可； （3）由题意可得点M运动到点B时，点M的运动时间为秒，点M到达的时间为秒，则点N到达的时间为秒．分类讨论：①当点N未出发，即时，此时，；②当点N未到达，即时，此时，；③当点N到达，即时，此时，．最后根据M，N之间的距离为1，列出关于t的方程，求解即可． 【解题过程】 （1）解：因为点C，D表示的数互为相反数， 所以中点即为原点O，在数轴上表示如图； （2）解：由（1）可知点A，B，C，D所表示的数分别为，，，3． 因为，，，， 所以点A表示的数的平方最大，是49； （3）解：由题意可得点M运动到点B时，点M的运动时间为秒，点M到达的时间为秒， 所以点N到达的时间为秒． 分类讨论：①当点N未出发，即时， 所以，． 因为因为M，N之间的距离为1， 所以， 解得：； ②当点N未到达，即时 所以，． 因为M，N之间的距离为1， 所以， 解得：或； ③当点N到达，即时， 所以，． 因为M，N之间的距离为1， 所以， 解得：． 综上可知，当M，N之间的距离为1时，t的值为或或2或． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， （1）求数________，________； （2）若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； （3）在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【思路点拨】 本题主要考查数轴与动点的关系，两点之间距离的计算，一元一次方程的综合， （1）根据绝对值、偶次幂的非负性即可求解； （2）根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出点P，Q表示的数，根据点，两点的距离为列方程求解即可； （3）分类讨论：点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上，由此列式求解；点到达后返回时与点相遇；点都在返回的过程中相遇；根据行程问题中的数量关系列式求解即可． 【解题过程】 （1）解：已知，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点表示的有理数是，点表示的有理数的是，点 从向右运动的速度为个单位每秒，点从向右的运动速度为个单位每秒，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，，两点的距离为； （3）解：点表示的有理数是， ∴，， ∴点从的时间为，从的时间也是，点从的时间为，从的时间为，且， ①点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上， ∴， 解得，， 此时表示的数为：； ②点到达后返回时与点相遇， ∴， 解得，， ∵，符合题意， ∴此时表示的数为； ③点都在返回的过程中相遇， 当到的时间为，此时点从表示的数为， ∴当时，假设点相遇， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或． 10．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示，点表示数．单项式次数是，是这个单项式的系数，． （1） ______， ______ ， ______； （2）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向左运动．点与点同时出发，经过多少秒后，线段的中点到点的距离为； （3）在（2）的条件下，当点与点相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点开始从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，点运动的时间为秒，当时，求点在数轴上对应的数． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含代数式表示，，运动后所表示的数． （1）根据单项式 次数是，是这个单项式的系数， ，可得，，； （2）设运动时间为秒，则的中点表示的数是 ，可得 ，即可解得答案； （3）求出，经过秒相遇，相遇点表示的数为 ，，掉头后，表示的数为，表示的数为，表示的数为 ，可得，，故 ，解出的值，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵单项式次数是，是这个单项式的系数，， ∴，，或(舍去), （2）解：设运动时间为秒，则表示的数是，表示的数是， ∵表示的数是, ∴线段的中点表示的数是， ∵点到点的距离为 ∴， 解得：或 ， ∴经过秒或秒后，线段的中点到点的距离为． （3）解：由 ，解得 ， ∴、经过秒相遇，相遇点表示的数为， 、掉头后，表示的数为 ， 表示的数为， 表示的数为， ∴， ， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴表示的数为或． 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足． （1）求线段的长； （2），两点分别从，沿数轴的向负方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的2倍．数轴上点表示的数为，设运动时间为秒． ①当，在数轴的正半轴上运动时，用含的代数式表示点，对应的数； ②当时，求的值． 【思路点拨】 本题考查绝对值、偶次方的非负性，数轴表示数以及一元一次方程的应用，理解绝对值、偶次方的非负性． （1）根据偶次方、绝对值的非负性求出、的值，再根据数轴上两点距离的计算方法求出线段的长即可； （2）①利用数轴上两点距离的计算方法即可得到结论； ②分不同情况，分别用含有的代数式表示，，再根据列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，而，． ∴，， 解得，， ∴； （2）解：①由题意得，当，在数轴的正半轴上运动时， ，两点的运动速度分别为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒， 故点对应的数为：，点对应的数为：； ②点到达原点需要秒，而点到达原点需要秒， 分以下三种情况： 当点，都在原点右侧时，， ，， 由于， ∴， 解得：； 当点在原点左侧，在原点右侧，，点对应的数为：，点对应的数为：； ，， 由于， ∴， 解得：，不合题意； 当点，都在原点左侧时，，点对应的数为：，点对应的数为：； ，， 由于， ∴， ∴或 解得：或， 综上所述，当时，的值为4或11或15． 12．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） （1）当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． （2）当为何值时，点和点重合？ （3）在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分类讨论思想的应用． （1）当时，根据路程速度时间及数轴上两点之间的距离即可求解； （2）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点行走的路程点行走的路程；返回后相遇等量关系为：点行走的路程点行走的路程； （3）分两种情况讨论，追及时点超过点一个单位长度和点超过点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为1；返回后相遇时点离点一个单位长度和点离点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为1；据此求得的值，从而求得点所表示的数． 【解题过程】 （1）解：当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为； 故答案为：，； （2）解：①追及时，到达点的时间为（秒） 依题意得：， 解得：，符合题意 ②返回后相遇，依题意得：，即：， 解得：，符合题意； 答：当或时，点和点重合； （3）解：①追及时点超过点一个单位长度：， 解得，此时点表示的数为：； ②追及时点超过点一个单位长度：， 解得：，此时点表示的数为：； ③返回后相遇时点离点一个单位长度：， 即：， 解得：， 此时点表示的数为： ④返回后相遇时点离点一个单位长度：， 即：， 解得：， 此时点表示的数为： 综上：点表示的数为：、、或． 13．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． （1）如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； （2）在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； （3）如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 【思路点拨】 本题主要考查新定义下数轴上两点之间的距离，熟练掌握新定义列出方程求值，是解题的关键． （1）求出，根据伴随点的定义求出，即得F点的值； （2）根据伴随点的定义，得到，代入m．即可求的m得值； （3） 当时，，，若点P关于点M的伴随点是点N， ，求得(舍去)；若点N关于点M的伴随点是点P， ，求得；当时，，，若点M关于点P的伴随点是点N，，求得；若点N关于点P的伴随点是点M，，求得； 【解题过程】 （1）根据题意： ∵， ∴， ∴点F表示的数是2． 故答案为：2； （2）根据题意：，点G在点E、F之间， ∵， ∴， 解得：． （3）t秒后，N点的位置为：，M点的位置为：， 点P表示的数是， ①当时，点M在点P、N之间， 则， 若点P关于点M的伴随点是点N，有：， 则，解得(舍去)； 若点N关于点M的伴随点是点P，有：， 则， 解得； ②当时，点在P点M、N之间， ，， 若点N关于点P的伴随点是点M，有：， 则， 解得； 若点M关于点P的伴随点是点N，有：， 则， 解得； 综上：或或． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发． 小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足，且k为最大的负整数，． （1）则________，________． （2）如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位． （3）当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得，若存在求出t值，并求出点C所表示的数． 【思路点拨】 （1）根据题意可求出k的值，进而求出a、b的值； （2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位，根据P、Q相遇之前以及相遇之后进行讨论列出方程，解方程即可； （3）根据题意分为当C还未追上Q和C追上Q后两种情况进行讨论，进而列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵k为最大的负整数 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为：；12． （2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位． 当P、Q两点相遇时， 根据题意，得 解得， P、Q相遇前 由题意，得 解得， ②P、Q相遇后 由题意，得 解得， 综上所述，当P、Q相向运动时，经过4或秒钟P、Q之间距离为4个单位 （3）由（1）可知A、B两点对应的数分别是、12 根据题意，可得P、Q、C三点对应的数分别是、、 当C追上Q时， 根据题意，可得 解得， ①C还未追上Q ∵ ∴ 解得， ∴ 即点C所表示的数为10． ②C追上Q后 ∵ ∴ 解得， ∴ 即点C所表示的数为70． 综上所述，t的值为2或14，点C所表示的数为10或70． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． （1） ， ， （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； （4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 【思路点拨】 对于（1），根据绝对值和完全平方公式的非负性，求出a，c，再根据有理数的分类判断b； 对于（2），先求出折痕处的数，再根据两点之间的距离得出答案； 对于（3），点A与点C的距离是2，有两种情况，当点C所对应的数与或重合，再求出折痕，然后根据两点之间的距离得出答案； 对于（4），分三种情况讨论：当以B为折痕，点A，C之间的距离为1，分两种情况计算；当以点C为折痕，点A，B之间的距离为1，分两种情况计算；当以点A为折痕，点B，C之间的距离为1，分两种情况计算，可得答案． 【解题过程】 （1）∵，b是最大的负整数， ∴， 解得． 故答案为：； （2）∵将数轴折叠，点A，C重合， ∴折痕上的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 故答案为：5； （3）∵点A所对应的数是， ∴与点A距离是2的点所对应的数是或． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是. 故答案为：6或7； （4）或1或或或或． 点A，B，C表示的数依次为． 当以点B在折痕上时， 根据题意可知或， 解得或1； 当点C在折痕上时，或， 解得或； 当点A在折痕上时，或， 解得或． 故答案为：或1或或或或． 16．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且满足．点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）点表示的数为_______；点表示的数为_______；若点为线段的中点，则点对应的数_______； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点是点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发后，点恰好是点的“2倍点”，请直接写出此时的值． 【思路点拨】 本题考查数轴定义与性质，涉及数轴表示数、非负式和为零的条件、两点之间距离、数轴上中点表示方法、数轴动点问题等，根据题意，准确找到各个点表示的数，数形结合列式求解即可得到答案． （1）根据数轴的定义，由非负式和为零的条件得方程求解即可得到点、点表示的数，再由数轴上中点表示方法代值求解即可得到点对应的数； （2）根据题意，数形结合，分三种情况讨论，当时；当时；当时，列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：数轴上点表示数，点表示数，且满足， ，且，解得， 点表示的数为；点表示的数为； 点为线段的中点， 点对应的数为， 故答案为：，4，1； （2）解：根据题意，分三种情况讨论： 当时，，则，解得； 当时，，不存在这样的； 当时，，则，解得； 综上所述，此时点对应的数是或5； （3）解：设出发后，表示的数是、表示的数是、表示的数是，根据题意，分情况讨论： ①当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得（负值，不合题意，舍去）； ②当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合，分两种情况： ①，即，解得； ②，即，解得； ③当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得； ④当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点、、、在数轴上的位置如图所示，已知，，，若点为原点，点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向折返；点以每秒个单位长度的速度向左运动．当 、都到达点时运动停止，设运动时间为（单位：秒）． （1）当时，求点与点之间的距离； （2）当 时，点到达点，此时点表示的数是 ； （3）当为何值时，、两点相距个单位？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的实际应用，数轴上表示一个数，读懂题意，按照分类情况，列出正确的式子，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，分别求出点，点运动的距离，根据图中已知的线段关系，由此求出答案． （2）根据题意，得到，由此得到运动的时间，点为原点，进而得到答案． （3）根据题意，分五种情况讨论：当点向右运动，点向左运动时；当点到达点之前；当点到达点时，，变成追赶问题，分两种情况，当追上之前两点相距个单位；当追上之后两点相距个单位；最后点先到达点时运动停止，点继续运动，直到相距点 个单位，综上五种情况，分别计算，得到答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意得： 当时， 点运动了：， 点运动了：， ， 点与点之间的距离为：． （2）根据题意得： ， 时，点到达点； 时， 点运动了：， 点为原点， 此时点表示的数是． 故答案为：，． （3）根据题意得： 当点向右运动，点向左运动时，如图， ，， 、两点相距个单位， ， 解得：； 当点到达点之前，如图所示， ，， ， 解得：， 当点到达点时，如图所示， 点运动了：， 当时， ，， 即此时、两点相距个单位， 之后点从点运动，点从点开始追赶点，到距离为个单位用时， 则，解得：， 即时，、两点相距个单位； 如图，点从点运动，点从点开始追赶点，到超过点距离为个单位用时， 当，解得：时， 即时，、两点相距个单位； 如图，此后点先到达点时运动停止，点继续运动，直到两点距离个单位， 则，解得：， 综上，当或或或或时，、两点相距个单位． 18．（24-25七年级上·重庆·期中）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ （3）若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 【思路点拨】 本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）分点B为，点Q为，点为的中点，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解； （3）分和两种情况，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【解题过程】 （1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10． ∴设点对应的数为，则有： ， 解得，； 设的贵点对应的数为，则： ， 故答案为：；1； （2）解：分三种情况： ①如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ∴ ∵， 解得，； ②当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为， 则， ∴， 解得： ； ③当点Q为的中点时，如图， ∴， ∴ 此时t不存在， 综上，t的值为或； （3）解： ， ； ∴当时，点表示的数为； 当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为； ①当时，且点在点右侧时， ， 解得，； 点在点左侧时， ∵， ∴， 解得，； ②当时，∵， ∴， 整理得，， 或， 解得，或， 综上，t的值为1或6或48或60． 19．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： （1）当点P运动5秒时，______，______，______． （2）当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． （3）经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ （4）如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 20．（24-25七年级上·北京西城·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ①当点在点左侧，时， ， 解得：， ②当点在点左侧，时， ， 解得：， ③当点在点右侧，时， ， 解得：， ④当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$