专题5.4 一元一次方程中的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（华东师大版2024）

专题5.4 一元一次方程中的综合 · 典例分析 【典例1】我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【解题过程】 （1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． · 学霸必刷 1．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，把代入即可求得的值，然后把的值代入原方程，解方程即可． 【解题过程】 解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【解题过程】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）方程的有理数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．多于3个 【思路点拨】 本题考查了解含绝对值方程，分四种情况：①当时，当时，当时，当时，分别去绝对值，再解方程即可得解，采用分类讨论思想是解此题的关键． 【解题过程】 解：①当时，原方程化为：， 解得：； 当时，原方程化为：， 整理得：， 它在范围内均成立； 当时，原方程化为：； 解得：； 当时，原方程化为：， 解得：（舍去）， 此时，方程无解； 综上，此方程有无数个解． 故选：D． 5．（23-24七年级下·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【思路点拨】 此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可． 先将的解求出，然后将的相反数求出后代入原方程求出的值． 【解题过程】 解：，得， 是方程的解， 由，得， ， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）方程：的解为 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，如何构造出分数裂项的基本形式是解题的关键．把提取出来，并提取公因数，再利用分数裂项求解． 【解题过程】 解： 故答案为：． 7．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【解题过程】 解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程，得到，再根据解及a的值都为负整数，可得a值． 【解题过程】 解：， ， ， 解得， ∵方程的解为负整数， ∴x可取的值为或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不合题意，舍去， 综上可知，a的值为或或． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 ． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【思路点拨】 此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是 得且，将 代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【解题过程】 解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是 ， 且， 将 代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ， ， ． 故答案为：． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【思路点拨】 首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【解题过程】 解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， （1）去分母解方程即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【解题过程】 （1）解：原方程可变形为． 方程两边分别通分后相加，得， 即． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以5，得． （2）去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【解题过程】 解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案． 【解题过程】 解：设被污染的正整数为，则有， ∴， 解得， ∵这个方程的解是正整数， ∴是正整数，且为正整数， ∴或或， ∴当或时，不是正整数， 时，，符合题意， ∴被污染的正整数是2． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则________； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（），求n的值； （3）当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）先分别解方程得，解方程得，再根据“稻香方程”的定义即可求解； （2）解关于x方程得，解关于x的方程得，根据“稻香方程”的定义得到，求出； （3）关于x方程的解是，关于x方程的解是，根据题意得到，整理得，代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：解方程得， 解方程得， 因为方程是方程的“稻香方程”， 所以． 故答案为：2； （2）解：解关于x方程得， 解关于x的方程得， 关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（） 所以， 整理得， 因为， 所以， ； （3）解：因为， 所以关于x方程的解是，关于x方程的解是， 因为关于x方程是方程的“稻香方程”， 所以， 整理得， 所以． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 17．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【解题过程】 （1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 18．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． （1）若代数式的值与x无关，求m，n的值． （2）在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【思路点拨】 本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【解题过程】 （1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 一元一次方程中的综合 · 典例分析 【典例1】我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【解题过程】 （1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． · 学霸必刷 1．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（2024七年级上·全国·专题练习）方程的有理数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．多于3个 5．（23-24七年级下·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）方程：的解为 ． 7．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 8．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 ． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 13．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则________； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（），求n的值； （3）当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 17．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 18．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． （1）若代数式的值与x无关，求m，n的值． （2）在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$