精品解析：北京昌平区2024-2025学年高二上学期期末质量抽测数学试卷

昌平区2024－2025学年第一学期高二年级期末质量抽测 数学试卷 2025.1 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则直线的倾斜角的正切值为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 以，为直径两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线与曲线（）的 A. 短轴长相等 B. 长轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 7. 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. “”是“坐标原点在圆的外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，对于实数，集合且满足，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线与直线垂直，则实数的值为_________ . 12. 已知双曲线，则其渐近线方程为______________；过右焦点作圆 的切线，切点为，则_______． 13. 在正方体中，直线与所成角大小为________________． 14. 已知抛物线焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为__________ ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为_________. 15. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）设为的中点，求直线的方程； （2）求的面积． 17. 设，求： （1）； （2）； （3）. 18. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知圆. （1）过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 20. 如图，在四棱柱中，侧面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：； 条件②：． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2024－2025学年第一学期高二年级期末质量抽测 数学试卷 2025.1 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可． 【详解】解：因为，且， 所以，即，解得， ， 故选：D． 2. 已知直线，则直线的倾斜角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程化为斜截式，可得斜率，即可得到倾斜角的正切值. 【详解】直线方程化为斜截式， 则直线的斜率为， 因为直线的斜率等于倾斜角的正切值， 所以直线的倾斜角的正切值为. 故选：C. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由展开式的通项可得. 【详解】的展开式通项为， 当，即时，得，系数是， 故选：A 4. 以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 5. 已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的几何表示可得. 【详解】 如图，， 故选：A 6. 曲线与曲线（）的 A. 短轴长相等 B. 长轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】本道题结合，计算a,b,c的值，即可． 【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个 另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足 ，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确． 【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键抓住，难度中等． 7. 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法可得. 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 8. “”是“坐标原点在圆的外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 9. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，利用线面垂直的判定定理与性质确定为刍甍的高，求出即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，过点分别作，垂足分别为， 则四边形为矩形，且， 由，平面， 得平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面，即为刍甍的高. 又，所以， 因为，为的中点，所以， 所以， 即该刍甍的高为. 故选：B 10. 已知集合，对于实数，集合且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知集合表示焦点在轴上的双曲线的上支或焦点在轴上的双曲线的上部分，集合表示过原点的直线，求出双曲线的渐近线方程即可满足题意. 【详解】由，得， 当时，集合表示焦点在轴上的双曲线的上支， 而集合表示过原点的直线，如图， 因为，所以双曲线的上支与过原点的直线没有交点， 该直线即为双曲线的渐近线，即，所以； 当时，集合表示焦点在轴上的双曲线的上部分， 而集合表示过原点的直线，如图， 因为，所以双曲线的上部分与过原点的直线没有交点， 该直线即为双曲线的渐近线，即，所以或， 综上，. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线与直线垂直，则实数的值为_________ . 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系计算即可求解. 【详解】当时，，此时不成立； 故，若，则，解得. 综上，. 故答案为：2 12. 已知双曲线，则其渐近线方程为______________；过的右焦点作圆 的切线，切点为，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程的定义，即可得到双曲线的渐近线方程；由是圆的切线，则在中，利用勾股定理即可求得. 【详解】 因为双曲线方程为， 则, 所以其渐近线方程为； 因为， 所以双曲线的右焦点为，则， 因为为圆 上的点，所以， 因为是圆的切线，所以， 则在中，. 故答案为：；. 13. 在正方体中，直线与所成角大小为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，由异面直线的夹角可得直线与所成角即为，由为等边三角形可得. 【详解】 如图，连接，， 由正方体性质知，则直线与所成角即为， 因都是正方体的面对角线，所以， 故为等边三角形，故， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为__________ ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为_________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①根据抛物线中p的几何意义可求解； ②根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合可求解. 【详解】①由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， ②如图所示，过点，则， 当点在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：①；②. 15. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①：将代入，依旧满足该方程即可得；对②，由曲线可得，将所有整点求出即可得；对③，借助对称性，证明该曲线在第一象限部分面积大于直线与坐标轴围成面积即可得；对④由基本不等式可得，进而可得. 【详解】曲线，将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，①正确； ，得，要使均为整数， 则可得整点有、、、共9个，故②错误； 曲线，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2， 当，时，，得， 故，因与轴，轴构成的三角形面积为， 故曲线围成区域的面积大于8，故③正确； 由对称性，根据得，得， 故曲线上的点到原点的距离为，故④正确， 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）设为的中点，求直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）先确定中点的坐标，根据两点确定直线的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程. （2）法一：确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； 法二：通过判断直线与的关系，可得为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求三角形面积. 法三：利用行列式的方法求三角形面积. 【小问1详解】 的中点的坐标为. 所以直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 法一： 因为,所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. 法二： 因为，， 所以. 所以. 因为， ， 所以. 法三：由题意：. 17. 设，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）0 （2） （3）729 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【小问1详解】 在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. 【小问2详解】 令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以 【小问3详解】 令，得：. 18. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）可以用面面平行的性质定理证明线线平行，也可以用线面平行的性质定理证线线平行. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求线面角. （3）用空间向量求点到平面的距离. 小问1详解】 法一： 在正方体中， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以. 法二： 在正方体中， 因为平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系.则 ，，，，. 所以，，. 设平面的法向量，则 即 . 令，则. 所以. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，所以. 所以点到平面的距离为. 19. 已知圆. （1）过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）或. （2）直线与圆相交，理由见解析 【解析】 【分析】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解； （2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论； 法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论. 【小问1详解】 由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. 【小问2详解】 法一： 因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二： 圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 20. 如图，在四棱柱中，侧面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：； 条件②：． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）选①：通过证明线面垂直来得出线线垂直；选②：通过线面垂直来得出线线垂直，同时结合勾股定理来证明垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决二面角的问题，用到公式为：； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦值建立关于参数的等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：选择条件①：． 因为侧面为正方形， 所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 因为平面， 所以． 又因为，， 所以平面． 所以． 选择条件②∶． 连接． 因为侧面为正方形， 所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 【小问2详解】 因为平面，， 所以两两垂直． 如图，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，． 所以，． 设平面的法向量，则 即 令，则． 所以． 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 法一： 设，． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为，， 设平面的法向量，则 即 令，则． 所以． 设直线与平面所成角为，则 ． 解得，或． 所以，或． 法二： 设，则． 因为，， 设平面的法向量，则 即 令，则． 所以． 设直线与平面所成角为，则 ． 解得，或． 所以或． 21. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）．离心率为． （2）存在，， ． 【解析】 【分析】（1）根据短轴长，，，可得出的等量关系求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．设直线的方程为，直线的方程为，联立消可得，设，得出，，表示出斜率，得出直线的方程为，即可判断恒过定点问题， 当为中点时，对与的位置关系进行分类讨论． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得 所以椭圆的方程为．离心率为． 【小问2详解】 由题意可知，直线斜率存在且不为零． 又因为，所以． 因为， 所以直线的方程为，直线的方程为． 由可得． 设，则． 所以． 同理可得：． 因为， 所以直线的方程为， 即． 所以直线过定点． 当为中点时， 因为点是过点作直线的垂线的垂足， 所以当与重合时，． 当与不重合时，根据直角三角形的性质，． 所以当为的中点时，即时，的长度为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $