精品解析：浙江省台州市部分学校2025届高三上学期年1月期末联考数学试题

绝密★考试结束前 高三数学试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以． 故选：D． 2. 命题p：，都有，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出该命题的否定即得. 【详解】因为命题p：，都有的否定是，使得， 故选：B. 3. 已知，（i为虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件可得的值，即可求解. 【详解】由可得，故，因此， 故选：C 4. 下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据： 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292 高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418 初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482 小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626 则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（ ） A. 高等学校 B. 高中阶段 C. 初中阶段 D. 小学阶段 【答案】A 【解析】 【分析】计算出各类计算各选项中的增长率即可得． 【详解】由已知高等学校增长率为， 高中阶段增长率为， 初中阶段增长率为， 小学阶段增长率为， 故选：A． 5. 下列选项中的圆既与轴相切又与直线相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】对A：圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以圆不与轴相切，故A错误； 对B：圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为：，所以圆与直线不相切，故B错误； 对C：圆心为，半径为，圆心到轴的距离为，到直线的距离为：，所以所给的圆既与轴相切又与直线相切，故C正确； 对D：圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，所以圆与直线不相切，故D错误. 故选：C 6. 在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直可得高的最大值，即可根据体积公式求解. 【详解】由于为边长为2的等边三角形，故面积为, 也是边长为2的等边三角形， 故当平面平面时，此时到平面的距离最大，且最大值为,（其中为的中点）， 故三棱锥的体积的最大值为, 故选:C 7. 对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角公式可得直线的夹角的余弦值，再结合面积公式运算求解. 【详解】因为，则， 可得， 设直线的夹角为， 则，可得， 所以四边形的面积为. 故选：A 8. 在中，，且，则的值不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合题意可得，进而得到，又，令，可得，令，利用函数单调性求得的值域即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 令，因为，所以，所以， 则，所以， 令， 函数和在上都单调递增， 所以在上单调递减，故， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：通过，求得，进而得到，是解决本题的关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个正方体中，满足平面CDE的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面内的直线不垂直可判断AC，根据直线与平面垂直的判定定理判断BD. 【详解】对A，，，与所成角为，故与平面CDE不垂直， 故A错误； 对B，在正方体中，平面，平面，所以， 又，，平面CDE，所以平面CDE，故B正确； 对C，连接，如图， 在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，为正三角形，所以，又，与所成的角为，所以与平面CDE不垂直，故C不正确； 对D，连接，如图， 因为平面，平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，再由平面，所以平面CDE，故D正确. 故选：BD 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，是互斥事件可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，A正确； 对于B，，， ，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知，则________． 【答案】243 【解析】 【分析】利用赋值法，根据方程思想，可得答案. 【详解】令，得，① 令，得，② ②①，得，即． ①②，得，即． 所以． 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或）， 所以. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式 【名师点睛】本题考查了角对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则. 14. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，      因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足. （1）求c的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）法1：由角化边可得，整理得，可求；法2：易证，结合已知可得，可求； （2）由已知切化弦可得，结合已知可得，可求. 【小问1详解】 法1：由可得： 化简得： 进一步整理得： . 又已知锐角，，； 法2：先证明 由正弦定理得： 由，可得：，； 【小问2详解】 ，得， . 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）分别取、的中点、，证明四边形、为平行四边形，可得出，，利用平行线的传递性结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）分别取、的中点、，连接、、，如图所示： 、分别为、的中点，则为梯形的中位线， 所以，，且有， ，，所以，，且， 所以，四边形为平行四边形，故， 为的中点，则，因为，则， 所以，四边形为平行四边形，则，故， 平面，平面，因此，平面； （2）以点为坐标原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，，， 由，可得，令，则， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 17. 已知数列满足（e为自然对数的底），且. （1）当时，令，求的通项公式及其前n项和； （2）当时，令，，，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）通过对取对数，推得等比数列，继而求出其通项与前项和； （2）由推得，利用裂项相消法求得，再由推得，利用累乘法求得，代入所求式计算即得. 【小问1详解】 当时，，两边取对数，，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 故，. 【小问2详解】 当时，（*）， 则，故， 于是， 又由（*），可得，故， 于是 . 18. “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局. 现有人玩游戏. （1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、； （2）求人玩一轮游戏，平局概率（结果用n表示）； （3）设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 分析】（1）应用古典概型及排列数组合数公式计算即可； （2）应用古典概型及对立事件概率公式计算即可； （3）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算即可； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率， ； 其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， 故 【小问3详解】 解法一：由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者 情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者 此时； 情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 综上所述： 解法二：记表示n个人玩一轮游戏，恰好剩m人的概率， 当时，； 当时，； 5人2轮游戏决出唯一获胜者的概率， . 19. 对于一个函数和两个点，，给出如下定义：记：，若满足，则称P是M，N视角下的“基于的回点”. （1）若，点，，求：M，N视角下的基于的回点P的坐标； （2）若，，对于点，，若M，N视角下的“基于的回点”恰有两个，记为，，求证：直线，的斜率. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问题转化为：与有且只有一个交点.构造函数，通过二次求导，分析函数的单调性，得到函数零点及零点个数. （2）问题转化为：椭圆与有两个交点，，求直线，的斜率的取值范围.先结合对数不等式得到，再利用点差法得到，再得：，结合基本（均值）不等式，得到：，解不等式可得. 【小问1详解】 注意到，当且仅当点P在线段MN上时，等号成立，即M，N视角下的基于的回点P只能在线段，与的交点上. 因为既在线段MN上，又在图象上，故回点； 下证明与有且只有一个交点. 构造，现证明只有一个零点. （）， 设，（）， 则 ，， 所以在上单调递增. 由于 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以. 因此只有一个零点，即M，N视角下的“基于的回点”个数有且只有一个，是. 【小问2详解】 ，由椭圆的定义可知P是椭圆与的交点， 设，，其中. 先证对数不等式：若，，则. 设（）， 则， 因为，所以，即在上单调递增，又， 所以当时，. 若，则，所以； 若，也成立. 所以，，则. 取，，得. .① 将和相减， 得， .② 再将和相加，得.③ 注意到：时，由知， 结合①，②，③，知 ， ，， 【点睛】关键点点睛：问题（1）的关键，是根据概念，把问题转化成与有且只有一个交点.问题（2）的关键，是根据概念，把问题转化为：椭圆与有两个交点，，求直线，的斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 高三数学试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：，都有，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，（i虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据： 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292 高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418 初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482 小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626 则在这10年时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（ ） A. 高等学校 B. 高中阶段 C. 初中阶段 D. 小学阶段 5. 下列选项中的圆既与轴相切又与直线相切的是（ ） A. B. C. D. 6. 在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 大小不确定 8. 在中，，且，则值不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个正方体中，满足平面CDE的有（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 11. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知，则________． 13. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们终边关于y轴对称.若，则=___________. 14. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足. （1）求c的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列满足（e为自然对数的底），且. （1）当时，令，求的通项公式及其前n项和； （2）当时，令，，，求的值. 18. “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局. 现有人玩游戏. （1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、； （2）求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）； （3）设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率. 19. 对于一个函数和两个点，，给出如下定义：记：，若满足，则称P是M，N视角下的“基于的回点”. （1）若，点，，求：M，N视角下的基于的回点P的坐标； （2）若，，对于点，，若M，N视角下的“基于的回点”恰有两个，记为，，求证：直线，的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$