第03讲 极值与最值（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第03讲 极值与最值 【人教A版2019】 模块一 极值问题 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值点的辨析】 【例1.1】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的极大值点 D．是的极小值点 【变式1.1】（23-24高二下·浙江·期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ） A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极大值点 D．，是的极值点 【变式1.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 利用导数求函数的极值】 【例2.1】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 【例2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【题型3 极值的逆向求参问题】 【例3.1】（2024高三·全国·专题练习）设函数，若的极小值为，则（   ） A． B． C． D．2 【例3.2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数（导函数）图象与极值的关系】 【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【例4.2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．在区间上单调递增 C．为的极大值点 D．在区间上单调递增 【变式4.1】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【变式4.2】（23-24高二下·陕西西安·期中）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点；                     ②在处切线的斜率小于零； ③在区间上单调递增；                 ④是函数的最小值点． 则正确命题的序号是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②③ 模块二 最值问题 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 利用导数求函数的最值】 【例5.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【例5.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式5.2】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【题型6 最值的逆向求参问题】 【例6.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【变式6.2】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7.1】（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 【例7.2】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【变式7.1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若函数，且是的两个极值点，求的最小值． 【变式7.2】（24-25高三上·福建·阶段练习）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期末）函数的极值点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 6．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（   ） A．最大值 B．最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．以上说法都不正确 二、多选题 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 13．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为 ． 14．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 17．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 18．（2025高三·北京·专题练习）已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 19．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 极值与最值 【人教A版2019】 模块一 极值问题 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值点的辨析】 【例1.1】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【解答过程】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C. 【例1.2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的极大值点 D．是的极小值点 【解题思路】由题意，求得函数在处的切线方程，得到，通过对其求导分析，得出的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误. 【解答过程】因函数在点处的切线为， 即，则， 于是，，由图知，当时，，此时， 当时，，此时. 对于B项，由上分析，B项显然错误； 对于C, D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减, 即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误； 对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值， 则有 ，故A项错误. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高二下·浙江·期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ） A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极大值点 D．，是的极值点 【解题思路】由图判断函数的单调性，结合为在点处的切线方程， 则有，由此可判断极值情况. 【解答过程】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离． 根据题意，当时，单调递减， 当时，单调递增， 又，则有是的极小值点， 故选:B． 【变式1.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【解答过程】由题，，则， 作出与直线平行的函数的所有切线，如图， 各切线与函数的切点的横坐标依次为， 则在，处的导数都等于， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：D. 【题型2 利用导数求函数的极值】 【例2.1】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 【解题思路】求导，根据题意结合极值点解得或，再验证函数极值点即可. 【解答过程】因为， 由题意可得：，解得或. 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极小值，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极大值； 综上所述：的极大值为32. 故选：B. 【例2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【解答过程】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断. 【解答过程】定义域为，且， 由可得：，所以在单调递增； 由可得：，所以在单调递减． 所以有极大值，有极小值． 故选：C. 【题型3 极值的逆向求参问题】 【例3.1】（2024高三·全国·专题练习）设函数，若的极小值为，则（   ） A． B． C． D．2 【解题思路】对函数求导，根据导数的符号确定极小值点，结合已知极小值列方程求参数. 【解答过程】由已知，得，令，有， 当时，，当时，， 所以在处取得极小值，为， 所以，得． 故选：B. 【例3.2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式3.1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解. 【解答过程】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 【变式3.2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【解答过程】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 【题型4 函数（导函数）图象与极值的关系】 【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【解题思路】根据导数大于0和小于0 确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案. 【解答过程】由图象可知，定义域，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点， 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．在区间上单调递增 C．为的极大值点 D．在区间上单调递增 【解题思路】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点. 【解答过程】由导函数图象可得当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A，B，D错误， 又在的左侧附近，,在的右侧附近， 所以为的极大值点，C正确； 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【解题思路】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【解答过程】解：，并结合其图像，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增 ∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确； 在处取得极大值. 所以有3个极值点，故A错. 故选: C. 【变式4.2】（23-24高二下·陕西西安·期中）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点；                     ②在处切线的斜率小于零； ③在区间上单调递增；                 ④是函数的最小值点． 则正确命题的序号是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②③ 【解题思路】根据给定的导函数的图象，确定导数值正负所对应的x取值区间，再结合极值的定义、导数的几何意义、判断函数单调性的方法判断各命题作答. 【解答过程】观察导函数的图象知，当时，，， 当且时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此是函数的极值点，①正确； ，则函数的图象在处切线的斜率大于零，②错误； ，因此函数在区间上单调递增，③正确； 由于在上单调递增，即在上无极值点，④错误. 所以正确命题的序号是①③，A正确. 故选：A. 模块二 最值问题 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 利用导数求函数的最值】 【例5.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果. 【解答过程】因为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ， 故选：B． 【例5.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【解答过程】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 【变式5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【解题思路】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【解答过程】（1），求导得， 令，即，解得或. 令，即，解得. 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. （2）①当时，因为在上递减， 所以在区间上的最大值为，最小值为； ②当时，因为在上递减，在上递增，且， 所以在上的最大值为，最小值为； ③当时，因为在上递减，在上递增， 且，所以在上的最大值为， 最小值为. 综上所述，当 时，在区间上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为. 【变式5.2】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【解题思路】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以. 由 或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由 . ①当，即时， 或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由 或. 由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由 . 所以在上单调递减， . 综上，. 【题型6 最值的逆向求参问题】 【例6.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【解答过程】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 【例6.2】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导得，即可求出函数的极大值点与极大值，再令，得，解得，，在区间上存在最大值，则有，解之即可. 【解答过程】由题意得，令，得， 令，是，或， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 故. 令，得，解得，， 所以，所以要使在上存在最大值， 则有,解得. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【解题思路】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【解答过程】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 【变式6.2】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7.1】（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 【解题思路】（1）求出导函数，根据分类讨论求函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系； （2）由，是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值. 【解答过程】（1）由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. （2）若有两个极值点，， 则，由方程知，. ， 令()， 则， 所以在上单调递减，所以. 所以的最大值是. 【例7.2】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【解题思路】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【解答过程】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 【变式7.1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若函数，且是的两个极值点，求的最小值． 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将函数极值点问题转化为方程在上有两个不等实根，即可得到，然后构造函数求得极值，即可得到结果. 【解答过程】（1）因为，则，， 当时，，则函数在单调递增， 当时，， 当，，则单调递减， 当，，则单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 则， 因为函数有两个极值点， 所以方程在上有两个不等实根， 则，即， 且，，所以， 所以 ， 令，则， 所以， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值，且， 此时，即时，取得最小值. 【变式7.2】（24-25高三上·福建·阶段练习）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【解题思路】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数求出其最小值可得结果； 解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数即可求出的最大值为. 【解答过程】（1）当时，，则 令，解得 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知单调递增，但，不合题意 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以，其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期末）函数的极值点为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由极值点的导数为0求得参数值，再检验． 【解答过程】由已知，则，， 当时，，则，因此， 当时，，，则，因此， 所以是极小值点，满足题意． 故选：A． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【解答过程】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【解答过程】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 4．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数，结合分类讨论研究函数的极值，即可求参数范围. 【解答过程】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值. 故选：B. 5．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 【解题思路】求出函数的导数，再考虑二阶导数符号后可得导数的单调性，从而可判断有最小值5，或者根据解析式表示的几何意义可求最小值点，从而可得最小值. 【解答过程】法1：， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 所以为上的增函数，而， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 当时，， 故选：C. 法2：设，，则． 当时，，故A错误； 要使得存在最小值， 即在上有解， 当时，单调递增， 所以在上至多存在一个零点， 因为，所以在上存在一个零点2， 所以取得最小值为5． 故选：C． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【解答过程】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【解题思路】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【解答过程】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B. 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（   ） A．最大值 B．最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．以上说法都不正确 【解题思路】对求导，判断函数的单调性确定最值从而得到的范围，再对求导判断单调性即可判断最值情况. 【解答过程】，定义域为， ， 令，得，因为， 所以当时，；当时，. 当时，，故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 此时不存在最小值，所以. 当时，，故当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 在处取得最小值， 即，， ，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，无最小值. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【解题思路】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【解答过程】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 【解题思路】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【解答过程】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，则，作出，的大致图象，可判断AB； 由函数的单调性可判断CD 【解答过程】，，令，则， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减． 作出，的大致图象， 当时，有两个根，，且，故A正确； 当时，，故B错误； 又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减， ，，故CD正确； 故选：ACD． 三、填空题 12．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【解题思路】求导，当时，恒成立，不合要求，，至少有两个变号零点，令，则至少有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，得到答案. 【解答过程】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为：. 13．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为 ． 【解题思路】通过函数的导数可判断出的单调性，从而可得在上的最大值，即可求出的值，进而可求出函数在上的最小值． 【解答过程】因为，所以， 当时，；当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以的最大值为， 则，又，， 所以的最大值为. 故答案为：. 14．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 【解题思路】由题意建立关于d的方程组，即可求解函数的解析式，再根据函数的单调性，求函数的最小值. 【解答过程】由题意可知，，且，， 即，得，， 则，故， ，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，得， 由单调性可知，函数在区间的最小值可能为或， ，，所以函数在区间的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 【解题思路】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【解答过程】（1）因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. （2）由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程； （2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，，所以， 而，所以在切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则. 因为， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【解题思路】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【解答过程】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 18．（2025高三·北京·专题练习）已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 【解题思路】（1）求出导数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出导数，分三种情况讨论的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处切线的方程为. （2）当时，，， 令，得或， 当即时，对，，即函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 当即时，，，即函数在上单调递减， ，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 19．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【解题思路】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【解答过程】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）（i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$