导数函数极值与最值期末复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理导数与函数极值、最值的核心内容，涵盖极值定义、求极值四步流程、参数取值问题及最值求解方法，以逻辑递进结构呈现知识脉络，突出导数符号与极值关系等重难点的内在联系。 讲义亮点在于典例分类分层设计，按“求极值最值-已知极值求参数-已知最值求参数”模块编排，包含选择、填空、解答题，如已知函数在某点取得极值求参数值的解答题，培养数学思维和运算能力。每个题型配方法指导，基础学生可掌握步骤，优秀学生能深化推理，助力教师精准教学。

导数与函数的极值与最值 一．重点知识点梳理 1．导数与函数极值的关系 已知函数，设是定义域内一点，且有，并有左右两侧附近的所有点，导函数的符号是异号的，则称是的一个极值点。 ①如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 2.求函数的极值的步骤： （1）求出函数f(x)的定义域； （2） 求导数，化简并因式分解。 （3） 求方程的所有实数根； （4） 列表考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值。 3.由函数的极值情况求参数的取值范围 （1）已知函数f(x)在处取得极值求参数值问题，可转化为问题，并要注意将参数值带回去检验在处是否取得极值。 （2）已知函数f(x)在[a，b]上有极值求参数取值范围问题，可转化为有变号解问题。 4．函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最值必在极值点处或端点值处取得。 （2）求函数最大（小）值的方法： ① 求在指定区间内所有极值； ② 比较在区间内的所有极值和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值． 二．典例分类分析 （一）利用导数求函数极值与最值 1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f '(x).若函数y=(1-x)·f '(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 2．（多选）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递增 3．函数在上的极小值点为（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．3 5．设函数，则（    ） A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1 B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为 C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1 D．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为 6．已知函数，则的最小值是 ． 7．记函数的导函数为，已知，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的值域． 8.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 9．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； （二）已知极值情况求参数值或范围 1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a+b=(　　) A.0或-7 B.-7 C.0 D.7 2.如图是函数的大致图象，则（    ） A． B． C． D． 3．若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 4．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 6.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为　　　　　.  7．已知函数在处取得极值． 确定a的值； 若，讨论的单调性． 8．设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR. （1）令g(x)=f '(x)，求g(x)的单调区间； （2）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 9.已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围。 （三）已知最值情况求参数值或范围 1．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2.若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________． 4．已知函数，其中. (1)当时，求函数在内的极值点； (2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围. 5.已知函数f(x)=x3-3ax+1（） (1)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求实数a的值； (2)当x∈[-2,1]时，求函数f(x)的最大值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与函数的极值与最值 一．重点知识点梳理 1．导数与函数极值的关系 已知函数，设是定义域内一点，且有，并有左右两侧附近的所有点，导函数的符号是异号的，则称是的一个极值点。 ①如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 2.求函数的极值的步骤： （1）求出函数f(x)的定义域； （2） 求导数，化简并因式分解。 （3） 求方程的所有实数根； （4） 列表考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值。 3.由函数的极值情况求参数的取值范围 （1）已知函数f(x)在处取得极值求参数值问题，可转化为问题，并要注意将参数值带回去检验在处是否取得极值。 （2）已知函数f(x)在[a，b]上有极值求参数取值范围问题，可转化为有变号解问题。 4．函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最值必在极值点处或端点值处取得。 （2）求函数最大（小）值的方法： ① 求在指定区间内所有极值； ② 比较在区间内的所有极值和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值． 二．典例分类分析 （一）利用导数求函数极值与最值 1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f '(x).若函数y=(1-x)·f '(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 答案:D 【详解】：由题图可知，f '(-2)=0，f'(2)=0，当x<-2时，f'(x)>0；当-2<x<1时，f'(x)<0； 当1<x<2时，f '(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值。 故选D. 2．（多选）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递增 【答案】ABD 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误，故选：ABD 3．函数在上的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，， 因为，当时，，当时，，当时，， 所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数． 因此，函数在上的极小值点为. 故选：C. 4．函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】∵，∴， 当时，得，故在上单调递减， 当时，得，故在上单调递增， 又，故当时取最小值， 故选：B 5．设函数，则（    ） A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1 B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为 C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1 D．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为 【答案】C 【详解】， 令，解得，令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值点， 又，则曲线在点处的切线斜率为1， 故选：C． 6．已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. 7．记函数的导函数为，已知，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【详解】 （1） 因为，所以，解得 （2）由（1）可知 由，解得或；由，解得 所以函数在，单调递增；在单调递减 又，，，． 所以，， 所以函数在上的值域为． 8.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)；（2）最大值1；最小值. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 9．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； 【答案】(1)极大值为，无极小值 ，(2) 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （二）已知极值情况求参数值或范围 1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a+b=(　　) A.0或-7 B.-7 C.0 D.7 答案:B 【详解】: f '(x)=3x2+2ax+b. 由题意得： 解得：或 若a=-3，b=3，则f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2， 当x<1或x>1时，f'(x)>0,所以x=1不是极值点，不符合题意。 经检验,a=4，b=-11符合题意，所以a+b=4-11=-7；故选B. 答案:B 2.如图是函数的大致图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察函数的图象知，-1，0，2是函数的零点，且，是函数的两个极值点， 于是得，求导得， 因，是函数的两个极值点，则，是方程的两根， 从而有，， 所以. 故选：C 3．若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为， 故选A． 4．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 5．（多选）（若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 6.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为　　　　　.  答案:(-1,1) 【详解】:令f '(x)=3x2-3a=0，解得x=±. 易得f(x)在x=-处取得极大值, 在x=处取得极小值. 由题意知f(-)=6，f()=2，解得a=1，b=4。 令f'(x)=3x2-3<0，得-1<x<1。 故函数f(x)的单调递减区间为(-1，1)。 7．已知函数在处取得极值． 确定a的值； 若，讨论的单调性． 【答案】（1） （2）在和内为减函数，在和内为增函数． 【详解】（1）对求导得， 因为在处取得极值，所以， 即，解得； （2）由（1）得，， 故 ， 令，解得或， 当时，，故为减函数， 当时，，故为增函数， 当时， ，故为减函数， 当时，，故为增函数， 综上所知：和是函数单调减区间， 和是函数的单调增区间. 8．设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR. （1）令g(x)=f '(x)，求g(x)的单调区间； （2）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ） 【详解】：（Ⅰ）由 可得， 则， 当时， 时，，函数单调递增； 当时， 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减. 所以当时，单调递增区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ①当时，，单调递减. 所以当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以在x=1处取得极小值，不合题意. ②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增， 可得当当时，，时，， 所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增， 所以在x=1处取得极小值，不合题意. ③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减， 所以当时，， 单调递减，不合题意. ④当时，即 ，当时，，单调递增, 当时，，单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为. 9.已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围。 【答案】：(1，+∞)。 【详解】:(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f '(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)，切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y-1=0。 (2)因为f(x)的定义域为R，且f '(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x<ln a； 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值。 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0，不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞)。 （三）已知最值情况求参数值或范围 1．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2.若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】：C． 【详解】当x＜0时，， 当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2， 由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]， 即在x＞0时恒成立， 即在x＞0时恒成立， 即， 设， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故选：C． 3．已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________． 【答案】1 【详解】的定义域为， ， 当时，，在区间上递增，没有最小值. 当时，在区间递减；在区间递增. 所以在区间上的最小值为. 4．已知函数，其中. (1)当时，求函数在内的极值点； (2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围. 【答案】(1)极大值点为，无极小值点 (2) 【详解】：（1）由题意得： 当时，， 则， 令得，， 列表如下： x 0 1 3 + 0 - 0 1 单调递增 5 单调递减 1 故在内的极大值点为，无极小值点. （2） ①当时，， 函数在区间单调递增 所以 即（舍）； ②当时，， 函数在区间单调递减 所以，符合题意； ③当时 当时，，区间在单调递减 当时，，区间在单调递减 所以 化简得：，即 所以或（都舍）；注：也可令， 则 则在单调递减 所以，不符合题意； 综上所述：实数k取值范围为. 5.已知函数f(x)=x3-3ax+1（） (1)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求实数a的值； (2)当x∈[-2,1]时，求函数f(x)的最大值。 【答案】当<a<4时，f(x)的最大值为2a+1； 当a≥4时，f(x)的最大值为-7+6a 【详解】:(1)由题意可知f'(x)=3x2-3a， 所以f '(-1)=0，即3-3a=0解得a=1， 经检验a=1，符合题意.所以a=1。 (2)由(1)知f'(x)=3x2-3a，令f'(x)=0，x=±，当<<1即<a<1时，f(x)和f '(x)随x的变化情况如下表： x -2 (-2,-) - (-,) (,1) 1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 2-3a f(-)=2a+1>2-3a,由表可知,所以f(x)的最大值为2a+1. 当1≤<2即1≤a<4时，f(x)和f'(x)随x的变化情况如下表. x -2 (-2,-) - (-,1) 1 f'(x) + 0 - f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 2-3a f(-)=2a+1,由表可知,所以f(x)的最大值为2a+1。 当≥2即a≥4时，f '(x)=3x2-3a≤0恒成立，即f(x)在[-2，1]内单调递减，所以f(x)的最大值为f(-2)=-7+6a. 综上所述，当<a<4时，f(x)的最大值为2a+1； 当a≥4时，f(x)的最大值为-7+6a ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $