第03讲等差数列的前n项和公式（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理公式推导（含两个基本公式）、与二次函数的关联（常数项为0的二次函数形式）及前n项和性质（最值、片段和等），构建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料以“举三反三”设计7类题型，含例题与变式训练，强化训练覆盖选择、填空、解答题。通过问题探究培养数学思维（推理与运算能力），结合实例渗透模型观念，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

第03讲等差数列的前n项和公式 知识清单 知识点01：等差数列的前n项和公式 知识点02：等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 知识点03：等差数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：等差数列前𝒏 项和的基本量运算 题型2：等差数列的片段和性质 题型3：等差数列的奇偶项和性质 题型4：两个等差数列的前n项和之比问题 题型5：二次函数法求等差数列前n项和的最值 题型6：求等差数列前n项和的最值 题型7：根据等差数列前n项和的最值求参数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 知识点02 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 知识点03等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 题型1：等差数列前𝒏 项和的基本量运算 【例1-1】（25-26高二上·福建宁德·月考）已知等差数列的前项和为，，则公差（   ） A．2 B．3 C．9 D．12 【例1-2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知等差数列的前项和为，，则 . 【例1-3】（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-2】（24-25高二上·广东惠州·月考）设等差数列的前项和为，，，若，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25高二下·江苏盐城·月考）设各项均为正数的数列满足    p，q为实数，其中为数列的前n项和. (1)若，，求数列的通项公式； (2)若数列为等差数列，求p，q的值. 题型2：等差数列的片段和性质 【例2-1】（25-26高二上·广东梅州·月考）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【例2-2】（25-26高二上·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【例2-3】（24-25高二上·全国）等差数列中，你能发现其前项和、前项和与前项和有何关系吗？ 【变式2-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【变式2-2】（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【变式2-3】（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 题型3：等差数列的奇偶项和性质 【例3-1】（25-26高二上·北京平谷·月考）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【例3-2】（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【例3-3】在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【变式3-1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【变式3-3】已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 题型4：两个等差数列的前n项和之比问题 【例4-1】（25-26高二上·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·天津河东·月考）已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 【例4-3】（24-25高二上·全国）已知两个等差数列，，其前项和分别为，，你能用，表示吗？ 【变式4-1】（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·天津红桥·月考）等差数列的前项和分别为，且，则 ． 【变式4-3】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，求的值. 题型5：二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例5-1】（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【例5-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【例5-3】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·月考） 已知数列的前项和公式为 (1)求的最小值及对应的的值； (2)求数列的通项公式. 【变式5-1】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【变式5-2】设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是 ． 【变式5-3】已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 题型6：求等差数列前n项和的最值 【例6-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·山东青岛·月考）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 【例6-3】（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 【变式6-1】（25-26高二上·天津·月考）一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 【变式6-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 题型7：根据等差数列前n项和的最值求参数 【例7-1】（24-25高二上·天津东丽·月考）若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 【例7-2】（23-24高二下·江西·月考）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【例7-3】已知等差数列的公差，且前项和的最小值为，求公差． 【变式7-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【变式7-3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 2．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 3．已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 5．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 6．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山西晋中·月考）已知等差数列的前项和为，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（   ） A． B． C．， D．， 10．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 11．（25-26高二上·河南洛阳·月考）已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（25-26高二上·天津蓟州·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 13．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 14．（25-26高二上·河北·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 16．（25-26高二上·天津和平·月考）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 19．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲等差数列的前n项和公式 知识清单 知识点01：等差数列的前n项和公式 知识点02：等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 知识点03：等差数列前n项和的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：等差数列前𝒏 项和的基本量运算 题型2：等差数列的片段和性质 题型3：等差数列的奇偶项和性质 题型4：两个等差数列的前n项和之比问题 题型5：二次函数法求等差数列前n项和的最值 题型6：求等差数列前n项和的最值 题型7：根据等差数列前n项和的最值求参数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 知识点02 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 知识点03等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 题型1：等差数列前𝒏 项和的基本量运算 【例1-1】（25-26高二上·福建宁德·月考）已知等差数列的前项和为，，则公差（   ） A．2 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和公式直接求解即可. 【详解】由得，解得 故选：A 【例1-2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知等差数列的前项和为，，则 . 【答案】/0.5 【分析】运用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）由题意求出数列的通项公式，即可求解； （2）利用等差数列前项求和公式得，从而可求解. 【详解】（1）由，所以公差， 所以，所以. （2）由（1）可得， 当时，即， 即，解得或. 故当时，为或. 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·广东惠州·月考）设等差数列的前项和为，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式及通项公式化简可得解. 【详解】由已知等差数列满足， 又，所以， 解得， 又， 则，即， 解得， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏盐城·月考）设各项均为正数的数列满足    p，q为实数，其中为数列的前n项和. (1)若，，求数列的通项公式； (2)若数列为等差数列，求p，q的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用递推关系，由求，即可得出； （2）根据等差数列前项和和通项公式建立关系式得，利用系数对应相等求解. 【详解】（1）令，得，所以， 则， 所以，两式相减， 得， 又，所以； （2）若数列为等差数列，设首项为，公差为， 且， 根据题意，，即， 则， 故，故或， 故或. 题型2：等差数列的片段和性质 【例2-1】（25-26高二上·广东梅州·月考）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【答案】D 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 【例2-2】（25-26高二上·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 【例2-3】（24-25高二上·全国）等差数列中，你能发现其前项和、前项和与前项和有何关系吗？ 【答案】数列是公差为的等差数列. 【详解】， 同样我们发现，这里出现了一个有意思的数列是一个公差为的等差数列． 【变式2-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， 则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 【变式2-2】（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的性质倒序相加即可. （2）根据等差数列前项和公式、通项公式列方程，因式分解消元即可得证. 【详解】（1）证明：由题意得①， ②， ①+②得， 由等差数列的性质得， 所以， 所以. （2）因为，， 所以①，②， ①-②得. 整理得， 因，所以， 所以 题型3：等差数列的奇偶项和性质 【例3-1】（25-26高二上·北京平谷·月考）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 【例3-2】（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 【例3-3】在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【答案】 【分析】根据等差数列通项可构造方程求得，与已知等式作和可求得结果. 【详解】， ， . 【变式3-1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 【变式3-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 【变式3-3】已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 题型4：两个等差数列的前n项和之比问题 【例4-1】（25-26高二上·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选： D 【例4-2】（25-26高二上·天津河东·月考）已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质求解即可； 【详解】因为数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且 所以. 故答案为： 【例4-3】（24-25高二上·全国）已知两个等差数列，，其前项和分别为，，你能用，表示吗？ 【答案】 【详解】因为两个等差数列，，其前项和分别为， 所以 ． 【变式4-1】（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式得到，再利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为是等差数列，则， 所以， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·天津红桥·月考）等差数列的前项和分别为，且，则 ． 【答案】 . 【分析】先利用等差数列的性质，得出前项和公式并转化为项的形式，再将“项的比值”转化为“前特定项和的比值”，最后计算即可. 【详解】对于等差数列性质，知前项和，即， 同理：对于等差数列，则， 因此：， 即： ， 已知，代入得： ， 所以 ， 故答案为： . 【变式4-3】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，求的值. 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质有即可得解. 【详解】由题意得 所以. 题型5：二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例5-1】（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】把等差数列的前n项和设为二次函数，利用二次函数的对称性可求最值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称． 又因为，可得，所以当取得最小值时，． 故选：B 【例5-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【答案】4 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案. 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·月考） 已知数列的前项和公式为 (1)求的最小值及对应的的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)最小值为，当或时； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用即可求出通项公式. 【详解】（1）， ∴当或8时最小，最小值为． （2）， ∴当时，． 当时，． ∵也适合， ． 【变式5-1】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件得，从而得出，即可求出结果. 【详解】因为数列为等差数列，设数列的公差为， 又，，则①，②， 由①②解得，所以， 当时，取最小值为， 故选：A. 【变式5-2】设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是 ． 【答案】4 【分析】计算出，然后再利用二次函数的性质求解。 【详解】是等差数列，且，， 数列是首项为3，公差为的等差数列， ， 时，数列的前项和取最大值4． 故答案为：4 【变式5-3】已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)或，最小值为． 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得首项和公差即可得解. （2）利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）设的公差为，则 解得 所以； （2）， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 题型6：求等差数列前n项和的最值 【例6-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 【例6-2】（25-26高二上·山东青岛·月考）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 【答案】12或13 【分析】根据条件得数列的前项均为负数，，即可求解. 【详解】因为，易知数列是等差数列，且公差为，所以为递增数列， 由，得到，所以数列的前项均为负数，， 则取得最小值时或， 故答案为：或. 【例6-3】（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证； （2）由（1）结合等差数列的前项和公式求出，再由二次函数性质即可求解. 【详解】（1）证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得， 因为，所以当时前项和取得最小值为. 【变式6-1】（25-26高二上·天津·月考）一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知得到的关系，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设等差数列的公差为，其前项的和为. 由，可得，即， 所以， 因为，所以，所以当时，取得最大值. 故选：C 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和的性质和项的符号分析即可. 【详解】在等差数列中，， 所以由，得，则， 由，得，则， 由此可知，，说明等差数列的前项为负，第项开始为正， 因此在时取得最小值. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 【答案】(1). (2)，当且仅当时，的最大值为. 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，所以的通项公式是. （2）， 当且仅当时，的最大值为. 题型7：根据等差数列前n项和的最值求参数 【例7-1】（24-25高二上·天津东丽·月考）若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出数列为递减数列，且当时，，当时，，由此可得出结论. 【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则， 因为，则，故， 设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列， 故当时，，当时，， 所以，当时，取最大值. 故选：B. 【例7-2】（23-24高二下·江西·月考）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知得出，公差，然后分和两种情况讨论. 【详解】由题意知是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故答案为：． 【例7-3】已知等差数列的公差，且前项和的最小值为，求公差． 【答案】 【分析】由前项最小值和公差可知；利用和等差数列前项和公式可构造不等式求得的范围，结合可得结果. 【详解】等差数列前项和的最小值为，且，， ，解得：； ，即， ，，解得：， 又，. 【变式7-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而满足，因此， 令， 因，则数列是等差数列， 由的最大值为，得，解得， 故实数的最大值是. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，进而列方程求解即可. 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 3．已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 故选：C. 4．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 6．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 7．（25-26高二上·山西晋中·月考）已知等差数列的前项和为，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质即可. 【详解】由题可知， 所以. 故选：B 8．（25-26高二上·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式进行计算判断即可. 【详解】因为等差数列中，， 则. 故，. 故使前项和成立的最大自然数. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据题意，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列前项和公式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等差数列的前项和公式，可得， 对于A，若，可得，A符合题意； 对于B，由，不能确定的值，B不符合题意； 对于C，由，可得，不能确定的值，C不符合题意； 对于D，由等差数列前项和的性质，可得构成等差数列， 即构成等差数列，所以，解得，D符合题意. 故选：AD 10．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ACD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】对于ABD选项，设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确； C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·河南洛阳·月考）已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】由已知结合等差数列的项与和的性质推出，，即得，，由此可判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得，即， 又由，，即， ，且，则， 所以，所以的最小值为无最大值. 故A，B，C均正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·天津蓟州·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 【答案】 【分析】设出公差，根据前项和公式得到方程，求出公差，从而得到，求出答案. 【详解】设公差为，因为，所以，， ，故，即， 所以， 故. 故答案为： 13．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14．（25-26高二上·河北·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据等差数列与下标和的性质及等差数列求和公式即可求解． 【详解】∵是等差数列，且， ∴，∴，∴，∴， 即， 故答案为：1． 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；或时，取得最大值，无最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出，然后写出等差数列通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式写出，再利用函数性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 16．（25-26高二上·天津和平·月考）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； (3). 【分析】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； （3）， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据也是等差数列，得到，从而可求的值； （2）利用等差数列的性质以及求和公式可得，再利用基本不等式可证明题中不等式． 【详解】（1）在等差数列中，成等差数列， ，． （2）是等差数列，且，正整数p，q，m互不相等, ，即. 19．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)的最小值为，无最大值； (3). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）利用等差数列的前项和公式求解； （3）求出和的项数的范围，将绝对值的数列求和转化为等差数列的前项和公式求解 【详解】（1），，， ，； （2），， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； （3）当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $