第10讲 位置与函数（讲义）【2大考点12大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第10讲 位置与函数【2大考点12大题型】 考点一 位置的确定 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 （0，y） 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+） 第二象限 （–，+） 第三象限 （–，–） 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 【题型1 平面坐标系中点的坐标特征】 【例1】（2024·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·四川攀枝花·中考真题）若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ． 【题型2 坐标确定位置】 【例2】（2024·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·浙江台州·中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·山东滨州·中考真题）如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 【变式2-3】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A．m＋2n=1 B．m-2n=1 C．2n-m=1 D．n-2m=1 【题型3 坐标与图形性质】 【例3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【变式3-1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【题型4 两点间的距离公式】 【例4】（2024·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·上海杨浦·中考真题）在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 【变式4-2】（2024·福建宁德·中考真题）已知二元一次方程组的解是，则点到直线的距离的最大值是 ． 【变式4-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． 【题型5 平面直角坐标系中的规律探究】 【例5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式5-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【变式5-2】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 【题型6 常量与变量】 【例6】（2024·河南驻马店·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式6-1】（2024·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 【变式6-2】（2024·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【变式6-3】（2024·河南郑州·二模）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 ． 【题型7 函数的概念与函数关系式】 【例7】（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·广西南宁·中考真题）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A．B． C． D． 【变式7-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程之间的观测数据 （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？ （3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议． 【变式7-3】（2024·浙江杭州·二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称 函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型8 求函数自变量的取值范围或函数值】 【例8】（2024·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 【变式8-1】（2024·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式8-2】（2024·重庆·中考真题）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（　　）    A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7 【变式8-3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【题型9 动态的函数图象】 【例9】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·广东深圳·模拟测试）一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·山西临汾·模拟测试）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【变式9-3】（2024·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【题型10 函数的表示方法】 【例10】（2024·重庆·一模）荡秋千时，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．变量h不是关于t的函数 B．当时，秋千距离地面0.5m C．h随着t的增大而减小 D．秋千静止时离地面的高度是1m 【变式10-1】（2024·四川甘孜·中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则x和y满足的关系式为 ． 【变式10-2】（2024·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【变式10-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 分段函数】 【例11】（2024·湖南郴州·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．    (1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【变式11-1】（2024·江苏无锡·三模）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)： 乘车距离x x≤6 6＜x≤12 12＜x≤22 22＜x≤32 x＞32 票价（元） 3 4 5 6 每增加1元可乘20公里 另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是 元． 【变式11-2】（2024·上海浦东新·二模）自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ． 【变式11-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 选择更优惠的快递公司 素材1 甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2 快递代办点所寄物品的快递费用元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：， 其中，的函数图像如图所示． 问题解决 任务1 建立模型 求与之间的函数关系式． 任务2 绘制图像 在图中画出的函数图像． 任务3 解决问题 根据图像推断哪个快递代办点更优惠． 【题型12 动点问题的函数图象】 【例12】（2024·山东烟台·中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      【变式12-1】（2024·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ． 【变式12-2】（2024·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2024·湖南郴州·中考真题）如图1，在中，，，．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）． (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据： 变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2． 根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，________；当时，________． ②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来． ③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”） A．变量h是以a为自变量的函数     B．变量a是以h为自变量的函数 (2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s． ①分别求出当和时，s关于a的函数表达式； ②当时，求a的值． 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江台州·中考真题）如果点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标： ． 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ． 3．（2024·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 【新考向：新趋势】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）如果点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标： ． 2．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 3.（2024·浙江台州·中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示 （1）根据图2填表： x（min） 0 3 6 8 12 … y（m） … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．    【新考向：新情境】 1.（2024·广西钦州·中考真题）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·甘肃·中考真题）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【新考向：跨学科】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 2．（2024·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江西鹰潭·一模）我们知道，电压电阻电流，已知电源的电压为伏，在畅通的电路上有一用电器，其电阻为欧，电流为安，选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（  ） A．   B．   C．  D．   4．（2024·广东广州·二模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 ． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1） ； （2）与的函数关系式为： ； （3）当为 时，． 1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 4．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 8．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    9．（2024·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．    10．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 11．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 12．（2024·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    13．（2024·广西贵港·中考真题）在平面直角坐标系中，顺次连接A（-2，0）、B（4，0）、C（-2，-3）各点，试求： （1）A、B两点之间的距离． （2）点C到x轴的距离． （3）△ABC的面积． 14．（2024·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)． (1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形； (2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形； (3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可） 15．（2024·四川雅安·中考真题）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 16．（2024·北京·中考真题）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． 17．（2024·福建龙岩·中考真题）周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函数图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段CD所表示的函数关系式； (3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，    18．（2024·湖北省直辖县级单位·中考真题）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张勤家的距离分别为．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： (1)李老师步行的速度为　 　； (2)求与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象； (3)张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？ 19．（2024·江苏镇江·中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．    (1)分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． (2)求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） (3)将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 位置与函数【2大考点12大题型】 考点一 位置的确定 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 （0，y） 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+） 第二象限 （–，+） 第三象限 （–，–） 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 【题型1 平面坐标系中点的坐标特征】 【例1】（2024·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可． 【详解】解：设点坐标为， ∵点在第二象限内， ∴，， ∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， ∴，， ∴，， 即点坐标为， 故选：D 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【变式1-1】（2024·四川攀枝花·中考真题）若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据点在第一象限，得到，，即可得到点所在的象限． 【详解】解：点在第一象限内， ，， ， 点所在的象限是：第二象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键． 【变式1-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 【变式1-3】（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标． 【详解】∵轴 ∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9 ∴ 解得：y=8或y=－10 ∴点B的坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况． 【题型2 坐标确定位置】 【例2】（2024·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可． 【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合， ∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， 故坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键． 【变式2-1】（2024·浙江台州·中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案． 【详解】解：“车”所在位置的坐标为， 确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1， “炮”所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点． 【变式2-2】（2024·山东滨州·中考真题）如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 【答案】C 【详解】∵点A坐标为（0，a）， ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上， ∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m）， ∴点C、D关于y轴对称， ∵正五边形ABCDE是轴对称图形， ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， ∴点B、E也关于y轴对称， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点E的坐标为（3，2）， 故选C.. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴． 【变式2-3】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A．m＋2n=1 B．m-2n=1 C．2n-m=1 D．n-2m=1 【答案】B 【详解】解：如图， 根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线， ∴CD=CE， ∵点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限， ∴CD=2n， CE= m-1． ∴m-1=2n，即m-2n=1 ． 故选B． 【题型3 坐标与图形性质】 【例3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 【变式3-1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 【变式3-2】（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 【变式3-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型4 两点间的距离公式】 【例4】（2024·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：A.到原点的距离为，不符合题意； B.到原点的距离为，不符合题意； C.到原点的距离为，符合题意； D.到原点的距离为，不符合题意； 故选：C 【变式4-1】（2024·上海杨浦·中考真题）在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求两点间的距离，作轴，轴，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图作轴，轴，则：， ∵、， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-2】（2024·福建宁德·中考真题）已知二元一次方程组的解是，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】由已知条件得到过点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，根据两点间距离公式计算，即可求解， 本题考查了两直线交点与二元一次方程组的解，两点间距离公式，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想，找到点到直线距离最大值时的情况． 【详解】解：∵的解是， ∴过点， 设，， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离为：， 故答案为： ． 【变式4-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，可得，则此时为最小，最小值为的长．根据两点间的距离公式即可求出的长． 【详解】解：作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C， 由轴对称可得， ∴， 则此时为最小， 即当汽车行驶到点C的位置时，距离两村的和最短，最短距离为的长． ∵，， ∴， ∴汽车到两村距离的和最短为． 故答案为： 【题型5 平面直角坐标系中的规律探究】 【例5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 【变式5-2】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 【题型6 常量与变量】 【例6】（2024·河南驻马店·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，判断①即可；根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，判断②即可；根据三角形的面积公式，判断③即可． 【详解】解：①车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，符合题意，选项正确； ②水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，符合题意，选项正确； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x， ， ，为反比例函数，不符合题意，选项错误， 变量y与变量x之间的函数关系可符合图象的是①②， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，正确理解函数图像表示的意义，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式6-1】（2024·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 【变式6-2】（2024·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 【变式6-3】（2024·河南郑州·二模）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 ． 【答案】冰的厚度 【分析】、根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度． 故答案为：冰的厚度． 【点睛】本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型7 函数的概念与函数关系式】 【例7】（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 【变式7-1】（2024·广西南宁·中考真题）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， 故D正确． 故选D． 【变式7-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程之间的观测数据 （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？ （3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议． 【答案】（1）是的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩． 【分析】（1）根据函数的概念进行解答； （2）通过识图读取相关信息； （3）根据图像信息进行解答． 【详解】解：（1）是的函数． 在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． （2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s． （3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩． 【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念，准确识图是解题关键． 【变式7-3】（2024·浙江杭州·二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称 函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用． 【详解】解：、令，则，即，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 、令，则，即，则，即函数和具有性质M，符合题意； 、令，则，整理得，，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 、令，则，整理得，，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 故选：． 【题型8 求函数自变量的取值范围或函数值】 【例8】（2024·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 【变式8-1】（2024·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量取值范围的问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：根据分式和二次根式有意义的条件可得， 解得：且， 故选：B． 【变式8-2】（2024·重庆·中考真题）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（　　）    A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7 【答案】C 【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案． 【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1， ∴当x=4时，y=2×4+b=-1， 解得：b=-9， 故选C． 【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法． 【变式8-3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【题型9 动态的函数图象】 【例9】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【变式9-1】（2024·广东深圳·模拟测试）一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用用图像表示变量间关系的方法解答即可． 【详解】解∶∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而变增大，且变化快慢相同， ∴应当用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选∶B． 【点睛】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键． 【变式9-2】（2024·山西临汾·模拟测试）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义； 根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误； 小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误； 故选：B． 【变式9-3】（2024·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可． 【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加； 火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变； 火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少； 符合上述分析过程的为：D． 故选：D． 【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化 【题型10 函数的表示方法】 【例10】（2024·重庆·一模）荡秋千时，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．变量h不是关于t的函数 B．当时，秋千距离地面0.5m C．h随着t的增大而减小 D．秋千静止时离地面的高度是1m 【答案】B 【分析】根据函数图象逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 变量h是关于t的函数，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，秋千距离地面0.5m，故该选项正确，符合题意； C. 根据图像，最高点随着t的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     D. 秋千静止时离地面的高度是0.5m，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，从图象获取信息是解题的关键． 【变式10-1】（2024·四川甘孜·中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则x和y满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可． 【详解】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋， ∴袋中共有（x+y）个棋， ∵黑棋的概率是 ， ∴可得关系式， ∴x和y满足的关系式为y． 故答案为：y． 【点睛】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 【变式10-2】（2024·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【答案】212 【分析】根据路程÷时间=速度，求出在高速公路上行驶的速度，再根据路程=速度×时间求出子高速公路行驶的路程，再和其它两段路程相加即可求解． 【详解】解：在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米） 在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米） 所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）． 故答案为：212 【点睛】本题主要考查了根据题意求行程的问题，解题的关键是读懂题意，弄清速度，时间，路程三者之间的关系． 【变式10-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 【题型11 分段函数】 【例11】（2024·湖南郴州·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．    (1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或；③ 【分析】（1）根据题意直接运用表格数据进行描点连线即可； （2）①分别根据反比例函数的性质和图象进行解答即可；②由图象的性质可知当时，分别代入两段函数，求解即可；③根据题意利用图象的性质进行分析即可得出． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：①∵在上，y随x的增大而增大， ∴， ∵在上， ∴观察图象可得， 故答案为：； ②当时，， ∴（不符合）； 当时，， ∴或； ③由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键． 【变式11-1】（2024·江苏无锡·三模）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x(单位：公里)： 乘车距离x x≤6 6＜x≤12 12＜x≤22 22＜x≤32 x＞32 票价（元） 3 4 5 6 每增加1元可乘20公里 另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是 元． 【答案】4 【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可． 【详解】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第22次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，根据条件确定对应的分段函数关系，分别进行计算是解决本题的关键． 【变式11-2】（2024·上海浦东新·二模）自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查的是函数的性质，函数值的计算等，正确把握相关知识是解题的关键．分别根据和分别计算即可． 【详解】解：当时， ， 解得 当时， ， 解得，（舍去） 故答案为：5或 【变式11-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 选择更优惠的快递公司 素材1 甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2 快递代办点所寄物品的快递费用元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：， 其中，的函数图像如图所示． 问题解决 任务1 建立模型 求与之间的函数关系式． 任务2 绘制图像 在图中画出的函数图像． 任务3 解决问题 根据图像推断哪个快递代办点更优惠． 【答案】任务一： 任务二：的函数图像如图所示； 任务三：解决问题时，即甲优惠；时，两家一样；时，即乙优惠． 【分析】先根据题意列出与之间的函数关系式，再作出的函数图像，最后根据图像即可推断出哪个快递代办点更优惠． 本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．能够根据题意列出与之间的函数关系式并能够根据图像获取相关信息是解题的关键． 【详解】解：任务一：建立模型 由题意得，当时，； 当时，． ∴． 任务二：绘制图像 的函数图像如图所示； 任务三：解决问题 由图知：时，，即甲优惠； 时，，两家一样； 时，，即乙优惠． 【题型12 动点问题的函数图象】 【例12】（2024·山东烟台·中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      【答案】/ 【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，    ∴， 在中， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键． 【变式12-1】（2024·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0）， ∴x＝4时，y＝0， ∴BC＝4， 作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3， ∵3＝2FH， ∴FH＝， ∵∠ABC＝60°， ∴BF＝＝， ∵DEAB， ∴AB＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键． 【变式12-2】（2024·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，全等三角形的判定与性质，结合图形分析题意并解答是解题关键． 当点在上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可；当点在延长线上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，当点在上时，作于， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积为； 如图，当点在延长线上时，作于， 同理可证：，， ， 四边形的面积为； 故选：B． 【变式12-3】（2024·湖南郴州·中考真题）如图1，在中，，，．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）． (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据： 变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2． 根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，________；当时，________． ②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来． ③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”） A．变量h是以a为自变量的函数     B．变量a是以h为自变量的函数 (2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s． ①分别求出当和时，s关于a的函数表达式； ②当时，求a的值． 【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A (2)①当时，；当时，；②或 【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断； （2） ①如图，当时，，得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解； 【详解】（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时，1.5；当时，1或3． 故答案为：1.5；1或3； ②连线如图2-1、图2-2所示： ③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合， 故选：A. （2）①如图3，当时，， ∴阴影部分的面积：； 当时，， ∴阴影部分的面积：． ∴当时，；当时，． ②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）． 当时，令，解得或（不符合题意，含去）． ∴当时，或． 【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键． 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江台州·中考真题）如果点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标： ． 【答案】(0，0) (2，2)等（答案不唯一，没写括号的，写成方程解的形式的都不扣分） 【详解】分析：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，当x=2时，代入得到2+y=2y，求出y即可． 解答：解：∵点P（x，y）的坐标满足x+y=xy， 当x=2时，代入得：2+y=2y， ∴y=2， 故答案为（2，2）． 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ． 【答案】（2，-1）. 【详解】试题分析：如图，根据A（-2，1）和B（-2，-3）确定平面直角坐标系，然后根据点C在坐标系中的位置确定点C的坐标为（2，-1）. 考点：根据点的坐标确定平面直角坐标系. 3．（2024·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 【答案】B 【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 【详解】A、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则+x+1＝1， 整理得：x2+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1， 则﹣﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+2x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键． 【新考向：新趋势】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）如果点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标： ． 【答案】(0，0) (2，2)等（答案不唯一，没写括号的，写成方程解的形式的都不扣分） 【详解】分析：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，当x=2时，代入得到2+y=2y，求出y即可． 解答：解：∵点P（x，y）的坐标满足x+y=xy， 当x=2时，代入得：2+y=2y， ∴y=2， 故答案为（2，2）． 2．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 3.（2024·浙江台州·中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示 （1）根据图2填表： x（min） 0 3 6 8 12 … y（m） … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．    【答案】（1）5，70，5，54，5；（2）是；（3）65m． 【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可； （2）利用函数的定义直接判断即可． （3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径． 【详解】解：（1）填表如下： 0 3 6 8 12 5 70 5 54 5 （2）因为每给一个的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义， 所以是的函数； （3）最高点为70米，最低点为5米， 摩天轮的直径为65米． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 【新考向：新情境】 1.（2024·广西钦州·中考真题）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个． 故选：C． 2．（2024·甘肃·中考真题）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 【答案】 【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．      故答案为． 【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 【新考向：跨学科】 1．（2024·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 【答案】4 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 2．（2024·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 3．（2024·江西鹰潭·一模）我们知道，电压电阻电流，已知电源的电压为伏，在畅通的电路上有一用电器，其电阻为欧，电流为安，选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（  ） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】通过电压电阻电流，可以得出与是反比例关系，根据画函数图象中描点即可得出结果． 【详解】∵电压电阻电流， ∴，即， 故选：． 【点睛】此题考查了变量之间的函数关系，解题的关键理解反比例函数图象及注重培养抽象思维能力及应用． 4．（2024·广东广州·二模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F随动力臂L的变化的函数关系式为：， 则， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了列函数关系式，正确读懂题意得出关系式是解题的关键． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1） ； （2）与的函数关系式为： ； （3）当为 时，． 【答案】 8 【分析】（1）根据时，列出方程求解即可； （2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器，然后根据题意列出关系式即可； （3）根据列出方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得，时，， ∴，解得， （2）∵， ∴时，每分钟从乙容器注水到丙容器， ∴与的函数关系式为：； （3）∵ ∴，解得， ∴当为时，． 故答案为：（1）8；（2）；（3）． 【点睛】本题考查了函数关系式，一元一次方程，掌握注水量与注水时间之间的关系是解决问题的关键． 1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 5．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，    故选A． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标，纵坐标， 点在第四象限． 故答案为：四． 8．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    【答案】5 【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：（米/分）， 小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分）， 由图可知，会议开始时间为出发后（分）， ∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分）， 故答案为：5． 9．（2024·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．    【答案】50 【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可． 【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米， 当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， 故答案为：50． 【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键． 10．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 11．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 12．（2024·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    【答案】4 【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时， 则：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键． 13．（2024·广西贵港·中考真题）在平面直角坐标系中，顺次连接A（-2，0）、B（4，0）、C（-2，-3）各点，试求： （1）A、B两点之间的距离． （2）点C到x轴的距离． （3）△ABC的面积． 【答案】（1）6；（2）3；（3）9 【详解】解：如图所示： （1）A 、B两点之间的距离为：∣-2-4∣=6 ； （2）点C到x轴的距离为：∣AC∣=∣-3∣=3 ； （3）S△ABC=︱AB︱·∣AC∣=×6×3=9. 14．（2024·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)． (1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形； (2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形； (3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图1是W，图2是X 【分析】（1）根据要求直接平移即可； （2）在第四象限画出关于x轴对称的图形； （3）观察图形可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得，，， （2）解：如图所示， （3）解：图1是W，图2是X． 【点睛】本题考查了对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． 15．（2024·四川雅安·中考真题）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜， (2) (3) 【分析】（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系； （3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于元，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜， （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 答：m与n的函数关系为：， （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 16．（2024·北京·中考真题）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． 【答案】（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98 【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出； （2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可， （3）根据图形观察结合表中数据即可得出 【详解】（1）AD， PC，PD； （2）如图所示， （3）2.29或3.98 【点睛】本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键 17．（2024·福建龙岩·中考真题）周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函数图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段CD所表示的函数关系式； (3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，    【答案】（1）30，56 （2）线段CD的表达式： （3）不能．小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+2÷4×2=4.2（小时），从8:00经过4.2小时已经过了12:00， ∴不能再12:00前回家，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米） 【详解】（1）由点（1，30）得小明去基地乘车的平均速度， 由28÷(2÷4)=56得到爸爸开车的平均速度千米/小时． （2）由题意C（3.7，28），D（4.2，0），待定系数法得线段CD的表达式． （3）计算全程的时间为4.2小时，从8:00经过4.2小时已经过了12:00，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米） 所以不能． 18．（2024·湖北省直辖县级单位·中考真题）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张勤家的距离分别为．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： (1)李老师步行的速度为　 　； (2)求与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象； (3)张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？ 【答案】(1)50米/分 (2)；图象见解析 (3)秒 【分析】本题主要考查了函数图象，一次函数的实际应用： （1）根据速度=路程÷时间，再结合图形，即可求出李老师步行的速度； （2）根据题意分四种情况进行讨论，即可得出与t之间的函数关系式； （3）由得，列出方程，然后求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：李老师步行的速度为米/分； 故答案为：50米/分； （2）解：根据题意得： 张勤从家骑车到药店所用时间为分， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴与t之间的函数关系式为 ． 图象如图： （3）解：∵图中可见，李老师从家中出发步行前往张勤家家访经过， 设， ∴，解得：． ∴． ∵图中可见，张勤与李老师相遇的时间在， ∴此时， ∴，解得． ∴张勤出发11.2秒在途中与李老师相遇． 19．（2024·江苏镇江·中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．    (1)分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． (2)求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） (3)将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据直线与y轴交于E，得到，根据点C与点B关于原点对称，求得，得到，设直线的解析式为，将，代入得解方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据n与m的关系式为，得到在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，解方程得到，根据线段与点B所在的函数图象有公共点，列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）由直线与y轴交于E，得， ∵点C与点B关于原点对称，， ∴， 由直线与y轴交于点F，得，即， 综上所述，， 设直线对应的一次函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴， 同理； 由点F在点E上边知: ，且， ∴，即；    （2）由题意得，， 整理得，； （3）∵n与m的关系式为， ∴在函数的图象上， 由旋转得，， 当在点B所在的函数图象上时，， 解得， ∵线段与点B所在的函数图象有公共点， ∴或， 由旋转得，且； ∵或． ∵， ∴或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求得n与m的关系式是解题的关键． 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