6.3-6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

6.3-6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索 课程标准 学习目标 ①三元一次方程组及其解法 ②实践与探索 1. 掌握三元一次方程组及其解法； 2. 能够分辨二元一次方程组的应用中的类型并寻求解决方法． 知识点01 三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程组的概念 三元一次方程组是指一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有三个方程。这样的方程组可以表示为ax+by+cz=d（a、b、c为未知数的系数，x、y、z为未知数，d为常数）。 2.三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的主要方法是消元法，包括加减消元法和代入消元法。 1.加减消元法： 通过加减两个方程，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。然后解这个二元一次方程组，得到两个未知数的值。最后，将这两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出第三个未知数的值。 2.代入消元法： 如果方程组中一个方程较容易解出一个未知数的值，可以先解出这个未知数。然后，将这个未知数的值代入其他方程，得到一个二元一次方程组或一元一次方程。解这个方程或方程组，得到其他未知数的值。 知识点02 实践与探索 二元一次方程组在解决实际问题中有着广泛的应用，如购物问题、路线规划、工程问题、利润问题等。在解决这些问题时，需要先设定变量，然后根据实际情况列出方程组，最后通过求解方程组得到问题的答案。 在学习二元一次方程组的过程中，应注重实践与探索。通过实际问题的解决，加深对二元一次方程组的理解和掌握；同时，也要勇于探索新的解题方法和思路，以提高自己的数学素养和解决问题的能力。 题型01 三元一次方程组的定义 【典例1】下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【答案】D 【解析】略 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：由三元一次方程组的定义得 是三元一次方程组， 故选：C． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式2】已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【变式3】若是一个三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：-1，0． 【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义． 【变式4】在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (1)=_______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，1，3，，0，分别代入等式，得到，解三元一次方程组即可； （2）根据（1）中求出的的值，代入计算即可． 【详解】（1）∵当，1，3时的值分别是，0，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型02 三元一次方程组的解法 【典例1】观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 【变式1】解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 【变式2】已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 【变式3】已知 ，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 【变式4】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案； （2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， 方程组的解为：； （2）解： 由，得：． 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是． 题型03 二元一次方程组的应用——配套问题 【典例1】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 【变式1】兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵“小兰去市场买了36米布” ∴ ∵“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物” ∴福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍 ∴ 故： 故选：C 【点睛】本题考查配套问题．注意1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物＝福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍． 【变式2】中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可. 【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶， 根据题意得：， 解得：， 故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶． 故答案为：6． 【变式3】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得 ． 【答案】 【分析】根据某车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽，列二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 【变式4】某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【答案】应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，根据题意抽象出两个二元一次方程，再求解是解题关键．设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件， 由题意，得：， 解得：． 答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 题型04 二元一次方程组的应用——几何问题 【典例1】用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键． 假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积． 【详解】设小长方形的长、宽分别为a，b． 由题意可列方程组：， 解得：， ∴每块小长方形地砖的面积为． 故选：C． 【变式1】在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：. 故选：A． 【变式2】利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意正确列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长比宽多， 根据题意得：， 解得： 故答案为： ． 【变式3】如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的边长为9，小正方形的边长为3，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可． 【详解】解：∵大正方形边长为9，小正方形边长为3， ∴根据图示和题意得：， 解得：． 故答案为：6． 【变式4】将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 题型05 二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题 【典例1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，书中记载：“今有鸡兔同笼，上有头，下有足．问：鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有个头，从下面数有只脚，问笼子里有鸡和兔各几只？设有只鸡，有只兔，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的运用，根据题意，找到等量关系，列出方程，即可． 【详解】解：设只鸡，有只兔， ∵共有个头， ∴； ∵每只鸡有条腿，每只兔子有条腿， ∴； ∴， 故选：A． 【变式1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”在这个问题中，如果设鸡有x只，兔有y只，可列二元一次方程组得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即可． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意，得： ； 故选A． 【变式2】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“一共有35个头，94条腿”列方程组即可． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 【变式3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”设有只鸡，只兔，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 【变式4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【答案】笼中有12只鸡，13只兔 【分析】根据“上有二十五头，下有七十六足”，得出关于，的二元一次方程组，解之即得． 【详解】设笼中有只鸡，只兔． 由题意得： 解得： 答：笼中有12只鸡，13只兔． 【点睛】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键． 题型06 二元一次方程组的应用——门票问题 【典例1】2022年卡塔尔世界杯比赛门票按价格分为三个档次，其中小组赛第三档次门票每张元，淘汰赛（八分之一决赛）第三档次门票每张元．某球迷共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】设成人票是元张，学生票是元张，根据“李凯同学一家个成人和个学生去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家个成人和个学生去了该景区，门票共花费元”列出方程组，求得的值即可． 【详解】解：设成人票是元张，学生票是元张， 依题意得： ， ②①得：． 即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费元． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为,另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可． 【变式2】2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行．球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21200元，其中小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】利用总价=单价×数量，结合预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张且共花费21200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张， ∴； ∵预定门票共花费21200元，且小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元， ∴． ∴根据题意可列方程组 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式3】某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为 ． 【答案】15 【分析】根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人， ∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人）， ∴两个部门的人数之和为105（人）， ∵1245不能被11和13整除， ∴1≤x≤50，51≤y≤100， 依题意，得：， 解得：， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力，结合门票和人数之间的关系，建立方程是解题的关键． 【变式4】某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【答案】(1)七年级1班人数为49人，则2班人数为53人，联合购票，节省604元 (2)八年级报名人数为人，九年级报名人数为人 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，根据售票方式，列出方程，进行求解即可； （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，根据两种不同的购票方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人； 联合购票，节省：（元） 答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元． （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人， 若，则：，解得：，不合题意，舍去； ∴， ∴，解得：， 答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人． 题型07 二元一次方程组的应用——计费问题 【典例1】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 【答案】D 【分析】设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解 【详解】解：设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，依题可得： , , , , 故答案为D. 【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键. 【变式1】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元每公里 0.45元每分钟 0.4元每公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． 小明和小亮在17:00-18:30之间各自乘坐滴滴快车回家，行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，问这两辆滴滴快车的行车时间相差（    ）分钟． A．14 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据表中数据，设小明和小亮乘车的时间分别为分钟和分钟，根据行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，由此建立关于，的二元一次方程，然后求出的值． 【详解】解：设小明和小亮乘车的时间分别为分钟和分钟，得： ， 整理，得：， ． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式2】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 【答案】19 【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差． 【详解】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得： 1.8×6＋0.3x＝1.8×8.5＋0.3y＋0.8（8.5－7）， 10.8＋0.3x＝16.5＋0.3y， 0.3（x－y）＝5.7， x－y＝19． 故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟． 故答案为19． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 【变式3】某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 10 北京 3 23 则 ， ． 【答案】 8 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，根据寄往上海和北京的快递的质量及所需费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：8，2． 【变式4】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)小王家这个月用水39吨 (3)小王家11月份用水11吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得(舍去) ． 答：小王家11月份用水11吨． 1．下列不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 2．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 3．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重，两袋的质量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计）．问黄金，白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，由题意知：因为每枚黄金重x两，每枚白银重y两，甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，所以；两袋互相交换1枚后，甲袋中黄金是8枚，白银是1枚，重两，乙袋中黄金1枚，白银10枚，重两；又因为两袋互相交换后，甲袋比乙袋轻了13两，所以．即可得解 【详解】解：根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，可得方程； 根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋重忽略不计），可得方程． 综上所述，可以列出方程组：． 故选：B． 5．如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 6．已知与的和还是单项式，则a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 5 6 【解析】略 7．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．设一个大桶可以盛酒x斛，一个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 8．[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ． 【详解】解：设丙的钱数为z， 根据丙语得：整理得， 根据甲语得：整理得， 根据乙语得：整理得， 故答案为：或或． 9．甲、乙两人在的环形跑道上同一起点同时背向起跑，后相遇．若甲先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲．设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“同一起点同时背向起跑，后相遇”得，根据“先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲”得，得出方程组即可． 【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意，得 ． 故答案为：． 10．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需， ∴乙地到甲地需， ∵下坡有，下坡每小时走， ∴下坡时间为， ∵平路有，平路每小时走， ∴平坡时间为， ∴列方程为：， 故答案为：； 11．解下列方程组（或不等式）： （1）     （2） （3） （4） 【答案】①      ②    ③     ④ 【分析】直接利用加减消元法解二元一次方程组即可； 先将方程整理成一般形式，再利用加减消元法解方程组即可； 先将三元方程组化为二元方程组解出x，z的值再代入方程求出y的值； 先将方程整理成一般形式，再利用加减消元法解方程组即可. 【详解】（1） 解：将①式乘以3加上②式乘以5，得34x=68，得x=2， 将x=2代入①式，得6+5y=11， 得y=1， ∴ （2） 解：先将二元一次方程组整理成一般式形式得， 将①式加上②式，得4y=28，解得y=7， 将y=7代入①式，得3x-7=8，得x=5， ∴ （3） 解：将①式加上②式，得，，④ 将 ②减去③式，得，，⑤ 将④式乘以2减去⑤式，得9x=27，x=3 将x=3代入④式，得15-2z=14，解得z=0.5 将x=3，z=0.5代入①式，得9-y+0.5=3，解得y=6.5， ∴ （4） 解：将二元一次方程组整理成一般式，得， 将①式减去②式，得4y=0，解得y=0， 将y=0代入①式，得5x=15.解得x=3， ∴ 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解三元一次方程组，加减消元法是解题的关键. 12．小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 13．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 14．2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 【答案】(1)八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人 (2)两班联合起来购票能省447元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人，根据八年级（1）（2）两个班共101人；一共应付1659元，列二元一次方程组即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人， 根据题意得， 解这个方程得， 答：八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人； （2）解：（元） 答：两班联合起来购票能省447元钱． 15．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 【答案】(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)3 (3)C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误； ②由第一次记录，列出方程组，可求解； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解； （3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】（1）解：①第二次记录错误， 理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， 而，，1422不能被5整除， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数， ∴的值可能是2015． 故选：C． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3-6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索 课程标准 学习目标 ①三元一次方程组及其解法 ②实践与探索 1. 掌握三元一次方程组及其解法； 2. 能够分辨二元一次方程组的应用中的类型并寻求解决方法． 知识点01 三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程组的概念 三元一次方程组是指一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有三个方程。这样的方程组可以表示为ax+by+cz=d（a、b、c为未知数的系数，x、y、z为未知数，d为常数）。 2.三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的主要方法是消元法，包括加减消元法和代入消元法。 1.加减消元法： 通过加减两个方程，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。然后解这个二元一次方程组，得到两个未知数的值。最后，将这两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出第三个未知数的值。 2.代入消元法： 如果方程组中一个方程较容易解出一个未知数的值，可以先解出这个未知数。然后，将这个未知数的值代入其他方程，得到一个二元一次方程组或一元一次方程。解这个方程或方程组，得到其他未知数的值。 知识点02 实践与探索 二元一次方程组在解决实际问题中有着广泛的应用，如购物问题、路线规划、工程问题、利润问题等。在解决这些问题时，需要先设定变量，然后根据实际情况列出方程组，最后通过求解方程组得到问题的答案。 在学习二元一次方程组的过程中，应注重实践与探索。通过实际问题的解决，加深对二元一次方程组的理解和掌握；同时，也要勇于探索新的解题方法和思路，以提高自己的数学素养和解决问题的能力。 题型01 三元一次方程组的定义 【典例1】下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【变式3】若是一个三元一次方程，那么 ， ． 【变式4】在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (1)=_______； (2)求的值． 题型02 三元一次方程组的解法 【典例1】观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【变式1】解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【变式2】已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【变式3】已知 ，则的值是 ． 【变式4】解方程组： (1) (2) 题型03 二元一次方程组的应用——配套问题 【典例1】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶． 【变式3】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得 ． 【变式4】某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 题型04 二元一次方程组的应用——几何问题 【典例1】用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 【变式1】在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 【变式3】如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为 ． 【变式4】将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 题型05 二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题 【典例1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，书中记载：“今有鸡兔同笼，上有头，下有足．问：鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有个头，从下面数有只脚，问笼子里有鸡和兔各几只？设有只鸡，有只兔，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”在这个问题中，如果设鸡有x只，兔有y只，可列二元一次方程组得（    ） A． B． C． D． 【变式2】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为 ． 【变式3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”设有只鸡，只兔，根据题意，可列方程组为 ． 【变式4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 题型06 二元一次方程组的应用——门票问题 【典例1】2022年卡塔尔世界杯比赛门票按价格分为三个档次，其中小组赛第三档次门票每张元，淘汰赛（八分之一决赛）第三档次门票每张元．某球迷共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行．球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21200元，其中小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意可列方程组为 ． 【变式3】某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为 ． 【变式4】某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 题型07 二元一次方程组的应用——计费问题 【典例1】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 【变式1】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元每公里 0.45元每分钟 0.4元每公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． 小明和小亮在17:00-18:30之间各自乘坐滴滴快车回家，行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，问这两辆滴滴快车的行车时间相差（    ）分钟． A．14 B．20 C．24 D．30 【变式2】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 【变式3】某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 10 北京 3 23 则 ， ． 【变式4】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 1．下列不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重，两袋的质量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计）．问黄金，白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知与的和还是单项式，则a＝ ，b＝ ，c＝ ． 7．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．设一个大桶可以盛酒x斛，一个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组 8．[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 9．甲、乙两人在的环形跑道上同一起点同时背向起跑，后相遇．若甲先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲．设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意列方程组为 ． 10．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 11．解下列方程组（或不等式）： （1）     （2） （3） （4） 12．小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 13．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 14．2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 15．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$