精品解析：山东省聊城市茌平区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024---2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，结合图形，找出对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2. 根据下列条件作出的三角形不唯一是（ ） A. AB=6，∠A=60°，∠C=40° B. AB=5，BC=4，CA=6 C. AB=5，AC=4，∠C=40° D. ∠A=50°，AB=8，AC=6 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：C.∠C并不是AB，AC的夹角，所以可画出多个三角形，故此选项错误； 故选C. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义、分式的性质，根据最简分式是分式的分子和分母没有公因式的分式逐项判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式符合题意． 故选：D． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的性质．直接利用关于轴对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D 6. 下列说法，正确的是（   ）． A. 若分式的值为零，则的值为； B. 根据分式的基本性质，可以变形为； C. 分式中，都扩大到原来的倍，分式的值不变； D. 若，那么 ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零，分式的性质和加减运算，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的值为零得到，分子为零，分母不能为零判定A选项；根据分式的性质判定B，C，D选项；即可求解． 【详解】解：A、若分式的值为零，则， 解得，， ∴的值为，故原选项错误，不符题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，当时，原选项错误，不符合题意； C、分式中，都扩大到原来的倍， ∴，即分式的值扩大了3倍，故原选项错误，不符合题意； D、若， ∴ ∴，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 7. 若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. －1 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先令分母为零求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案． 【详解】解： 分式方程无解 解得 原方程化为： 把 代入得 解得 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键． 8. 衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数改良后种植的亩数亩，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克， 根据题意列方程为：． 故选． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9. 如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下四个结论：①；② ；③；④平分，其中正确的结论的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，即可判断②；根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④； 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 分式与的最简公分母是________________ 【答案】 【解析】 【详解】分式与 的最简公分母是6xy2(x-y)， 故答案为6xy2(x-y). 【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法． 12. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 13. 如图，点P是的内角与它的外角的角平分线的交点，已知点P到的距离为5，求点P到直线的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质，P点在的角平分线上，则点P到直线的距离等于点P到直线的距离；同理，点P到直线的距离等于点P到直线的距离，进而可得点P到直线的距离． 【详解】解：∵P点在的角平分线上， ∴点P到直线的距离点P到直线的距离， ∵P点在的角平分线上， ∴点P到直线的距离点P到直线的距离， ∴点P到直线的距离为5． 故答案为：5． 14. 已知，，且．则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值，首先利用，设，，，进而代入求出即可． 【详解】解：∵，且， ∴设，，， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 【答案】##32度 【解析】 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 16. 观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________． 【答案】n+3或n+4 【解析】 【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解. 【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解： ①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x， 移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2； ②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3； ③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4； 以此类推，第n个方程为：x+= x+， 且解为：x =n或x =n+1； 将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1， 根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4. 故答案为：n+3或n+4. 【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键. 三、简答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法． （1）方程两边同乘以化为整式方程求解； （2）方程两边同乘以化为整式方程求解． 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 将分解因式，原方程化为，， 方程两边都乘，得， 整理，得， 解得， 检验，当时，， 故是增根，原分式方程无解． 18. 先化简分式：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先根据分式混合运算法则进行化简，然后取时分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， 由题意：、、、， ∴、、、， 故x取2， 当时， 原式． 19. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴. 在和中， ， ∴. 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，利用线段求和证明，再由已知，，根据即可得到结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求，，，． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形． （1）先在平面直角坐标系中描出点、、关于轴的对称点，，，再依次连接即可由图即可得，，的坐标； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形得面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 21. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 22. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】（1）（或） （2）燃油车每千米行驶费用为元，纯电动汽车每千米行驶费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是解题的关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意，列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． 【小问2详解】 解：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 23. 观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． （1）若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； （2）解分式方程：； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1） 解：， 验证：右边 左边， 猜想成立； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算． （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 原方程的根为； 【小问3详解】 解： ． 24. 【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024---2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（   ）． A. B. C. D. 2. 根据下列条件作出的三角形不唯一是（ ） A. AB=6，∠A=60°，∠C=40° B. AB=5，BC=4，CA=6 C. AB=5，AC=4，∠C=40° D. ∠A=50°，AB=8，AC=6 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 5. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 6. 下列说法，正确的是（   ）． A. 若分式的值为零，则的值为； B. 根据分式的基本性质，可以变形为； C. 分式中，都扩大到原来的倍，分式的值不变； D. 若，那么 ． 7. 若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. －1 C. 1 D. 8. 衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A. B. C. D. 9. 如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下四个结论：①；② ；③；④平分，其中正确的结论的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 分式与的最简公分母是________________ 12. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 13. 如图，点P是的内角与它的外角的角平分线的交点，已知点P到的距离为5，求点P到直线的距离为______． 14. 已知，，且．则______． 15. 如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 16. 观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________． 三、简答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 先化简分式：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 19. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 21. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 22. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 23. 观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． （1）若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； （2）解分式方程：； （3）利用上述规律计算：． 24. 【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $