精品解析：北京市十一学校2023-2024学年高三上学期开学数学试卷

北京市十一学校2023-2024学年高三上学期开学 数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，是实数集，表示空集，则（ ）· A. B. C D. 2. 设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 3 （ ） A. B. C. D. 2 4. 已知α为第二象限角，，则cos2α=（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则 A. B. C. 或 D. 6. 已知通数中，则对下列结论判断正确的为（ ） ①； ②直线是图象的一条对称轴； ③在上单调递减； ④点是图象的一个对称中心； ⑤向左平移个单位得到的函数为偶函数． A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 7. 若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 9. 已知函数图象关于原点对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 10. 设函数、满足下列条件： （1）对任意实数、都有； （2），，． 下列四个命题：①；②； ③；④当，时，的最大值为． 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸中相应题号横线上． 11. 已知,则________. 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为__________． 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向__________平移__________个单位． 14. 已知函数，若在上恰有两个零点，则不可能取以下各值的序号为__________．①；②1；③；④2；⑤3 15. 已知函数，若成立，则的最小值为__________． 16. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______． 三、解答题：本大题共5个小题，共0分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置． 17. 如图，已知四点共面，且，. （1）求； （2）求． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求值域； （3）在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 19. ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上为单调递减，求的取值范围． （3）设，求证：． 20. 已知函数． （1）若，求函数单调区间； （2）若，且在区间上恒成立，求a的取值范围； （3）若，判断函数的零点的个数． 21. 已知集合．，，其中．定义，若，则称与正交． （1）若，写出中与正交的所有元素； （2）令，若，证明：偶数； （3）若，且中任意两个元素均正交，当时，中最多可以有多少个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2023-2024学年高三上学期开学 数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，是实数集，表示空集，则（ ）· A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合和，利用交集和补集定义求解. 【详解】集合，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，所以，故C正确； ，所以，故D错误. 故选：C. 2. 设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的单调性，利用中间量法即可得出答案. 【详解】解： ， ， ， 则的大小关系是. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为，然后利用三角函数的两角和公式展开进行化简计算. 【详解】根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简, 将代入原式可得： . 因，，所以. 则原式变为. 故选：C. 4. 已知α为第二象限角，，则cos2α=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ，故选A. 5. 已知，则 A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以，所以，故选B. 考点：1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系. 6. 已知通数中，则对下列结论判断正确的为（ ） ①； ②直线是图象的一条对称轴； ③在上单调递减； ④点是图象的一个对称中心； ⑤向左平移个单位得到的函数为偶函数． A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】需要对函数的周期性，对称性和单调性，图像变换性质逐个分析，通过计算和推理来判断各个结论的正确性. 【详解】判断①，对于,最小正周期为,则.①正确. 判断②，当时， ，此时函数不是取得最值，所以直线不是图象的一条对称轴，②错误. 判断③，令，解得. 当时，函数的单调递减区间是，所以在上单调递减，③正确. 判断④，对于正弦函数，其对称中心. 对于函数，令，. ，此时，所以点不是图象的一个对称中心，④错误. 、 判断⑤，向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到 . 因为，所以是偶函数，⑤正确. 故选：D. 7. 若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【详解】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 8. 中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】给定边、和角，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关系 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立. 判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，. 所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立. 则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用奇函数和偶函数的性质分别求出与的值，然后再代入到中进行计算. 【详解】已知函数的图象关于原点对称，所以是奇函数. 因为的定义域为，那么. 将代入可得：. 由，即，解得. 因为是偶函数，所以. ，. 则. 对进行变形：. 所以. 移项可得：，对于任意都成立，所以，解得. 将，代入.则. 根据对数运算法则，. 所以. 故的值为. 故选：A. 10. 设函数、满足下列条件： （1）对任意实数、都有； （2），，． 下列四个命题：①；②； ③；④当，时，的最大值为． 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别令、，可得出关于、的方程组，解之可判断①；令、，可得出的值，进而可求得的值，可判断②；令判断③；由③得，，可得出，，结合不等式的基本性质可判断④. 【详解】对于①，令得，所以，， 所以，， 令，得，所以，， 所以，，解得，故①正确； 对于②，令，，得，则， 令，得，所以，，故②错； 对于③，令，可得，故③对； 对于④，由③可知，，， 所以，， 当，时，． 故的最大值为，故④对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对、赋值，结合题中等式构建方程组求解. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸中相应题号横线上． 11. 已知,则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用以及诱导公式，直接求出sin与cos的关系，求出结果． 【详解】因为＋＝－，所以sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 故答案为-. 【点睛】本题是基础题，考查利用诱导进行化简求值，注意角的变换的技巧，是快速解答本题是关键，考查计算能力，转化思想． 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到方程，求出的可取值为. 【详解】由三角函数定义可知， 故， 显然满足要求， 当时，化简得，解得， 故的可取值为. 故答案为： 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向__________平移__________个单位． 【答案】 ①. 左 ②. ## 【解析】 【分析】直接利用函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换求解. 【详解】， 所以要得到该函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可. 故答案为：左；. 14. 已知函数，若在上恰有两个零点，则不可能取以下各值的序号为__________．①；②1；③；④2；⑤3 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】先对给定函数进行化简，再根据函数零点的条件，结合给定区间，分析出的取值范围，从而判断各个值是否满足条件. 【详解】对进行化简. 根据二倍角公式可得， . 所以. 进一步整理得. 再根据辅助角公式所以. 令，则，，解得，. 因为，当时，，要使在内，不成立，所以. 当时，；当时，. 因为在上恰有两个零点，所以. 解得. 判断各值是否满足条件， ，不满足. ②，不满足. ③，满足条件. ，满足条件 ⑤，不满足. 不可能取的值的序号为①②⑤ . 故答案为：①②⑤. 15. 已知函数，若成立，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先通过设，将，用表示出来，进而得到关于的函数表达式.然后对该函数求导，根据导数判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，也就是的最小值. 【详解】设，因为，. 对于，则（）. 对于，可得，那么. 构建关于的函数并求导 令（）. 对求导， . 设，，这说明在上单调递增. 又. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以在处取得最小值，. 故的最小值为. 故答案为：1. 16. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______． 【答案】440 【解析】 【分析】由题意求得数列的每一项，及前项和，及项数，由题意可知：为2的整数幂．只需将消去即可，分别分别即可求得的值. 【详解】解：由题意可知：第一项，第二项，第三项，，第项， 根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，， 总共的项数为， 所有项数的和为， 由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可， 则①，解得：，总共有，不满足， ②，解得：，总共有，不满足， ③，解得：，总共有，不满足， ④，解得：，总共有，满足， 该款软件的激活码440． 故答案为：440. 【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查计算能力及数据分析能力，属于难题. 三、解答题：本大题共5个小题，共0分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置． 17. 如图，已知四点共面，且，. （1）求； （2）求． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）计算，根据正弦定理计算得到答案. （2）根据余弦定理计算，，和差公式得到，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）在中，因为，所以． 由正弦定理知，所以． （2）在中，由余弦定理知， 故，解得或（舍）． 由已知得是锐角，又，所以． 所以 在中，由余弦定理知 ，解得． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求值域； （3）在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 【答案】（1）；． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递增区间； （2）利用函数的定义域求出函数的值域； （3）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【小问1详解】 函数； 故函数的最小正周期为； 令， 整理得：， 故函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由于，故，所以， 故，故函数． 【小问3详解】 由于，故，由于，故； 利用余弦定理：，故， 所以． 19. ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上为单调递减，求的取值范围． （3）设，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1），根据导数几何意义得，由点斜式得切线方程； （2）由在恒成立，即在恒成立，根据单调性求得的最大值，即可求的取值范围； （3）由（）知，在上单调递减，，∴，进而变形得到结果. 【小问1详解】 当时，，∴，，， 故曲线在点处的切线方程是：，即． 【小问2详解】 若在上单调递减，则，即在恒成立， 令 ， ∵，∴当时，有，故． 故的取值范围为 【小问3详解】 由（）知，当时，在上单调递减， ∵，∴，∴，∴， ∴，即． 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 恒成立就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立. 20. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若，且在区间上恒成立，求a的取值范围； （3）若，判断函数的零点的个数． 【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2） （3）有1个零点 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）求得的根，然后按照根与已知区间的关系分类讨论确定的正负得单调性，从而函数的最小值，由最小值大于0得参数； （3）求出，对再求导得出其最小值，由最小值大于0得，从而得的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数，为此计算时的函数值（小于0），，可得零点存在且唯一． 【小问1详解】 若，则， 由得，；由得，． 所以函数的单调增区间为；单调减区间为． 【小问2详解】 依题意，在区间上．． 令得，或． 若即，则由得，，递增；由得，，递减． 所以，满足条件； 若，则由得或，在时递增或时递增；由得，递减．， 依题意，即，所以． 若，则． 所以在区间上单调递增，，不满足条件； 综上，． 【小问3详解】 ． 所以．设，． 令得． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 因为，所以． 所以的最小值． 从而，在区间上单调递增． 又， 设． 则．令得．由，得； 由，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． 所以恒成立．所以． 所以． 又，所以当时，函数恰有1个零点． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数零点个数问题，主要是由导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数．难点是在确定零点存在时，零点两边函数值异号时点的取得． 21. 已知集合．，，其中．定义，若，则称与正交． （1）若，写出中与正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且中任意两个元素均正交，当时，中最多可以有多少个元素． 【答案】（1），，，，，． （2）证明见解析 （3）2个 【解析】 【分析】（1）利用子集定义直接写出答案；（2）根据题意分别表示出；（3）根据两个元素均正交的定义，分别求出，14时，中最多可以有多少个元素． 【小问1详解】 中所有与x正交的元素为，，，，，，． 【小问2详解】 证明：对于，存在，，使得． 令，当时，，当时，． 那么．所以为偶数． 【小问3详解】 8个，2个时，不妨设． 再考虑时，共有四种互相正交的情况，即 设这4种情况的排列为，则按的方式进行搭配， 即， ，可形成8种情况． 所以时，A中最多可以有8个元素． 时，不妨设（7个，7个1）， 则与正交． 假设且它们互相正交． 设相应位置数字都相同的共有个，除去这列外， 相应位置数字都相同的共有个， 相应位置数字都相同的共有个， 则， 所以，同理，可得． 由于，可得，矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，中最多可以有2个元素． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题关键是理解好正交的定义，为对应位置两数乘积之和，由于每个位置均为1或－1，对应位置相同时乘积为1，不相同时乘积为－1，故可以用按对应位置相同的个数表示出，解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $