河北省衡水市枣强县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年河北省衡水市枣强县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是(    ) A. B. C. D. 2.将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 3.下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是(    ) A. B. C. D. 1 4.如图，在中，D是AC上一点，下列给出的条件不能得出∽的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，BC是的切线，点C为切点，连接BO并延长交于点A，连接AC，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示.该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是(    ) A. 16小时、15小时 B. 8小时、9小时 C. 10小时、小时 D. 8小时、小时 7.如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为(    ) A. B. C. D. 8.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为则CD的长为 A. 18 B. 20 C. 22 D. 30 9.双眼皮由显性基因A控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为Aa和Aa，则小小颍是双眼皮的概率是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.二次函数为常数，的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则其中正确结论的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像点A、B的对应点分别是C、若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为(    ) A. B. C. 3cm D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______. 14.反比例函数的图象如图所示，若的面积是3，则k的值为______. 15.图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状碗体厚度不计，碗口宽，此时面汤最大深度当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为______. 16.如图所示，在扇形OAB中，，半径，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，，E为CD的中点，连接在CD滑动过程中长度始终保持不变，当EF取最小值时，BD的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题7分 已知反比例函数 如果这个函数的图象经过点，求k的值； 如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 18.本小题8分 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … 求这个二次函数表达式； 在平面直角坐标系中画出这个函数图象； 当x的取值范围为______时， 19.本小题8分 如图，在中，点D在边BC上，，BE平分，分别交AC、AD于点E、 求证：∽； 求证： 20.本小题8分 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： 本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； 扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数______； 学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 21.本小题9分 某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行. 如图2，当道闸打开至时，边CD上一点P到地面的距离PE为米，求点P到MN的距离PF的长. 一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米.当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由参考数据：，， 22.本小题9分 为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园.如图，墙，，篱笆长为28m，设CD的长为x m，生态园的一边由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CDB围成. 若生态园的面积为，求x的值； 为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出2m宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长CD；如果不能，请说明理由. 23.本小题11分 如图，以线段AB为直径作，交射线AC于点C，AD平分交于点D，过点D作直线于点E，交AB的延长线于点连接BD并延长交AC于点 求证：直线DE是的切线； 求证：； 若，，求BF的长． 24.本小题12分 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统.图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形.图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处. 素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3，调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上大理石厚度不计，达到给花坛喷灌的效果. 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式. 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距离. 任务3 拟定喷头升降方案 如图，为达到给花坛喷灌的效果，需调整喷水口A的高度h，使水柱落在花坛的上方DE边上，请直接写出h的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：领奖台的左视图如下： ， 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握视图特征是关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便． 根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为， 向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 得到的抛物线是 故选 3.【答案】B  【解析】解：四个图形中是中心对称图形的是第二个和第四个，共2个， 从中任取一个是中心对称图形的概率是 故选： 由中心对称图形的定义可知，四个图形中有2个是中心对称图形，利用概率公式可得答案． 本题考查概率公式、中心对称图形，熟练掌握概率公式、中心对称图形的定义是解答本题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，，不能得到∽，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到∽，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到∽，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到∽，故不符合题意； 故选： 依据相似三角形的判定定理：两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项分析即可． 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：是的切线，点C为切点，， 由圆周角定理得：， 是的切线， ， ， 故选： 由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 6.【答案】B  【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 故选： 根据众数、中位数的概念即可求出答案． 本题考查了中位数、众数的概念，本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 7.【答案】C  【解析】解：如图，设小正方形边长为1，， ， 故选： 利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：当时，， 解得：舍去，， 点D的坐标为， 从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， 故选： 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合即可求出落水点C，D之间的距离． 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标． 9.【答案】D  【解析】解：由题意，画出树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中小颍是双眼皮的结果3种； 故选： 画出树状图，求出概率即可． 本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：在正方形ABCD中，，， ，，， ， ， 故选： 根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 本题主要考查了扇形的面积计算方法，掌握其公式是解决此题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：由图象可知，，， 抛物线对称轴为， ， ，故①正确； 由图象可得当时， 又， ，故②正确； 抛物线的对称轴为直线，且， ，故③正确； 抛物线的对称轴为直线，， 方程的两根为，，，， ， ，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选： 依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；时，，又，从而可以判断②；由，，为对称轴，到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近，结合图象可以判断③；由图象可得为对称轴，，由于方程的两根为，，，，可得，故可以判断④． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12.【答案】B  【解析】解：依题意， ， ∽， ， ， ∽， ， 则①+②得， ， ， ，， ， 解得， 答：实像CD的高度为， 故选： 先证明∽得到，再证明∽得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.【答案】14  【解析】解：根据题意得，， 所以 故答案为： 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则， 14.【答案】  【解析】解：四边形OAPB是矩形， 由题意，的面积的二倍， ， 故答案为： 利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义，属于中考常考题型． 15.【答案】  【解析】解：以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， 由题意得：抛物线上点C的坐标为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，， 汤面的直径PQ长为， 故答案为： 以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点为原点设出抛物线解析式，易得抛物线上点Q的坐标，代入抛物线解析式可得a的值，进而可得抛物线的解析式，取，求得x的两个值，取较大的x的值减去较小的x的值，结果即为汤面的直径PQ长． 本题考查二次函数的应用．建立合适的平面直角坐标系并求出相应的抛物线解析式是解决本题的关键． 16.【答案】2  【解析】解：如图，连接OE，OF， ，， ， 为CD的中点， ， ， ， 当O，E，F共线时，EF的值最小，如图， ， ， 为等边三角形， ，则， 故答案为： 连接OF，OE，结合题意得，再求出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 本题考查弧长，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当O，E，F共线时，EF的值最小，此时 17.【答案】解：反比例函数图象经过点， ， 解得 在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ， 解得：  【解析】把点代入反比例函数解析式可得k的值； 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，解得即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， 二次函数的表达式为， 即； 如图，抛物线的顶点坐标为， 时，或， 当时， 故答案为： 设交点式为，然后把代入求出a即可； 利用描点法画二次函数图象； 先利用对称性确定函数值为所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象． 19.【答案】证明：，， ∽， ， ， 平分， ， ∽ ∽， ， ，， ∽， ，   【解析】由，，证明∽，得，由BE平分，得，则∽； 由∽，得，由，，证明∽，得，所以 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽、∽及∽是解题的关键． 20.【答案】解：， 补全条形统计图如下：  ； 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为  【解析】解：本次被调查的学生人数为名 选择“足球”的人数为名 补全条形统计图如下： 扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为  故答案为： 见答案． 用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可． 用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可． 画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】解：如图，过点D作，垂足为Q， 由题意可知，，米，米， 在中，，米， 米， 米， 即点P到MN的距离PF的长为2米； 当，米时， 则， 米， 米， 米， ， 能通过．  【解析】在中，由，，进而求出FP即可； 当，米时，求出PF，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 22.【答案】解：由题意可得，， ，， ， 即， 解得，， ， ， 由题意可得，， 由于篱笆长为28m， ， ， 解得， 当或11m时，生态园的面积能达到  【解析】根据题意得到，，再根据矩形的性质即可得到答案； 根据题意将此时的BD表示出来进行计算即可． 本题主要考查一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键． 23.【答案】证明：连接OD，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线DE是的切线． 证明：线段AB是的直径， ， ， ，， ， ， 解：，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ，   【解析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 连接OD，由证明，得，即可证明直线DE是的切线； 由线段AB是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则； 由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得 24.【答案】解：如图，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，把代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为 令，得， 解得：，， ， ， 故喷灌器OA与围墙的距离为 如图，由题意得：，， ，， 设，把代入得，， 解得：， ， 当时，， ， 设，把代入得，， 解得：， ， 当时，， ， 故  【解析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式； 令，求得方程的解，根据问题的实际意义作出取舍即可； 由题意可得：，，分别代入，求得k的最小值和最大值，再令，即可分别求得OA的最小值和最大值． 本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$