精品解析：重庆市巴南区2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试题

2024～2025学年上期阶段性检测 八年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中都扩大3倍，那么分式的值会（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 7. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 8. 重庆和宜昌之间的航线是三峡游轮的经典航线之一，已知重庆与宜昌之间航线约为630千米，一轮船往返于重庆和宜昌两码头之间，轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时（不计中途停靠时间），已知平均水流速度为6千米/小时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 按顺序排列的若干个数：，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2019新型冠状病毒（）是已知的第七种可以感染人的冠状病毒，其平均直径为100纳米（）也叫毫微米，是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数0.0000001为__________． 12. 分式的值为0．则x的值为_____． 13. 从n边形的一个顶点出发有四条对角线，则这个n边形的内角和为______度. 14. 若，则点关于x轴对称的点的坐标为__________． 15. 已知，，则的值为__________． 16. 如图，中，，，，垂足E在的延长线上．若，则的度数为__________． 17. 已知关于x的一元一次不等式组有解但至多有2个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的整数a的值之积为__________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为__________；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，点在线段上，，，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 21. 先化简，再求值． （1），，； （2）已知，求的值． 22. 如图，平面直角坐标系中每一个小正方形的边长都是，在平面直角坐标系中将经过一次轴对称变换后得到，图中标出了点的对应点． （1）作出与关于直线对称的对称轴； （2）在平面直角坐标系中画出变换后的，并写出点和的坐标； （3）坐标轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出两个符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 某工厂用A，B两种机器人搬运化工原料共，且A种机器人搬运的化工原料总量比B种机器人搬运的化工原料总量的2倍少． （1）A，B两种机器人各搬运化工原料多少千克？ （2）若A种机器人每小时搬运的化工原料是B种机器人的1.5倍，结果A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 24. 如图，在港口A的北偏东方向有一海岛B，西北方向有一海岛C，北偏西方向有一港口D，甲、乙两船同时从港口A出发，以30海里/小时的速度分别前往B，C两海岛，后两船同时到达，此时甲船上的观测人员在海岛B处测得港口D在海岛B的西北方向． （1）求海岛B与港口D之间的距离； （2）两船分别在B，C两海岛休整之后，又以相同速度同时出发前往港口D，则甲、乙两船谁先到达港口D？请说明理由． 25. 如图，已知和都是等边三角形，连接，交于点，与交于点． （1）试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； （2）若为的角平分线，，求的长． 26. 在等腰直角三角形中，，，点为边上的一点，连接，过点作，取，连接，，与交于点． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若点为直线上一点，过点作于点，连接，．当的值最小时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年上期阶段性检测 八年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关系． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 如果把分式中都扩大3倍，那么分式的值会（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：把分式中都扩大3倍， ∴， ∴分式的值会缩小3倍， 故选：C ． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握性质进行逐一判断． 根据三角形的高、中线、角平分线的特征可判断A；根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据等边三角形的性质可全等三角形的判定可判断D． 【详解】解：A、三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，三角形的高线不一定在三角形的内部，故本选项不合题意； B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意； C、等腰三角形是关于底边上的中线所在的直线成轴对称的图形，故本选项不合题意； D、等边三角形不一定是全等三角形，故本选项不合题意； 故选：B． 7. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 重庆和宜昌之间的航线是三峡游轮的经典航线之一，已知重庆与宜昌之间航线约为630千米，一轮船往返于重庆和宜昌两码头之间，轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时（不计中途停靠时间），已知平均水流速度为6千米/小时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．设船在静水中的速度为x千米/小时，先表示出顺流和逆流的速度，再由轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时（不计中途停靠时间）建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 9. 如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 10. 按顺序排列的若干个数：，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用题目中的计算方法由，可算出判定①；同理由，可得，由此判定②；运用题目中的计算方法得到，，，每3个一组循环，，，由此可得代数式的值为，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∴，故①正确； 已知， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∵， ∴，故②正确； 根据题意，，，， ∴每3个一组循环， ∵， ∴， ∴ ， 当时，，代数式的值为正； 当时，，代数式的值为负； ∴③错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2019新型冠状病毒（）是已知的第七种可以感染人的冠状病毒，其平均直径为100纳米（）也叫毫微米，是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数0.0000001为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法—表示绝对值较小的数，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分式的值为0．则x的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意可得|x|-5=0且x+5≠0， 解得x=5． 故答案是：5． 【点睛】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 13. 从n边形的一个顶点出发有四条对角线，则这个n边形的内角和为______度. 【答案】 【解析】 【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作4条对角线，则这个多边形的边数7，边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和. 【详解】由题意得： 所以这个n边形的内角和为度 故填：. 【点睛】本题主要考查多边形内角、多边形的对角线，熟练掌握计算公式是关键. 14. 若，则点关于x轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质以及轴对称与坐标，熟记“关于轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 根据几个非负数的和为，则这几个非负数都为即可求出、的值，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：， ，， ， 点的坐标为， 点关于x轴对称的点的坐标为． 15. 已知，，则的值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 运用完全平方公式展开得到，，即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，中，，，，垂足E在的延长线上．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识．延长与相交于点，证明，，得到，则，得到垂直平分，则，得到是等腰三角形，则，即可得到答案． 【详解】解：延长与相交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 故答案为： 17. 已知关于x的一元一次不等式组有解但至多有2个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的整数a的值之积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解关于x的不等式组，再根据不等式组有解但至多有2个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，求出满足条件的整数a的值，并求出它们的积即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 解关于x的一元一次不等式组有解但至多有2个整数解， ， 解得， 整理分式方程得，， 当时，原分式方程无解； 当，即时，， ， ， 解得，， 关于y的分式方程有非负整数解， 或2或5或10， 或（舍）或2或7， ， 或2， 满足条件的整数a的值为2或， 满足条件的整数a的值之积为， 故答案为． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为__________；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是__________． 【答案】 ①. 8532 ②. 13487 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，新定义下的实数运算，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由“轮差数”的定义，即可求出空1；由是“轮差数”，可得①，再由前三个数字与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，可推得能被7整除，再分类讨论可得空2答案． 【详解】解：为“轮差数”， ，且，为整数， ∴， ∴， ， 这个数为； 为 “轮差数”， ① 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： ， ∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除， 能被7整除， ∵四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0， ． 当时，不存在满足条件的，； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；或，代入①可知，，此时四位数为； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，或，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d或，代入①可知，，此时四位数为； 当时，不存在满足条件的，； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，不存在满足条件的，． ∴满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，点在线段上，，，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 【答案】（1）详见解析 （2），，⊥DG 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意过点作线段的垂线交于点； （2）证明，得出，，进而证明，根据等腰三角形的性质与判定，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 21. 先化简，再求值． （1），，； （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、代数式求值，熟练掌握整式混合运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用多项式除以单项式运算法则、平方差公式化简原式，再代值求解即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简分式，再代值求解即可． 【小问1详解】 解： ， 将，代入， 原式． 【小问2详解】 解： ， ∵，∴， 将代入， 原式． 22. 如图，平面直角坐标系中每一个小正方形的边长都是，在平面直角坐标系中将经过一次轴对称变换后得到，图中标出了点的对应点． （1）作出与关于直线对称的对称轴； （2）在平面直角坐标系中画出变换后的，并写出点和的坐标； （3）坐标轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出两个符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 对称轴如图所示， （2） 如图所示； 点和的坐标为：和； （3） 存在，理由如下， ， 如图所示，，， ∴，， ∴点P的坐标为：，． 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，网格与几何面积的计算方法，掌握平面直角坐标系的特点，网格球几何图形面积的计算是解题的关键． （1）将经过一次轴对称变换后得到，图中标出了点的对应点，由轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据格点求三角形面积的计算方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 某工厂用A，B两种机器人搬运化工原料共，且A种机器人搬运的化工原料总量比B种机器人搬运的化工原料总量的2倍少． （1）A，B两种机器人各搬运化工原料多少千克？ （2）若A种机器人每小时搬运的化工原料是B种机器人的1.5倍，结果A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】（1）A，B两种机器人分别搬运900千克和500千克化工原料 （2）A，B两种机器人每小时分别搬运75千克和50千克化工原料 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设B种机器人需搬运x千克化工原料，根据用A，B两种机器人搬运化工原料共列方程求解即可； （2）设B种机器人每小时搬运m千克化工原料，根据A种机器人完成搬运任务的时间比B种机器人多用了2小时列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B种机器人需搬运x千克化工原料，则A种机器人需搬运千克化工原料； 由题意得：， 解得：， ∴． 答：A，B两种机器人分别搬运900千克和500千克化工原料． 【小问2详解】 解：设B种机器人每小时搬运m千克化工原料，则A种机器人每小时搬运千克； 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴． 答：A，B两种机器人每小时分别搬运75千克和50千克化工原料． 24. 如图，在港口A的北偏东方向有一海岛B，西北方向有一海岛C，北偏西方向有一港口D，甲、乙两船同时从港口A出发，以30海里/小时的速度分别前往B，C两海岛，后两船同时到达，此时甲船上的观测人员在海岛B处测得港口D在海岛B的西北方向． （1）求海岛B与港口D之间的距离； （2）两船分别在B，C两海岛休整之后，又以相同速度同时出发前往港口D，则甲、乙两船谁先到达港口D？请说明理由． 【答案】（1）300海里 （2）同时到达， 连接， 由题意得：，， ∴． 又∵甲、乙同时以相同速度出发，同时到达目的地， ∴． ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵甲、乙同时出发，且速度相同， ∴两人同时到达港口D． 【解析】 【分析】本题考查了方向角和平行线的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）利用方向角和平行线的性质得，利用平角的定义得，再根据三角形内角和计算出，得出即可得出答案； （2）连接，求出，再得是等边三角形，根据已知条件证是等边三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴（海里）， 答：海岛B与港口D之间的距离约为300海里． 【小问2详解】 略 25. 如图，已知和都是等边三角形，连接，交于点，与交于点． （1）试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； （2）若为的角平分线，，求的长． 【答案】（1）， 理由： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）由和都是等边三角形，则，通过角度和差得，证明，然后根据性质即可求证； （）由是等边三角形，则，因为为的角平分线，所以，，通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解； 本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵为的角平分线， ∴，， ∴，， ∴． 26. 在等腰直角三角形中，，，点为边上的一点，连接，过点作，取，连接，，与交于点． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若点为直线上一点，过点作于点，连接，．当的值最小时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，且，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形可得，由题意可得，由含角的直角三角形的性质可得，由过点作，取，可得，如图所示，过点作于点，由含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解； （2）根据题意可证，得到，，再证明，得到，由此即求解； （3）如图所示，过点作于点，得到四边形是矩形，，同理（2）的证明方法可得是的垂直平分线，则，如图所示，作点关于直线的对称点，与交于点，连接，交于点，交于点，则，，可证，得到，则，所以是的中线，即，则有，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，，， ∴， 当时，， 在中，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵过点作，取， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在直线上运动， 同理（2）的证明方法可得，，， ∴，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴， 如图所示，作点关于直线的对称点，与交于点，连接，交于点，交于点，则，， ∴，，此时的值最小， 由上述证明可得：，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中线，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径的计算，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一，轴对称最短路径的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $