精品解析：北京市西城区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 4. 将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知集合，．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是定义域为的奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论： ①； ②函数在区间内有且仅有3个零点； ③不等式的解集为，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 设方程的两根为和，则______． 11. 已知函数，则______；的单调递增区间为______． 12. 已知正方形的边长为，点满足，则______． 13. 已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______． 14. 给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数： ①； ②； ③； ④ 其中具有“线性控制”性质的函数的序号是______． 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知实数，满足，． （1）求和的取值范围； （2）证明：． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 17. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.9 8.3 8.6 9.6 女生：7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.7 9.2 9.4 10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； （2）从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； （3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 18. 已知函数，其中． （1）证明：； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）求在区间上的取值范围． 19. 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． （1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； （2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 20. 给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． （1）当时，写出一组和； （2）是否存在集合与正整数，使？说明理由； （3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，或，所以. 故选：A 2. 已知，且，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过取，即可排除选项A，B和C，选项D，通过作差法，即可求解. 【详解】对于选项ABC，取， 显然满足，此时，，， 所以选项A、B和C错误； 对于选项D，因为，所以，故选项D正确， 故选：D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 4. 将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可 【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到， 再向下平移1个单位，得到， 所以， 故选：A 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 6. 甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的数据，利用平均数、标准差的定义计算判断即得. 【详解】依题意，，，则； ， ，， 故选：B 7. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 8. 已知集合，．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件及必要条件的判定方法进行判断. 【详解】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 已知是定义域为的奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论： ①； ②函数在区间内有且仅有3个零点； ③不等式的解集为，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定函数的周期，再结合当时，逐个判断即可； 【详解】由题意， 所以，所以，①正确； 再结合，可得：， 所以的周期为2， 由时，， 结合奇函数性质可知：当， 所以在一个周期内，的解集为， 在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确； 通过，令，可得，则， 结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有， 所以函数在区间内有且仅有5个零点；②错误； 故选：C 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 设方程的两根为和，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算得解. 【详解】方程的两根为和，则， 所以. 故答案为：5 11. 已知函数，则______；的单调递增区间为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】代入求出函数值；利用分段函数单调性求出递增区间. 【详解】函数，则； 函数在上单调递增，在上单调递增， 而当时，， 所以函数的单调递增区是. 故答案为：； 12. 已知正方形的边长为，点满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 因为， 所以，， 所以，，故. 故答案为：. 13. 已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______． 【答案】1（答案不唯一，） 【解析】 【分析】构造函数，将问题转化为函数在有一个零点问题求解. 【详解】令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 依题意，函数在有一个零点，因此，解得， 所以实数的取值范围是，的一个取值为1. 故答案为：1（答案不唯一，）. 14. 给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数： ①； ②； ③； ④ 其中具有“线性控制”性质的函数的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，直接利用题设定义，即可判断；对于②，由，当时，，即可判断；对于③，利用基本函数的图象与性质，在同一坐标系中作出和，借助图象即可判断；对于④，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质， 对于②，当时，因为， 当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质， 对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象， 由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，， 所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质， 对于④，令，在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图知，当时，的图象恒在下方，即， 所以具有“线性控制”性质， 故答案为：①④. 【点晴】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知实数，满足，． （1）求和的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. 【小问2详解】 因为， 又，，则，， 所以，得到. 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式求出定义域. （2）利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 不等式， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 17. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.9 8.3 8.6 9.6 女生：7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.7 9.2 9.4 10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； （2）从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； （3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】（1），； （2）； （3）相互不独立. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据求出抽取的男生、女生中50米跑测试成绩为优秀等级的人数，再求出频率即可. （2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出结果. （3）利用相互独立事件的定义判断即可. 【小问1详解】 由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人， 高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人， 所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和. 【小问2详解】 该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则， 由（1）知，，显然事件相互独立， 因此， 所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为. 【小问3详解】 依题意，，， ，因此， 所以与相互不独立. 18. 已知函数，其中． （1）证明：； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）求在区间上的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接将代入函数解析式中，得到，再两式相加即可得到结果. （2）利用函数单调性的定义即可求出的取值范围. （3）对参数a分情况讨论，利用函数单调性即可得到在区间上的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 故. 【小问2详解】 因为在上单调递减，则当，有. 所以设，， 因为，所以，， 要使，则， 故的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由小问2得在上单调递减， ，， 故在区间上的取值范围为； 当时，利用小问2的结论知，在上单调递增，，， 故在区间上的取值范围为. 综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为. 19. 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． （1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； （2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】（1），； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 20. 给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． （1）当时，写出一组和； （2）是否存在集合与正整数，使？说明理由； （3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见解析（写出其中一组即可） （2）不存在，理由见解析 （3）存在，答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意生成集合的过程可得； （2）用反证法证明.先将分解因式，分析集合中的元素情况，分类讨论可得； （3）尝试任取两个元素，逐步找到满足题意的一组集合即可. 【小问1详解】 由题意可知，若，则； （若，则； 若，则；写出一组即可）. 【小问2详解】 不存在集合，使． 下面用反证法证明. 证明：假设存在集合，使． 因为， 故集合中必有1或同时有． ①若时，不妨设，则． 因为与必为一个奇数一个偶数，而， 则，且， 这与中元素均为奇数矛盾． ②若且，则，这与矛盾． 综上所述，假设错误，故不存在集合，使． 【小问3详解】 当时， 存在，使．原因如下： 当时，令，，则； 令，，则； 令，，则； 令，，则. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是弄清题意，理解顺序生成集合列的方法；二是应用反证法，因式分解从“积”入手分析集合中的可能元素，分类讨论寻找矛盾即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $