精品解析：广东省深圳市龙华区2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角. 【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率， 又，所以，因为，所以. 故选：D. 2. 已知直线：和直线：，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】直线：和直线：，， 则，解得 故选：D 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，，， 解得， 故选： 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线l方程变形为， 由得，即直线l过定点， 圆心为，半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为 故选： 6. 已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列与等比数列的定义检验充分及必要性即可判断. 【详解】因为，则， 若为正项等比数列，则， 所以为常数，即为等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则， 所以，即为正项等比数列，即必要性成立． 故选：A. 7. 长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 1或 C. 12 D. 1或12 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，的向量表示，再求出这两个向量夹角的余弦值，进而可得直线与所成角的余弦值，由题意可得列方程，可得的值． 【详解】长方体中， 底面ABCD是边长为2的正方形， 设，直线与所成角的余弦值为， 因为，， 由题意可得， 所以， ，， 所以，， 所以， 整理可得， 可得或，解得或 所以或 故选： 8. 已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解． 【详解】易知，由题意不妨设直线AB的方程为， 联立，则， 设，，则， 又，则，则， 则的面积为 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（ ） A. C的焦点在y轴上 B. C的方程为 C. C的焦点到其渐近线的距离为 D. 直线与C有两个公共点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点在直线下方即可判断A选项，根据渐近线方程和C过点求出和即可判断B选项，求出的焦点到其渐近线的距离即可判断C选项，根据直线与渐近线平行即可判断D选项. 【详解】点在直线下方， 的焦点在x轴上，A选项错误； ，解得， ，的方程为，选项正确； 的焦点到其渐近线的距离为，选项正确； 直线与渐近线平行， 直线与C有一个公共点，选项错误． 故选： 10. 已知为数列的前n项和，且，，，则（ ） A. 为常数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的前n项和恒小于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列的递推式和数列的通项与求和的关系，推得，，对各个选项分析，可得结论． 【详解】由，，可得，解得， 当时，由， 可得，相减可得，即， 即有，即，对也成立， 所以为常数列，故A正确； ，为单调递增数列，故B正确； ，当时，，故C错误； ，则的前n项和为，故D正确． 故选： 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 椭圆C的离心率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由正弦定理和角平分线得到；选项B，利用，可得，再由三角形的面积公式，求解即可；选项C，根据A选项与椭圆的定义可得，，再在中，利用余弦定理，结合离心率的计算公式，求解即可；选项D，由，，推出N是的中点，从而知，得解． 【详解】选项A，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由于PM平分，故， 又，故， 所以，即选项A正确； 选项B，设椭圆的焦距，，故，， 由题意知，，， 所以， 所以， 所以，， 所以，即选项B正确； 选项C，由选项A知，， 由椭圆的定义知，， 所以，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得， 两边同时除以，得，解得离心率或，即选项C错误； 选项D，由选项A和B知，，， 所以， 又，所以直线l垂直平分，即N是的中点， 因为O是的中点，所以，即D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据即可得出m，n的值，然后得解． 【详解】由，得，解得，， 所以 故答案为：5 13. 已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得到双曲线的焦点坐标，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】因为双曲线的方程为， 所以， 即，，， 易知抛物线的焦点， 若是等边三角形， 此时， 即，解得负值舍去， 则该抛物线的方程为 故答案为： 14. 如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第n个圆的半径为，面积为，则______，若，则______用含n的式子表示 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意作出示意图，根据x轴与的夹角为得出两圆的公切线与连心线的夹角为，从而在中算出，由此推导出.若，可推导出是首项为，公比为9的等比数列，根据等比数列的求和公式算出的值． 【详解】设圆与x轴的切点为，连接、，过作于点E， 记直线和的夹角为，则，结合，可知. 在中，，故， 因为圆与圆外切，且它们都与x轴相切，所以，， 可得，整理得，故. 若，则，可得圆的面积， 由，可知…， 所以，可得构成公比为9的等比数列，首项， 所以……. 故答案：；. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何特征找到的关系，类比得到，从而得出数列是首项为，公比为9的等比数列，利用等比数列前项和公式计算可得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，，求： （1）线段AB的垂直平分线的方程； （2）的外接圆的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【小问1详解】 根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 16. 如图，在直四棱柱中，，，点E为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线AE到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点F，连接EF，BF，先证四边形ABFE是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）以点D为坐标原点，分别为轴建立坐标系，由平面，可得直线AE到平面的距离等价于点A到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求点A到平面的距离即可． 【小问1详解】 连接，交于点F，连接EF，BF，则F是的中点， 因为点E为棱的中点，所以，， 又，， 所以，，即四边形ABFE是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 由直棱柱的性质可知：，， 因为，所以两两互相垂直， 故以点D为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为则， 令，得， 由知平面， 所以直线AE到平面距离等价于点A到平面的距离，即 17. 在圆O：上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点P在圆O上运动，Q是线段PD的中点当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点Q与点P重合 （1）求点Q的轨迹方程； （2）设直线与点Q的轨迹相交于不同的两点M、N，若，问是否存在实数m使？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，设，，根据点Q是线段PD的中点，得到，；当时，点Q与点P重合，满足条件；将点P的坐标代入圆O的方程中，进而可得点Q的轨迹方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出MN的中点坐标，将转化成，代入求解即可． 【小问1详解】 设，， 此时， 因为点Q是线段PD的中点， 所以，， 当时，点Q与点P重合， 此时也满足，， 因为在圆上， 所以， 可得， 即， 则点Q的轨迹方程为； 【小问2详解】 联立，消去y并整理得， 此时， 解得， 设，， 由韦达定理得，， 设MN的中点为， 可得，， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 解得，符合． 故存实数m，使得  18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，4，9，16；，； （2）（i）不是，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由二阶等差数列的定义，计算可得数列的前4项，由数列恒等式和等差数列的求和公式，可得； （2）（i）由数列的递推式推得，由等比数列的通项公式求得，，，由二阶等差数列的定义，可得结论；（ii）由等比数列的求和公式可得，由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【小问1详解】 若，，， 则，即， 由，可得， 则，可得，，解得， 由， 可得， 上式对也成立，即有，； 【小问2详解】 （i）若，且满足，可得， 即，即有， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列，即有，即， 可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列； （ii）数列的前n项和， 不等式，即，即为对恒成立． 设，， 当时，，当时，可得，即有， 可得数列中最小项为， 则，即有，则实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知直线：和直线：，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 1或 C. 12 D. 1或12 8. 已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（ ） A. C焦点在y轴上 B. C的方程为 C. C的焦点到其渐近线的距离为 D. 直线与C有两个公共点 10. 已知为数列的前n项和，且，，，则（ ） A. 为常数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的前n项和恒小于1 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. 椭圆C的离心率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为______. 14. 如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第n个圆的半径为，面积为，则______，若，则______用含n的式子表示 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，，求： （1）线段AB垂直平分线的方程； （2）的外接圆的方程. 16. 如图，在直四棱柱中，，，点E为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线AE到平面的距离. 17. 在圆O：上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点P在圆O上运动，Q是线段PD的中点当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点Q与点P重合 （1）求点Q轨迹方程； （2）设直线与点Q轨迹相交于不同的两点M、N，若，问是否存在实数m使？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$