精品解析：福建省福建师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

福建师大附中2024~2025学年上学期期末考试 数学试卷 试卷：120分钟 满分：150分： 命题：连信榕 审核：许丽丽 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故选：D. 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性，结合中间值分析判断即可. 【详解】因为，即， 且，即， ，即， 综上所述：. 故选：B. 4. 设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】求得通项，利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，，所以，因为，由， 易知， 所以 所以数列的前99项和为， 故选：C. 5. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据相关系数的定义作出判断；B选项，利用二项分布的期望和方差公式得到方程，求出答案；C选项，根据样本中心点的定义作出判断；D选项，由超几何分布和二项分布的定义得到D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，A正确； 对于B，，解得，，故B正确； 对于C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确； 对于D，由于是不放回地随机摸出个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，且，故D错误. 故选：D 6. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 7. 从重量分别为克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展式中的系数为的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得，再分析求解各个选项中的系数，即可求解. 【详解】取一个砝码时，有一种情况，方法有种； 取两个砝码时，有几种情况，方法有种； 取三个砝码时，有几种情况， 方法有种； 取四个砝码时，有几种情况， 方法有种； 取五个砝码时，有一种情况，方法有种， 所以总计方法总数种． 对A，系数可为单独组成，其他为常数，则有种，系数为1； 由两项与，或与，或与，或与组成，系数为； 由三项与，或与组成，系数为； 所以选项系数为7，故不符合，所以A错误； 对B，的系数可为10个因式中选9个带的，剩下1个因式选常数项组成， 所以的系数为，故B错误； 对C， ， 系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为2， 由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为4， 系数为与组成，其他为常数，，系数为4， 系数为与组成，其他为常数，，系数为4， 系数为与组成，其他为常数，，系数为4， 同理由三项组成 几种情况，其他项为常数，则系数为， 同理由四项组成几种情况， 其他为常数，则系数， 同理由五项组成，其他项为常数，则系数为， 综上系数为，故C正确； 对D， 由一项及其他为常数项组成，有种情况，系数为2， 由与两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为27， 由与两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为32， 由与两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为35， 由与两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为36， 此时的系数为， 还有其他组成的情形，所以系数大于，故D错误． 故选：C. 8. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，令，可得为奇函数，则的图象关于点中心对称，可得，由可得， 利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 所以， 令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令，证得为奇函数，可得的图象关于点中心对称，由可得，再利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 为递增数列 B. 为递减数列 C. 当或时，的值最大 D. 使得成立的的最大值是4038 【答案】BC 【解析】 【分析】通过已知条件来分析数列的单调性，分析数列项的正负来得到前项和的最值情况即可. 【详解】已知为等差数列的前项和，且. 根据等差数列前项和公式，那么. . 因为是等差数列，若设公差为，则. 这11项的和，所以. 又因为，，可得. 所以是首项大于，公差小于的数列，即为递减数列，A选项错误，B选项正确. 由于，，且.则，，，， 那么当或时，的值最大，C选项正确. 根据等差数列前项和公式. （因为）. ，因为，，所以. 所以使得成立的的最大值是，选项错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存在点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值当 D. 过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断. 【详解】以坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，， 考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确； 对B：，， 若，则，即， 解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误； 对C： ，取平面的法向量， 则， 设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积，故D正确. 故选：AD. 11. 记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数可得，为方程的两个根，进而可判断；，利用换元法设，可得，与相等，进而可判断；由可判断；求出，，根据不等式性质可判断. 详解】选项A：，， 故由题意可知，为方程的两个根，故，故A正确； 选项B： ， 所以 ， 设，因为，则， 此时函数可化为， 由题意此函数的极值点分别为， 当时，函数单调递增，故，， 故，，故B正确； 选项C：由解得，，， 由题意函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而，故，，故C错误； 选项D：由A可知，，， 因为，故，即，故，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：换元法：换元法是实现数学知识板块之间问题转化的常用方法，所谓换元法，就是通过把某个式子看成一个整体，用新的变量或新形式去替代它，从而使问题简化. 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解. 详解】，， 即，解得， ，，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则______. 【答案】##1.1875 【解析】 【分析】利用极化恒等式将化简成含有半径的式子，即可转化成的形式，可得结果. 【详解】设圆的半径为， 由题意得 ， 且 ，， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 所以抛物线方程为， 如下图，， 因为， 设，所以， 所以， 因为直线水平时显然不合题意，故可设， 因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点， 联立，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 四､解答题：本题共5小题，共77分， 15. 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 （1）求证：不论为何值，为定值. （2）当和的面积相等时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明； （2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得. 【小问1详解】 在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； 【小问2详解】 因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且. （1）证明：平面. （2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在实数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由二面角的余弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. 【小问2详解】 取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 17. 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值； （2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由新定义得出的关系，结合可求得； （2）由题意求出椭圆的方程，联立直线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆是等差椭圆，所以， 所以，又， 所以， 化简得. 【小问2详解】 由且可知，，. 所以椭圆方程为，如图， 联立直线得， ，，设，， 则，， ，， ，，， 把，代入，得， 所以存在实数，使得. 18. 高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． （1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）42人 （2）（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据所给的公式，结合代入法进行求解即可； （2）（ⅰ）根据古典概型运算公式，结合数学期望进行求解即可； （ⅱ）根据题意列出数列的递推公式，结合等比数列的定义和通项公式、已知定义进行求解即可. 小问1详解】 由已知可得， ． 又因为， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人． 【小问2详解】 （ⅰ）由题知的所有可能取值为0，1，2， ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （ⅱ）设经过次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得． ① 因为，所以，， 代入①式得， 即， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时，， 所以数列为“聚点数列”，聚点的值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意构造递推数列，结合构造法、已知定义进行求解. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：是周期函数； （3）判断在上的零点个数，并说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）3，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程的斜率及所过点坐标，据此可得切线方程； （2）由周期函数定义可完成证明； （3）注意到，由周期性，只需判断在上的零点个数.先可得，当时，无零点，当时，利用导数知识结合零点存在性定理可得零点情况，整理后可得答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以所求切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，， 所以，即是的一个周期，故是周期函数； 【小问3详解】 在上的零点个数为3，理由如下： 注意到，由周期性，只需判断在上的零点个数， 当时，，，， 则，所以在上无零点， 当时，，，， 则，所以在上无零点， 当时，， 令， ， 即， 当时，，，， 则，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 结合单调性可知存在，使得， 所以在上有1个零点， 由的周期是可知，在上还有一个零点， 又，则也为的一个零点， 综上，在上的零点个数为3. 【点睛】关键点睛：对于判断零点个数，常利用函数图象与直线交点或利用单调性结合零点存在性定理判断零点点数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建师大附中2024~2025学年上学期期末考试 数学试卷 试卷：120分钟 满分：150分： 命题：连信榕 审核：许丽丽 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 6. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 从重量分别为克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展式中的系数为的选项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 为递增数列 B. 为递减数列 C. 当或时，的值最大 D. 使得成立的的最大值是4038 10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 存在点，使得 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值当 D. 过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 11. 记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 13. 如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则______. 14. 已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________． 四､解答题：本题共5小题，共77分， 15. 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 （1）求证：不论为何值，为定值. （2）当和面积相等时，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且. （1）证明：平面. （2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值； （2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 18. 高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． （1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：周期函数； （3）判断在上零点个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $