7.4二元一次方程组与一次函数（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

7.4二元一次方程组与一次函数 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点就一定满足函数解析式，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：一次函数与图象的交点为 方程组的解是， 故选：D ． 2．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是将其变形可以解答．把变形为解答即可． 【详解】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上， 把可以变形为， 与对照即可得到， ， 解得：， 故选：D． 3．已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像的交点坐标为：， 故选：B． 4．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组的解， 先将点代入正比例函数关系式，可求出交点坐标，再根据两条直线交点的坐标与方程组的解之间的关系得出答案． 【详解】解：当时，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解是． 故选：A． 5．如图，一次函数与的图象交于，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故选：A． 6．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 观察图象得：一次函数与的图像交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图像交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 7．若直线和的交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8．如图，已知直线与直线的交点的坐标为，那么方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征．先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】解：∵直线与直线的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴直线与直线的交点的坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 9．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 10．一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：一次函数的图象与的图象交点的坐标为， 关于的方程组的解为 故答案为∶ 11．已知二元一次方程组的解是由此可知相应的正比例函数与一次函数 图象的交点坐标为． 【答案】 【分析】根据方程组的解与一次函数交点坐标的意义解答即可． 本题考查了方程组的解与一次函数交点坐标的意义，熟练掌握方程组的解与交点坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：由二元一次方程组的解是， 故正比例函数与一次函数图象的交点坐标为． 故答案为：． 12．已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于掌握图像交点的意义．直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于，的二元一次方程组， 即， 解得， 故答案为：． 13．已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．把P点的坐标代入函数的解析式得到点，根据P点的坐标得出答案即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， ∴点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 题型二、一次函数围成的图形面积 14．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 15．如图，已知直线与直线相交于点A，直线l2与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求两条直线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为； (2)，． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把点代入求出m的值即可得出直线的解析式，设直线的解析式为，把点，点代入求出k，b的值即可得出直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点． (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）设，根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴ 直线l的函数表达式为； （2）解：设， ∴ 若的面积等于面积的2倍， 则 解得，或， ∴或． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识． （1）先求出点B的坐标是，代入得到，即可求出答案； （2）求出点A的坐标是，点C的坐标是，则，又由点B的坐标是，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点B是直线上一点，且纵坐标为4， ∴， 解得， ∴点B的坐标是， 把代入直线得到， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）当时，，解得， ∴点A的坐标是， 当时，，解得， ∴点C的坐标是， ∴， 又∵点B的坐标是， ∴的面积为． 18．一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； ∴， ∴ ． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． (1)求 的值及直线 的表达式； (2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等．解决问题的关键是利用图象求解． （1）设正比例函数解析式为：，将点C坐标代入，一次函数可得k，的值，即可求解； （2）如图，连接，求解，求解M的横坐标，即可求解纵坐标． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为：， ∵与交于点， ∴，， ∴，， 正比例函数解析式为： ． （2）解：如图，连接， 当 时， ， ∴， ∴， ∴， 点 M 的横坐标为 4或 ， ∴或， ∴ 的坐标为 ． 20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求直线的表达式； (2)若点C是直线上的一个动点，当的面积为8时，求点C的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点， （1）利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设,根据三角形面积公式得到，解方程即可； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为, 点,点, , 解得, 直线的解析式为； （2）解：设, ， ， ， 当时，，当时，， 点的坐标为或. 21．如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入求出b的值，即可得出点P的坐标； （2）根据直线与轴交于点，且点B的坐标为，求出方程的解即可； （3）先求出，再求出，得出，列出方程，求出，最后求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点，且点B的坐标为， ∴一元一次方程的解为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 22．如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． (1)若的面积为，求的值； (2)在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点Q，其坐标为或 【分析】（1）先求出，得出，根据的面积为，在第三象限，得出，求出，得出，代入正比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标是，分两种情况：当Q在线段上和延长线上，根据三角形的面积公式列出关于m的方程解方程求得即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为，在第三象限， ∴， 解得：， 把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：； （2）解：设点Q的坐标是， 在中，令可得， ∴， ∴，， ∴Q点有两个位置：Q在线段上和延长线上， 当Q点在线段上时，则， 解得：， ∴， ∴Q点的坐标为；   当Q点在线段延长线上时， 则， 解得， ∴， ∴Q点的坐标为； 综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，求一次函数解析式、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（2）中确定出Q点所在的位置是解题的关键． 23．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线（、为常数，且）经过点，且直线是由直线平移得到． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求函数解析式，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由直线是由直线平移得到，则，那么直线，再点代入即可求出，即可求解解析式； （2）过点作轴于点，求出直线与x轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∴直线， 将点代入得，， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：如图，过点作轴于点，则， 对于，当时， 解得： ∴， ∴， ∴的面积为2． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式和解二元一次方程组，理解两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数表达式，通过解方程组即可求出和的值． （2）先求出点坐标，再根据点在直线上求出点坐标，根据点位置的不同，分别讨论，求出点坐标，由点坐标可得到直线函数表达式，继而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：，点是点关于轴对称的点， ∴， ∵平行轴，点在直线上， 把代入得， ∴， 设点， 当点在点的下方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得： ， ； 当点在点的上方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得：， ； 综上所述，点的坐标为或． 25．如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，三角形的面积． （1）分别令和得出对应的x和y的值即可得出两点的坐标； （2）过点E作于点F，根据四边形的面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当P在x轴负半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，进行讨论得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令时，得， 令时，得，解得， ∴，； （2）解：如图，过点E作于点F， 由（1）可得，， 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积， ∴， 分以下两种情况： ①当P在x轴负半轴上时， 设，则 ， 解得； ②当P在y轴负半轴上时， 设，则 ， 解得． ∴或． 26．如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：. （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， ∵过点E的直线把面积两等分， ∴这条直线过E点以及的中点， 设过E点且把面积两等分的直线的解析式为 把点代入得:， 解得：， ∴这条直线的解析式为. 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键. 题型三、一次函数的综合问题 27．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确． 【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意； D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意； 故选：D． 28．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象交点问题，根据函数图象结合交点解答即可． 【详解】解：观察图象可知：①当时，一次函数的图象一部分在轴上方（），一部分在轴下方（），故结论①不正确； ②当时，一次函数的图象在轴上方，即，故结论②正确； ③当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，故，故结论③不正确， 所以，正确的个数是1个， 故选：B． 29．设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法．先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可． 【详解】解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； ； 当，； 则． 故选：C． 30．已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数，两条直线的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再联立即可求解； （2）先将变形为，满足过定点，则与无关，故即可． 【详解】（1）解：当时，， 当，得， 解得， 当时，， ∴两个函数图象的交点坐标为； （2）解：， 当时，， 此时， ∴不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过定点． 31．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． （1 ）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2 ）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可． 【详解】（1））解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ∴， 解得， ∵点又在上， ， 又∵， ∴， 解得， ∴． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交和的图象于点B、C，连接． ①点C的纵坐标是______（用含m的代数式表示）； ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为28 【分析】本题考查一次函数和勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，求出的长，写出B，C的坐标，求出的值，从而求出三角形面积． 【详解】（1）由题意得， ∴ ∴点 （2）①当时，点C的纵坐标是， 故答案为； ②如图，过点A作轴于点D， 由（1）知，，，在中，． ∵   ∴ ∵，且轴    ∴， ∴， ∴， ∴ 由    ∴， ∴ ∴的面积为28 33．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为，大客车的速度为 (2)点的坐标为，点实际意义是：两车出发小时后相遇，此时距离甲地 (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度； （2）先确定与所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程； （3）分三种情况求解即可； 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：由图象可知： 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：， ∴小轿车的速度为，大客车的速度为； （2）由图像可知：，，， ∵小轿车往返的速度相同， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴点的坐标为， 点实际意义是：两车出发小时后相遇，此时距离甲地； （3）设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时， 得：，解得：； 当时，则， 得：， 此时，两车相距超过； 当时， 得：， 解得：或； 综上所述，出发后经过小时或小时或小时两车相距． 34．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据直线与直线的交点坐标即可得； （2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组可转化为， 所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标， 即方程组的解是， 故答案为：． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 将点代入得：，解得， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）解：如图，设直线与轴的交点为点， 由（2）已得：， 当时，，解得，即， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积与的面积相等，且的面积为10， ∴， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 所以点得坐标为． 35．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 36．根据以下素材，探索完成任务． 有趣的迭代函数 素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即． 素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点． 问题解决 任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标． 任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大． 任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】任务：， 任务：证明见详解． 任务：，证明见详解． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 任务：根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标． 任务：根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明随的增大而增大． 任务：联列函数和它的迭代函数，即可求出点，故若点的坐标为时，则有． 【详解】任务：解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为． 任务：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，随的增大而增大． 任务：． 证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点， 联列可得：， 解得：， 即点坐标为， ∴若点的坐标为时，则的数量关系为． 37．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点． (1)求b的值； (2)若是y轴上的点，连接，求的面积； (3)若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算，两直线交点问题的综合运用， （1）将代入可得，解析式为，再把点代入即可求解； （2）根据坐标与图形，可得，根据几何图形面积的计算即可求解； （3）由（1）可得，分别把点代入即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， 正比例函数的解析式为， 把代入中，得． （2）解：， ， ． （3）解：由(1)可得， 所以直线的解析式为， 将代入， 解得； 将代入， 解得； ． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线：与直线交于点C． (1)求线段的长度． (2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接，当时，求的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，在y轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）求出点、的坐标，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出点，，设点，则点由得到点，进而求解； （3）设点，由点、、的坐标得，，，，当时，列出方程即可求解；当、时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点、的坐标分别为：、， 则； （2）解：联立、的表达式得：， 解得：，则点，， 设点，则点， 则， 则， 即点， 则； （3）解：由平移的性质知，点的坐标为：，设点， 由点、、的坐标得，， 同理可得，，， 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得：或4， 即点或； 当时，则， 解得：，即点； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，等腰三角形的判定，勾股定理等，解题的关键是方程思想和分类讨论思想的应用． 39．阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解．若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象， 记作直线． 根据上述材料，解答以下问题： (1)请写出的一组解： (用有序数对表示)； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程： 的图象； (3)根据（2）题所画图象，可得到二元一次方程组的解是 ； (4)记直线和的交点为， 请在平面直角坐标系中标出点关于轴对称的点． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的图象与性质，直角坐标系中点的对称，解题的关键是数形结合． （1）根据直线的点的坐标即为方程的解，即可求解； （2）利用两点作出画出函数的图象即可； （3）观察图象，两直线的交点即为该方程组的解； （4）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点在直线上， 的一组解为， 故答案为：； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 方程过点，， 过点，画出直线如下图： （3）由（2）中的图象可知，二元一次方程组的解是， 故答案为：； （4）如图，点即为所求： 40．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①联立，求出的值即可得到答案； ②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值； ③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可； ④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：①联立， 解得：， 一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为， ∴点在直线上， ， ， 一次函数的“关联点”为， ， 解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：， 解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， 解得：或， 或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 41．如图，直线经过点，，点在轴上，且，连接． (1)求直线的表达式； (2)若平分，交于点，点是轴上的动点，求的最小值； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，垂足为点 ，利用等腰直角三角形特点得到，，作点关于轴的对称点 ，连接，与轴交于点，则的最小值为的长，利用轴对称性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题； （3）根据题意分两种情况①当点在线段上时，取点，连接，并延长与线段交于点，证明，结合全等的性质，以及两条直线的交点问题求解，即可求出点的坐标，②当点在线段的延长线上时，作点关于直线的对称点，连接，结合对称的性质得到，结合待定系数法得到直线，最后根据两条直线的交点问题求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解： 直线 经过点 ， ， ， 解得 ， 直线 的表达式为 ． （2）解：， ， ，． ， ． 过点作轴，垂足为点 ， ，均为等腰直角三角形， ， 作点关于轴的对称点 ，连接，与轴交于点， 则的最小值为的长， ． 在 中，由勾股定理，得， 的最小值为． （3）解：存在点，使得，理由如下： ①当点在线段上时， 取点，连接，并延长与线段交于点， ． ，， ， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ， 设直线的表达式为 ， ， 解得， 直线的表达式为． 联立 ，解得 ， ． ②当点在线段的延长线上时，作点关于直线的对称点，连接，如图所示． 由对称，得 ， ，． ，． 设直线的表达式为 ， ， 解得， 直线的表达式为． 联立 ，解得 ， ． 在直线上存在点或，使得． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，坐标与图形，全等三角形性质和判定，勾股定理，轴对称性质，解题的关键在于灵活运用相关知识解决问题． 42．材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：； ②求点F的坐标； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或或 【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）①证明，即可得出是等腰直角三角形，即可得出结论；②先确定出点E的坐标，再借助①的结论判断出，即可得出，可得出F的坐标； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B， ∴， ∴， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①由（1）得：， ∴， ∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； （3）解：∵， ∴， 若，此时轴，， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若，此时，， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当点Q在点D的右侧时，， ∴点Q的坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点Q在点D的右侧时，， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键． 44．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【答案】（1）、；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）点，，的坐标适合关系式的，即为点的和差点； （2）设，根据新定义得出点Q在直线上，联立，解方程组即可； （3）设点的和差点Q的坐标为，分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴在直线上， 把代入得：， ∴不在直线上， 把代入得：， ∴在直线上， ∴点的和差点为、； （2）设， ∵点是点的一个和差点， ∴， 整理得：， ∴点Q在直线上， 又∵点在直线， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； （3）设点的和差点Q的坐标为， 当点P在边上时，设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线直线的解析式为：， 设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∴此时点的和差点Q在直线上； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 综上分析可知：点的和差点Q在直线和之间，如图所示： 45．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)①无论的值怎样变化，直线都过定点______； ②若当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为3），若直线（且），直线与直线围成的三角形的面积是4，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) ① ② (4)或 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）先求出点C的坐标为，根据直线沿轴向上平移个单位长度后解析式为，且平移后的直线经过点，将点C代入函数解析式，即可求出n的值； （3）①把代入求出，即可得出答案；②把代入求出，把代入得出，据此即可求出的取值范围； （4）把代入得出，把代入得出，令，即可求出，再根据直线，直线与直线围成的三角形的面积为4，得出，据此即可求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：把代入，得： ， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴直线， 将直线沿轴向上平移个单位长度后解析式为：， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：； （3）解：①把代入，得： ， ∴无论的值怎样变化，直线都过定点， 故答案为：； ②∵当时，函数的函数值为1， 又∵当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9， ∴此时函数的函数值随x的增大而增大， ∴此时， 把代入，得： ， 解得：， 把代入，得： ， ∴要使当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，必须使， 解得：； （4）解：把代入，得： ， 把代入，得： ， 令， 整理，得：， 解得：， ∵直线，直线与直线围成的三角形的面积为4， ∴， 解得：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，求一次函数自变量或函数值，判断一次函数的增减性，比较一次函数值的大小，求直线围成的图形面积，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 46．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 【答案】(1)①全体实数；② (2)见解析 (3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③ 【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． （1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可； （2）先补充表格，再描点画图即可； （3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数； ②∵点，是该函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：补全表格得， … 0 1 3 5 … … 1 … 在平面直角坐标系画出函数图象如图． （3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一） ②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） ③当时， 由图知，即， 解得， 47．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表：（完成表格） x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 2 0 …… ②描点； ③连线．（请在如图的直角坐标系中完成） (3)对于函数，有如下三个结论： ①y随x的增大而减小； ②该函数有最大值； ③该函数图象关于y轴对称； 其中正确的有： （填序号） (4)一次函数（k为常数，）的图象过点，若关于x，y的方程组无解，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)，，图见解析； (3)②③； (4)且． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义进行计算即可； （2）把x、y的值代入函数关系式进行计算即可； （3）根据函数关系式以及一次函数的性质进行解答即可； （4）利用函数的图象，求出直线的关系式，直线的关系式，再由函数图象的交点以及一次函数图象和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：③当时，， 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， 函数图形如图所示： 故答案为：； （3）解：由图象得：当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x想的增大而减小， 当时，y㓟最大值2，且函数关于y轴对称， 故答案为：②③； （4）解：如图， 一次函数（k为常数，）的图象过点， 设直线的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的关系式为：， 函数与x轴的交点与y轴交点， ∴射线的关系式为：，射线的关系式为：， 设过点且与射线平行的直线的关系式为：， 由于过点， ∴， ∴直线的关系式为：， 当过点P的直线与函数的图象无公共点时，k的取值范围为：且． 48．平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． (1)已知与，则________． (2)已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． (3)已知点在上，，直接写出的最小值． (4)已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 【答案】(1)4 (2)8 (3) (4) 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）根据定义，分情况列出关系式，画出示意图，求出交点坐标，即可解答； （3）设，则，根据x的取值范围分情况讨论即可； （4）先求出点W所在直线的解析式，结合（2）（3）方法求出点w的取值范围，利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：与，且， ， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 如图，即为所有点围成的图形， 所有点围成的图形面积为； （3）解：设， ， 则， 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而增大， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：，无解； 即不存在该种情况； 综上，的最小值为； （4）解：， 令，则， 令，则， 点W所在直线的解析式过点， 则，解得：， 点W所在直线的解析式为， ，且， ， 当，时， 解得：， 则，即， ，即， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ， ； 综上，当时，满足， 满足条件的所有点围成的图形为点的长为点与点的距离， 即． 【点睛】本题考查新定义问题，一次函数与几何图形的应用，两点间的距离公式，一元一次不等式组的应用，直角坐标系中点的坐标．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 五、填空题 六、单选题 试卷第74页，共74页 2 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4二元一次方程组与一次函数 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（      ） A． B． C． D． 4．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与的图象交于，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解是 ． 7．若直线和的交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解为 ． 8．如图，已知直线与直线的交点的坐标为，那么方程组的解为 ． 9．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 10．一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 ． 11．已知二元一次方程组的解是由此可知相应的正比例函数与一次函数 图象的交点坐标为． 12．已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 13．已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 题型二、一次函数围成的图形面积 14．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 15．如图，已知直线与直线相交于点A，直线l2与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求两条直线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 16．如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点． (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出的面积． 18．一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． (1)求 的值及直线 的表达式； (2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标． 20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求直线的表达式； (2)若点C是直线上的一个动点，当的面积为8时，求点C的坐标． 21．如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 22．如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． (1)若的面积为，求的值； (2)在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线（、为常数，且）经过点，且直线是由直线平移得到． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与轴交于点，连接，求的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 25．如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 26．如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 题型三、一次函数的综合问题 27．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 28．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． ； 30．已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 31．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交和的图象于点B、C，连接． ①点C的纵坐标是______（用含m的代数式表示）； ②若，求的面积． 33．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 34．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 35．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 36．根据以下素材，探索完成任务． 有趣的迭代函数 素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即． 素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点． 问题解决 任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标． 任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大． 任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 37．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点． (1)求b的值； (2)若是y轴上的点，连接，求的面积； (3)若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线：与直线交于点C． (1)求线段的长度． (2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接，当时，求的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，在y轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标． 39．阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解．若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象， 记作直线． 根据上述材料，解答以下问题： (1)请写出的一组解： (用有序数对表示)； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程： 的图象； (3)根据（2）题所画图象，可得到二元一次方程组的解是 ； (4)记直线和的交点为， 请在平面直角坐标系中标出点关于轴对称的点． 40．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 41．如图，直线经过点，，点在轴上，且，连接． (1)求直线的表达式； (2)若平分，交于点，点是轴上的动点，求的最小值； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 42．材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：； ②求点F的坐标； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 44．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 45．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)①无论的值怎样变化，直线都过定点______； ②若当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为3），若直线（且），直线与直线围成的三角形的面积是4，直接写出的值． 46．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． … 0 1 3 5 … … 1 … 47．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表：（完成表格） x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 2 0 …… ②描点； ③连线．（请在如图的直角坐标系中完成） (3)对于函数，有如下三个结论： ①y随x的增大而减小； ②该函数有最大值； ③该函数图象关于y轴对称； 其中正确的有： （填序号） (4)一次函数（k为常数，）的图象过点，若关于x，y的方程组无解，则k的取值范围是 ． 48．平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． (1)已知与，则________． (2)已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． (3)已知点在上，，直接写出的最小值． (4)已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 五、填空题 六、单选题 试卷第74页，共74页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$