专题02 平行四边形（特殊平行四边形）中的折叠问题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题2 平行（特殊）四边形中的折叠问题 类型一：平行四边形中的折叠问题 类型二：矩形中的折叠问题 类型三：菱形中的折叠问题 类型四：正方形中的折叠问题 类型一：平行四边形中的折叠问题 1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 2．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 3．如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　 　． 第3题 第4题 4．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　． 5．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝　 　°． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝　 　． 8．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB，将纸片沿对角线AC对折，BC边的对应边B'C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形． （1）求平行四边形ABCD中AD的长度； （2）求重叠部分△AEC的面积． 9．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 类型二：矩形中的折叠问题 10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　 ． 11．如图，长方形ABCD，E在BC上，将△DCE沿DE翻折，点C落在点F位置，如果∠1＝25°，那么∠2＝　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 13．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 14．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 15．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 16．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G． （1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数． 17．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 类型三：菱形中的折叠问题 18．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 19．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　 　． 21．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（　　） A． B． C． D． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为　 　． 23．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　 　°． 24．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F． （1）求证：四边形BCEF为平行四边形． （2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数． 类型四：正方形中的折叠问题 25．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 26．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 27．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝　 　． 28．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时． 求证： （1）∠ECG＝45°； （2）AF∥CG． 29．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？ 30．阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　关系时，仍有EF＝BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 平行（特殊）四边形中的折叠问题 类型一：平行四边形中的折叠问题 类型二：矩形中的折叠问题 类型三：菱形中的折叠问题 类型四：正方形中的折叠问题 类型一：平行四边形中的折叠问题 1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°； 故选：C． 2．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，进而可得∠ACD＝3x°，由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，再根据三角形的内角和列出关于x的方程式即可得出答案． 【解答】解：令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°， ∴∠ACD＝3x°， ∵ABCD为平行四边形， ∴∠BAC＝3x°， 由折叠可知，∠E＝∠B＝80°， ∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°， 在△ACE中，∠E+∠EAC+∠ACE＝180°， 即80°+3x+2x＝180°， 解得：x＝20， ∴∠BAC＝20°×3＝60°． 故选：C． 3．如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　2或6　． 【分析】如图1，当BF⊥AD时，如图2，当BF⊥AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：如图1，当BF⊥AD时， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴BF⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠F＝45°， ∴∠ABM＝45°， ∵AB＝4， ∴AM＝BM＝44， ∵BC＝AD＝10， ∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6； 如图2，当BF⊥AB时， ∵平行四边形ABCD中，AB∥DC， ∴BF⊥DC， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠EFB＝45°， ∴∠ABF＝90°， 此时F与点M重合， ∵AB＝BF＝4， ∴AF＝48， ∴DM＝10﹣8＝2． 综合以上可得DM的长为2或6． 故答案为：2或6． 4．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　24　． 【分析】由题目的条件可推出四边形A1EBC是平行四边形，A1E＝A1D，所以四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD，从而求出四边形A1EBC的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴∠A1DE＝∠AED， ∵△A1DE是由△ADE折叠得到， ∴∠ADE＝∠A1DE，∠AED＝∠A1ED，AD＝A1D，AE＝A1E， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AE＝A1D＝A1E， ∴A1C＝EB，A1E+A1C＝A1D+A1C＝DC＝12， ∴四边形A1EBC是平行四边形， ∴四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD＝24， 故答案为：24． 5．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】首先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝1，根据勾股定理即可得B′D的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°， ∴∠CAE＝∠ACB＝45°， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°， ∴AE＝CEAC， ∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°， ∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°， ∴B′E＝DE＝1， ∴B′D． 故选：B． 6．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝　65　°． 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∴∠DMN＝∠FMN＝∠A， ∵∠AMF＝50°， ∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°， 故答案为：65． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝　135°　． 【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，从而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论． 【解答】解：延长CD到点F，如图所示． ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BC∥DE， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝90°． ∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处， ∴∠ADF＝∠EDF∠ADE＝45°， ∴∠BDC＝∠ADF＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°． 故答案为：135°． 8．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB，将纸片沿对角线AC对折，BC边的对应边B'C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形． （1）求平行四边形ABCD中AD的长度； （2）求重叠部分△AEC的面积． 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠D＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AD的长； （2）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACES△ACD，进而可得答案． 【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2； （2）∵CD，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°， ∴AC3， ∴S△ACEACCD． 9．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 【分析】（1）由折叠知EC＝EC，则∠EC'C＝∠ECC'＝15°，推出∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，因为EC⊥AB，则∠EC'B＝90°，所以BE＝2BC．由勾股定理得，EC′，则，所以，则BC＝2，推出； （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠CEF，∠EFD＝∠EFD．由▱ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，则∠CEF+∠EFD＝180°．所以∠C'EF+∠EFD'＝180°，推出CE∥DF．则∠BCE＝∠D′＝∠D＝∠B．所以BE＝CE＝CE．则，因为AD∥BC，点D在BA延长线上，则∠B＝∠DAF＝∠D．推出AF＝DF＝DF．则 ，因为AD＝BC，则CE＝DF．又因为CE∥DF，则四边形ECDF是平行四边形． 【解答】解：（1）由折叠知EC＝EC， ∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°， ∵EC⊥AB， ∴∠EC'B＝90°， ∴BE＝2BC． 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴BC＝2， ∴； （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠CEF，∠EFD＝∠EFD．由▱ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B， ∴∠CEF+∠EFD＝180°． ∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．， ∴CE∥DF． ∴∠BCE＝∠D′＝∠D＝∠B． ∴BE＝CE＝CE． ∴， ∵AD∥BC，点D在BA延长线上， ∴∠B＝∠DAF＝∠D． ∴AF＝DF＝DF． ∴， ∵AD＝BC， ∴CE＝DF． 又∵CE∥DF， ∴四边形ECDF是平行四边形． 类型二：矩形中的折叠问题 10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　3　． 【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；同理在△CEF中，利用勾股定理可求得CE长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8． ∵△AEF是△ADE翻折得到的， ∴AF＝AD＝10，EF＝DE， ∴BF＝6， ∴FC＝4， ∵FC2+CE2＝EF2， ∴42+CE2＝（8﹣CE）2， 解得CE＝3． 故答案为3． 11．如图，长方形ABCD，E在BC上，将△DCE沿DE翻折，点C落在点F位置，如果∠1＝25°，那么∠2＝　57.5°　． 【分析】根据矩形的性质∠C＝∠ADC＝90°，由翻折可得∠F＝∠C＝90°，∠EDF＝∠EDC＝32.5°，进而可以解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADC＝90°， 由翻折可知：∠F＝∠C＝90°，∠EDF＝∠EDC（90°﹣∠1）65°＝32.5°， ∴∠2＝90°﹣32.5°＝57.5°． 故答案为：57.5°． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，由矩形的性质及30°角的直角三角形的性质可求解AB，OE，AE，结合折叠的性质可求解AD的长，进而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF，进而求解D点坐标． 【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴， ∵四边形AOCB为矩形， ∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC， ∵∠BAC＝30°， ∴AC＝12，OC＝AB， 由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB， ∴∠OAE＝30°， ∴OE，AE， ∴ED， ∵DF∥y轴， ∴∠EDF＝∠EAO＝30°， ∴EF，DF＝3， ∴OF＝OE+EF， ∴D点坐标为（，﹣3）， 故选：B． 13．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 【分析】由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，则∠AEA′＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，所以64°+2∠B′EM＝180°，求得∠B′EM＝58°，则∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝32°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°， ∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM， ∵点A′，B′，E在同一直线上， ∴∠AEA′+∠BEB′＝180°， ∴64°+2∠B′EM＝180°， ∴∠B′EM＝58°， ∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°， 故选：B． 14．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】由折叠性质和平行可得∠EFH＝160°，从而求得∠EFS∠EFH＝80，即可求解． 【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝25°， ∵AD∥BC， ∴FH∥EG． ∴∠GEF+∠EFH＝180°， ∴∠EFH＝160°， ∴∠EFS∠EFH＝80°， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠1＝20°， ∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝60°， 故选：D． 15．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　30　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 16．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G． （1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数． 【分析】（1）先证明四边形AGCF是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可； （2）由折叠的性质可得∠ACG＝25°，∠ACB＝40°，从而可求出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， 又∵CG∥AF ∴四边形AGCF是平行四边形 ∵AB∥CD， ∴∠FCA＝∠GAC， 由折叠得，∠GAC＝∠FAC， ∴∠FCA＝∠FAC， ∴FC＝FA， ∴四边形AFCG是菱形， ∴小明说得对， （2）∵四边形AFCG是菱形， ∴∠FCA＝∠GCA， 由折叠得，∠ACB＝∠ACE， ∴∠GCB＝∠FCE＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCG＝50°， ∴， ∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°． 17．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 【分析】（1）由折叠性质得AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形； （2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论． 【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE， ∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴AD＝AE＝A′E＝A′D， ∴四边形AEA′D是菱形， ∵∠A＝90°， ∴四边形AEA′D是正方形； （2）解：MC′＝ME． 证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°， 由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′， ∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′， 又EC′＝C′E， 在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中， ， ∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL）， ∴∠C′EA＝∠EC′B′， ∴MC′＝ME． 类型三：菱形中的折叠问题 18．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝4，由折叠的性质可得BE＝EC＝2，AE⊥BC，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4， ∵将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合， ∴BE＝EC＝2，AE⊥BC， ∴AE2， 故选：C． 19．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵DC′是AB的垂直平分线， ∴P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：D． 20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　75°　． 【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，然后再计算出∠FBC＝30°，再证明FB＝BC，再利用等边对等角可得∠BFC＝∠BCF，利用三角形内角和可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC， ∵∠A＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠FBC＝30°， 根据折叠可得AB＝BF， ∴FB＝BC， ∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°， 故答案为：75°． 21．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质可得∠ABC＝120°，根据折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，再根据∠BFBC比∠ABE大80°可列出方程组． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°， ∴∠ABC＝120°， 由折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°， ∵设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，∠BFBC比∠ABE大80°， ∴可列方程组． 故选：D． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为　30°　． 【分析】首先连接AC，BD，相交于点O，由在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，可求得∠ADC＝60°，又由以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，即可求得∠DEF的度数，继而求得答案． 【解答】解：连接AC，BD，相交于点O， ∵在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2， ∴OA＝1，0D，AC⊥BD， ∴tan∠ADO， ∴∠ADO＝30°， ∴∠ADC＝2∠ADO＝60°， ∵ED⊥ED′， ∴∠DEF∠DED′＝45°， ∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠ADC＝75°， ∴∠D′FE＝′DFE＝75°， ∴∠D′FC＝180°﹣∠DFE﹣∠D′FE＝30°． 故答案为：30°． 23．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　75　°． 【分析】先根据菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，由等边对等角得到∠DAC＝∠DCA，根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°．根据平行线的性质得出∠BAD′＝∠DCA＝30°．由翻折的性质得出AD＝AD′，那么AB＝AD′，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠D＝120°， ∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°． ∵CD∥AB， ∴∠BAD′＝∠DCA＝30°． ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD＝AD′， ∴AB＝AD′， ∴∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°． 故答案为75． 24．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F． （1）求证：四边形BCEF为平行四边形． （2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数． 【分析】（1）根据∠FDA＝90°，∠ACB＝90°，证明FD∥BC，得到结论； （2）根据菱形的性质证明∠CBE＝2∠EAC，得到∠A的度数． 【解答】（1）证明：由题意得，∠FDA＝90°， 又∠ACB＝90°， ∴FD∥BC，又BF∥CE， ∴四边形BCEF为平行四边形； （2）四边形BCEF为菱形， ∴CE＝CB，∴∠CEB＝∠CBE， ∵∠EAC＝∠ECA，∴∠CEB＝2∠EAC， ∴∠CBE＝2∠EAC，又∠ACB＝90°， ∴∠A＝30°． 类型四：正方形中的折叠问题 25．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小． 【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°， ∴∠BEF＝69+45＝114°， 由折叠的性质可知：∠BEA∠BEF＝57°， ∴∠BAE＝90﹣57＝33°， ∴∠EAC＝45﹣33＝12°． 故选：B． 26．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】折叠后，四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，同时∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，所以∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°，根据四边形内角和360°即可求得∠MNC'的度数． 【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN， 且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°， ∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70° 由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°， ∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110° 故选：B． 27．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝　45°　． 【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°， 由折叠的性质得：∠AEM＝∠B＝90°， ∴∠CEM＝90°， ∴∠CME＝90°﹣45°＝45°； 故答案为：45°． 28．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时． 求证： （1）∠ECG＝45°； （2）AF∥CG． 【分析】（1）根据HL证Rt△BCG≌Rt△FCG，再根据折叠的性质即可得出∠ECG∠BCD＝45°； （2）根据（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，即GF＝BG＝AG，再利用外角的性质可得出∠AFG＝∠CGF，即可得出结论． 【解答】证明：（1）由折叠知，CD＝CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝CD＝CF， 在Rt△BCG和Rt△FCG中， ， ∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL）， ∴∠BCG＝∠FCG， 又∵∠FCE＝∠DCE， ∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE∠BCD＝45°， 即∠ECG＝45°； （2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG， 即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB， ∴∠GAF＝∠GFA， ∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA， ∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA， ∴AF∥CG． 29．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？ 【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理得出AE的长，进而求出EN的长，再利用勾股定理求出FN的长，进而求出DF即可． 【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K， ∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE， ∴BE＝2， ∴AE＝2， ∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF， ∴BF⊥AE， ∴AB×BE＝BK×AE， ∴KB＝KF， 设EN＝x，则22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2， 解得：x， 故FN， 则DM＝6，FM＝NC＝6﹣2， 则DF． 30．阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　∠B+∠D＝180°　关系时，仍有EF＝BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D＝180°时，得出EF＝BE+DF， （2）把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．通过证明△AEG≌△AED得到：DE＝EG．结合 CG＝BD，利用勾股定理推知BD2+EC2＝DE2．则易求． 【解答】解：（1）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF； 如图， ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC+∠B＝180°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， 即：EF＝BE+DF． （2）如图， ∵AB＝AC， ∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合． ∠B＝∠ACG， BD＝CG， AD＝AG ∵△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°． 即∠ECG＝90°． ∴EC2+CG2＝EG2． 在△AEG与△AED中， ∠EAG＝∠EAC+∠CAG＝∠EAC+∠BAD＝90°﹣∠EAD＝45°＝∠EAD． 又∵AD＝AG，AE＝AE， ∴△AEG≌△AED． ∴DE＝EG． 又∵CG＝BD， ∴BD2+EC2＝DE2． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$