第04讲 菱形（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第04讲 菱形 课程标准 学习目标 ①菱形的定义与性质 ②菱形的判定 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。 2. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。 知识点01 菱形的定义与性质 1. 菱形的概念： 有一组邻边 的平行四边形是菱形。 2. 菱形的性质： ①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。 特殊性： ②边的特殊性：四条边都 。 即：AB BC CD AD ③对角线的特殊性：对角线相互 且 每一组对角。 即：AC BD，且∠DAC ∠BAC ∠DCA ∠BCA， ∠ADB ∠CDB ∠ABD ∠CBD。 ④面积计算：等于对角线乘积的一半。即。 ⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（　　） A．对角线垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【即学即练2】 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 【即学即练3】 3．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（　　） A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α 【即学即练4】 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG＝2.5，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 知识点02 菱形的判定 1. 菱形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 的四边形是菱形 ∵AB BC CD AD ∴四边形ABCD是菱形 平行四边形加特殊性 邻边 的平行四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 对角线 的四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 5．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线垂直 B．两对角线相等 C．两对角线互相平分 D．两对角线互相垂直平分 【即学即练2】 6．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 题型01 用菱形的性质求线段长度 【典例1】菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点H为边AD的中点．若菱形ABCD的周长为20，则OH的长为（　　） A． B．4 C．5 D．10 【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，，BE＝1，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　 ．（提示：根据轴对称的性质） 题型02 利用菱形的性质求角的度数 【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB 垂足为E，若∠BCD＝50°，则∠BOE 的大小为（　　） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（　　） A．38° B．34° C．28° D．24° 【变式2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A．114° B．120° C．123° D．147° 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 题型03 利用菱形的性质求点的坐标 【典例1】如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　 　． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣1，﹣2），C（3，1），则点A的坐标为 　 　． 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【变式3】如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（　　） A．（1345，0） B．（1345.5，） C．（1345，） D．（1345.5，0） 题型04 菱形的判定与性质综合 【典例1】如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长． 【变式1】如图，在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A作AB∥CD，CB，AB交于点B，连接BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接BE交AC于点G，交CD于点F，若BD＝BC，CD＝4，求OG的长． 【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【变式3】如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF，EB． （1）证明：四边形ABEF是菱形； （2）若∠BAC＝120°，，求边BC的长． 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角 2．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC 3．若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝3，则S菱形ABCD为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 5．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为（　　） A．6cm B． C． D． 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 8．如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，） 9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠BAE＝∠DCF；③∠DAF＝∠FAO；④S菱形ABCD＝EF•AC，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件　 　，使四边形ABCD是菱形． 12．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠B＝60°，则A，C两点间的距离为 　 　． 第12题 第13题 第15题 13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，然后将橡皮筋两端分别固定在点A，B处，拉动橡皮筋上到C处．当四边形OACB是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则∠AOB＝　 　°． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 　 　．（只填写序号） 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点P是线段BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F．若AB＝4，则PE+PF的值为 　 　． 16．已知：四边形ABCD是菱形，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF，连接AE，AF． （1）如图1，求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 17．如图，在▱ABCD中，两条对角线交于点O，且AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OA＝3，OD＝4，求四边形ABCD的周长． 18．周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF． （1）求证：四边形外框AECF是菱形； （2）若外框AECF的周长为160cm，EF＝64cm，BE＝14cm，求AB的长． 19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求△BDE的面积． 20．如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD． （1）下列条件： ①D是BC边的中点； ②AD是△ABC的角平分线； ③点E与点F关于直线AD对称． 请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 菱形 课程标准 学习目标 ①菱形的定义与性质 ②菱形的判定 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。 2. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。 知识点01 菱形的定义与性质 1. 菱形的概念： 有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形。 2. 菱形的性质： ①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。 特殊性： ②边的特殊性：四条边都 相等 。 即：AB = BC = CD = AD ③对角线的特殊性：对角线相互 垂直 且 平分 每一组对角。 即：AC ⊥ BD，且∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠DCA ＝ ∠BCA， ∠ADB ＝ ∠CDB ＝ ∠ABD ＝ ∠CBD。 ④面积计算：等于对角线乘积的一半。即。 ⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 【即学即练1】 1．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（　　） A．对角线垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断． 【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意； B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意； C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意； D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AOAC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AEAC•BD可得答案． 【解答】解：连接BD，交AC于O点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴AC⊥BD，AOAC，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°， ∵AC＝6， ∴AO＝3， ∴BO4， ∴DB＝8， ∴菱形ABCD的面积是AC•DB6×8＝24， ∴BC•AE＝24， ∵BC＝AB＝5， ∴AE， 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（　　） A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α 【分析】证出△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，得出∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，得出∠AFE＝60°，可得出答案． 【解答】解：连接AC，EF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD． ∴∠B+∠BCD＝180°． ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE． ∴∠BAE＝∠CAF＝α． ∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α， ∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF， ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°， ∵∠AFC＝∠FAD+∠D， ∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α， ∴∠CEF＝α， 不能证出∠AFD＝90°﹣α， 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG＝2.5，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 【分析】根据菱形的性质和已知条件可得OG是Rt△AOB斜边上的中线，由此可求出AB的长，再根据勾股定理可求出OA的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【解答】解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AC＝2AO，， ∵OG＝2.5，BD＝8， ∴AB＝2OG＝5，BO＝4， ∴， ∴AC＝2AO＝6， ∴菱形ABCD的面积是． 故选：C． 知识点02 菱形的判定 1. 菱形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 相等 的四边形是菱形 ∵AB = BC = CD = AD ∴四边形ABCD是菱形 平行四边形加特殊性 邻边 相等 的平行四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 对角线 相互垂直 的四边形是菱形 ∵在▱ABCD中，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 5．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线垂直 B．两对角线相等 C．两对角线互相平分 D．两对角线互相垂直平分 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【解答】解：能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 故选：D． 【即学即练2】 6．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】根据平行线的性质得出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定得出△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质得出OE＝OF，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线求出AE＝CE，即可得出答案． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AC的垂直平分线是EF， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AFCE是菱形． 题型01 用菱形的性质求线段长度 【典例1】菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【分析】首先根据菱形的性质可得AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，进而得到AO和BO的长，然后再利用勾股定理计算出AB长，再计算菱形的周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴AO＝4cm，BO＝3cm， ∴AB5cm， ∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm， 故选：B． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点H为边AD的中点．若菱形ABCD的周长为20，则OH的长为（　　） A． B．4 C．5 D．10 【分析】由菱形的性质得AB＝CB＝CD＝AD，AC⊥BD，则∠AOD＝90°，由AB+CB+CD+AD＝4AD＝20，求得AD＝5，而点H为边AD的中点，则OHAD，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AB＝CB＝CD＝AD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB+CB+CD+AD＝4AD＝20， ∴AD＝5， ∵点H为边AD的中点， ∴OHAD， 故选：A． 【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，则∠AOD＝90°，因为F是线段AD的中点，OF，所以OFAD，则AB＝AD＝5，而OA＝4，则AC＝2OA＝8，OD3，所以BD＝2OD＝6，由S菱形ABCD＝5DE8×6，求得DE，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∴∠AOD＝90°， ∵F是线段AD的中点，OF， ∴OFAD， ∴AB＝AD＝5， ∵OA＝4， ∴AC＝2OA＝8，OD3， ∴BD＝2OD＝6， ∵S菱形ABCD＝5DE8×6， ∴DE， 故选：D． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，，BE＝1，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证明△ABD是等边三角形，再根据ASA证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，进而可求解AB的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°， ∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝∠DBC＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵BE＝1， ∴BD＝AB＝AE+BE1． 故选：C． 【变式4】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质） 【分析】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC，BD互相垂直平分， ∴点B关于AC的对称点为D， ∴FD＝FB， ∴FE+FB＝FE+FD≥DE． 只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短）， △ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∵E为AB的中点， ∴DE⊥AB， ∴AEAD＝1，DE， ∴EF+BF的最小值为． 题型02 利用菱形的性质求角的度数 【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB 垂足为E，若∠BCD＝50°，则∠BOE 的大小为（　　） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【分析】由菱形的性质得∠BAD＝∠BCD＝50°，AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAO＝∠DAO＝25°，∠AOB＝90°，而OE⊥AB 于点E，即可由∠BOE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，推导出∠BOE＝∠BAO＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠BAD＝∠BCD＝50°，AB＝AD，AC⊥BD， ∴∠BAO＝∠DAO∠BAD＝25°，∠AOB＝90°， ∵OE⊥AB 于点E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠BOE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BOE＝∠BAO＝25°， 故选：B． 【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（　　） A．38° B．34° C．28° D．24° 【分析】首先根据菱形的一组邻角互补可以求出∠ABC＝124°，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、OB＝OD，所以可得∠BDH＝28°，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得HO＝DO，根据等边对等角可得∠DHO＝∠BDO＝28°． 【解答】解：如下图所示， 由菱形性质可得∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝56°， ∵∠ABC＝124°， ∴， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 在Rt△DBH中，∠BDH＝90°﹣∠DBH＝90°﹣62°＝28°， ∵OB＝OD， ∴点O是BD的中点， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDO＝28°． 故选：C． 【变式2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A．114° B．120° C．123° D．147° 【分析】由菱形的性质求得∠DBC＝33°，∠AOD＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，求得∠DOE＝33°，据此求解即可． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝66°， ∴，∠AOD＝90°，O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠DOE＝∠DBC＝33°， ∴∠AOE＝90°+33°＝123°， 故选：C． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【分析】连接AC，根据菱形的性质证得AC⊥BD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE，AB＝CB，进而得到∠EAD＝90°，证明△ABE≌△CBE（SAS），得到AE＝EC＝EF，由等腰三角形的性质得到∠EFA＝∠EAD＝90°，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 题型03 利用菱形的性质求点的坐标 【典例1】如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　（2，4）　． 【分析】过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 【解答】解：过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E， ∴AD∥BE，∠ADO＝90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB，AB∥OC， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴AD＝4，OD＝3， ∴， ∴BE＝4，AB＝DE＝5， ∴OE＝DE﹣OD＝2， ∴点B（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣1，﹣2），C（3，1），则点A的坐标为 　（﹣1，3）　． 【分析】过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N，由勾股定理求出BC＝5，再由菱形的性质得AB＝BC＝5，即可解决问题． 【解答】解：如图，过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N， ∵B（﹣1，﹣2），C（3，1）， ∴BN＝1，BF＝EM＝2，MN＝3，CE＝1， ∴BM＝MN+BN＝3+1＝4，CM＝CE+EM＝1+2＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC5， ∴AB＝BC＝5， ∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3， ∵AB∥y轴， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）． 【变式2】如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【分析】根据平行四边形的性质得到OB＝OD，进而得到点B与点D关于原点O对称，由此得到m＝﹣2，n＝﹣4，求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD， ∵▱ABCD的对角线交于原点O， ∴点B与点D关于原点O对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣4， ∴m+n＝﹣6， 故选：D． 【变式3】如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（　　） A．（1345，0） B．（1345.5，） C．（1345，） D．（1345.5，0） 【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2017＝336×6+1，因此点B1向右平移1344（即336×4）即可到达点B2017，根据点B5的坐标就可求出点B2017的坐标． 【解答】解：连接AC，如图所示． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB＝BC＝OC． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC＝AB． ∴AC＝OA． ∵OA＝1， ∴AC＝1． 画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2017＝336×6+1， ∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017． ∵B1的坐标为（1.5，）， ∴B2017的坐标为（1.5+1344，）， ∴B2017的坐标为（1345.5，）． 故选：B． 题型04 菱形的判定与性质综合 【典例1】如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出CE，进而利用菱形面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵O是边AC上的中点， ∴AO＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BA＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， 由勾股定理可知，， 由（1），可得BC＝CD＝5， ∴BE＝BC+CE＝8， 在 Rt△DBE 中，， ∵， ∴． 【变式1】如图，在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A作AB∥CD，CB，AB交于点B，连接BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接BE交AC于点G，交CD于点F，若BD＝BC，CD＝4，求OG的长． 【分析】（1）由∠ACE＝90°，点D是AE的中点，得CD＝ADAE，由CB∥AE，AB∥CD，证明四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形； （2）由菱形的性质得AC⊥BD，BC＝CD，则BD∥CE，可证明四边形BCED是平行四边形，而BD＝BC，CD＝4，则四边形BCED是菱形，BD＝BC＝CD＝4，所以OB＝ODBD＝2，∠CBD＝60°，BE⊥CD，求得∠DBF＝30°，则BG＝2OG，由OBOG＝2，求得OG． 【解答】（1）证明：∵∠ACE＝90°，点D是AE的中点， ∴CD＝AD＝EDAE， ∵CB∥AE， ∴CB∥AD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC＝CD， ∴∠BOC＝∠ACE＝90°， ∴BD∥CE， ∵CB∥DE， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵BD＝BC，CD＝4， ∴四边形BCED是菱形，BD＝BC＝CD＝4， ∴OB＝ODBD＝2，∠CBD＝60°，BE⊥CD， ∴∠DBF＝∠CBF∠CBD＝30°， ∴BG＝2OG， ∵OBOG＝2， ∴OG， ∴OG的长是． 【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD，然后由矩形的在得CE＝OD，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 【变式3】如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF，EB． （1）证明：四边形ABEF是菱形； （2）若∠BAC＝120°，，求边BC的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质得，则∠FAE＝∠FEA，又AC＝2AB，则AB＝AF＝EF，从而证明BA∥EF，即可证明四边形ABEF是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； （2）作BH⊥AC交CA延长线于点H，则∠AHB＝90°，通过勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∵点F是AC中点， ∴， ∴∠FAE＝∠FEA， ∵AC＝2AB， ∴AB＝AF＝EF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∴∠BAE＝∠FEA， ∴BA∥EF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：作BH⊥AC交CA延长线于点H，则∠AHB＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAH＝60°， ∴∠ABH＝30°， ∴， ∵AC＝2AB， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：， ∴BC的长为14． 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角 【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：根据菱形的性质、平行四边形的性质分别判定： A、菱形、平行四边形的两组对边都相等，不符合题意； B、菱形、平行四边形的两组对边都平行，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意； D、菱形、平行四边形不一定都有一个角是直角，不符合题意； 故选：C． 2．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，可证明四边形ABCD是矩形，但不一定是菱形，可判断A不符合题意；由平行四边形的性质得AB＝DC，AD∥BC，但由AB＝DC或AD∥BC不能证明四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意，D不符合题意；由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，可证明四边形ABCD是菱形，可判断C符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，但不一定是菱形， 故A不符合题意； ∵平行四边形的两组对边分别相等， ∴AB＝DC，但由AB＝DC不能证明四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∴四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故C符合题意； ∵平行四边形的两组对边分别平行， ∴AD∥BC，但由AD∥BC不能证明四边形ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 3．若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【分析】根据菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵菱形ABCD的边AB的长为2cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2cm， ∴菱形ABCD的周长为4×2＝8（cm）， 故选：D． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝3，则S菱形ABCD为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝3可得BD＝6，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH， ∵OA＝4，OH＝3， ∴AC＝8，BD＝6， ∴菱形ABCD的面积AC•BD8×6＝24． 故选：C． 5．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为（　　） A．6cm B． C． D． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD，因此四边形ABCD的周长为：cm． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵两张纸条宽度均为3cm， ∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm， ∴AD， 四边形ABCD的周长为：cm． 故选：C． 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝6，进而得到OA＝3，由三线合一定理得到∠OAP＝30°，则可求出，利用勾股定理得到，则． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， ∴OA＝3， ∵AF⊥BC， ∴∠OAP＝30°， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 7．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 8．如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，） 【分析】过C作CN⊥x轴于N，由勾股定理求出OC5，由菱形的性质推出AC∥BO，由勾股定理求出BM3，得到OM＝OB﹣MB＝5﹣3＝2，因此点A的坐标为（﹣2，4）． 【解答】解：过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M， ∵点C的坐标为（3，4）， ∴ON＝3，CN＝4， ∴OC5， ∵四边形ABOC是菱形， ∴AC＝OC＝5，AC∥BO， ∴点A的坐标为（﹣2，4）． 故选：C． 9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】连接DP，连接PF，连接DF，证明MNDF，求出DF的最小值，可得结论． 【解答】解：连接DP，连接PF，连接DF， ∵MA＝CM，EN＝BN， ∴点M在线段PD上，点N在线段PF上， ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形， ∴点M是DP中点，点N是PF中点， ∴MN是△PDF的中位线， ∴MNDF， 当DF最小时，MN最小， DF的最小值为DF垂直BF时， ∵∠DAB＝60°， ∴DF的最小值为4， ∴MN的最小值为2． 故选：B． 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠BAE＝∠DCF；③∠DAF＝∠FAO；④S菱形ABCD＝EF•AC，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据菱形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，求得AC⊥EF，根据线段中点的定义得到OE，OF，求得OE＝OF，根据菱形的判定定理得到四边形AECF是菱形，故①正确；根据菱形的性质得到AB∥CD，求得∠BAC＝∠DCA，同理可证∠EAC＝∠FCA，得到∠BAE＝∠DCF，故②正确；无法证明∠DAF＝∠FAO成立，故③不正确；根据菱形的面积公式得到S菱形ABCDBD•AC，OB＝OD，求得OB＝2OE，OD＝2OF，于是得到S菱形ABCD＝EF•AC，故④正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE，OF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是菱形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 同理可证∠EAC＝∠FCA， ∴∠BAE＝∠DCF，故②正确； 无法证明∠DAF＝∠FAO成立，故③不正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴S菱形ABCDBD•AC，OB＝OD， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OB＝2OE，OD＝2OF， ∴BD＝OB+OD＝2（OE+OF）＝2EF， ∴S菱形ABCD＝EF•AC，故④正确． 故选：C． 11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件　AB＝AD（答案不唯一）　，使四边形ABCD是菱形． 【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB＝AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【解答】解：添加AB＝AD（答案不唯一）， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 12．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠B＝60°，则A，C两点间的距离为 　2　． 【分析】由题意可知AB＝CB＝CD＝AD，连接AC，因为∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB＝2， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 连接AC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴A，C两点间的距离为2， 故答案为：2． 13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，然后将橡皮筋两端分别固定在点A，B处，拉动橡皮筋上到C处．当四边形OACB是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则∠AOB＝　60　°． 【分析】根据题意，可推导出△ABC为等边三角形，利用菱形性质得到∠AOB＝∠C＝60°即可． 【解答】解：∵四边形AOBC为菱形， ∴AC＝BC＝OB＝AO， ∵AC+BC＝2AB， ∴AC＝AB＝BC， ∴∠C＝60°， ∵四边形AOBC为菱形， ∴∠AOB＝∠C＝60°， 故答案为：60． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 　①③　．（只填写序号） 【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可． 【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确； ∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是矩形，故②错误； ∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故③正确； ∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形， 不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误； 故答案为：①③． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点P是线段BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F．若AB＝4，则PE+PF的值为 　2　． 【分析】连接AC交BD于O，连接AP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，∠ABO，根据直角三角形的性质得到AOAB＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：如图，连接AC交BD于O，连接AP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，∠ABO， ∴∠AOB＝90°， ∴AOAB＝2， ∴， ∵S△ABDS菱形ABCD＝S△ABP+S△ADP， ∴4×EP4×PF， ∴PE+PF＝2， 故答案为：2． 16．已知：四边形ABCD是菱形，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF，连接AE，AF． （1）如图1，求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，∠B＝∠D，再证明△ABE≌△ADF（SAS），即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，则△ABC、△ADC是等腰三角形，再由全等三角形的性质得AE＝AF，则△AEF是等腰三角形，然后证明CE＝CF，得△CEF是等腰三角形即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF； （2）解：图中一定是等腰三角形的为：△ABC、△ADC、△AEF、△CEF，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC、△ADC是等腰三角形， 由（1）可知，△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF， 即CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形． 17．如图，在▱ABCD中，两条对角线交于点O，且AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OA＝3，OD＝4，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）由角平分线与平行的性质可证明出AD＝DC，即可得出结论； （2）先由勾股定理计算出AD的长度，再由周长公式即可算出． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA． ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD．， ∵OA＝3，OD＝4， ∴， ∴四边形ABCD的周长＝4AD＝20． 18．周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF． （1）求证：四边形外框AECF是菱形； （2）若外框AECF的周长为160cm，EF＝64cm，BE＝14cm，求AB的长． 【分析】（1）证明△ABE≌△CBE（SAS），得AE＝CE，同理AE＝AF，CE＝CF，则AE＝CE＝CF＝AF，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接AC，交EF于点O，由菱形的性质得AE＝40cm，OE＝OF＝32cm，AC⊥EF，再由勾股定理得OA＝24cm，然后由勾股定理求出AB的长即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE， 同理：AE＝AF，CE＝CF， ∴AE＝CE＝CF＝AF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：如图，连接AC，交EF于点O， ∵四边形AECF是菱形，周长为160cm，EF＝64cm， ∴AE＝40cm，OE＝OF＝32cm，AC⊥EF， ∴OB＝OE﹣BE＝32﹣14＝18（cm），∠AOB＝90°， ∴OA24（cm）， ∴AB30（cm）， 即AB的长为30cm． 19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求△BDE的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ADB＝∠CBD，而∠ABD＝∠CBD，所以∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是菱形； （2）先证明四边形ACED是平行四边形，则CE＝AD＝BC，由菱形的性质得AC⊥BD，则∠BDE＝∠BFC＝90°，推导出DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3，则BE＝2CD＝6，求得BD12，则S△BDEBD•DE＝36． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD＝BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BDE＝∠BFC＝90°， ∵AC＝6，CD＝3， ∴DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3， ∴BE＝2CD＝6， ∴BD12， ∴S△BDEBD•DE12×6＝36， ∴△BDE的面积为36． 20．如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD． （1）下列条件： ①D是BC边的中点； ②AD是△ABC的角平分线； ③点E与点F关于直线AD对称． 请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长． 【分析】（1）证四边形AEDF是平行四边形，∠ADE＝∠DAF，再由条件②证AE＝DE，或由条件③证AE＝AF，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AF＝DF＝DE＝AE＝2，再证△BDE∽△BCA，得，即可解决问题． 【解答】解：（1）选择条件②： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA， ∴∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF， ∴平行四边形AFDE是菱形； 选择条件③， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵点E与点F关于直线AD对称， ∴DE＝DF， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）∵四边形AFDE是菱形，AE＝4， ∴AE＝AF＝DE＝4， ∴AC＝AF+CF＝6， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BCA， ∴， 即， ∴BE＝8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$