第02讲 中位数和众数（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 中位数和众数 课程标准 学习目标 ①中位数 ②众数 ③平均数、中位数和众数的综合 1. 掌握中位数的求法并能够熟练的求一组数据的中位数。 2. 掌握众数的求法并能够熟练的求一组数据的众数。 3. 掌握平均数、中位数和众数的基本特点，能熟练的根据题目要求选择合适的数据表达。 知识点01 中位数 1. 中位数： 将一组数据按照 从小到大（或从大到小） 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间 位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则 中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数。 【即学即练1】 1．某小组6名成员的英语口试成绩（满分50分）依次为：45，43，43，47，50，46，这一组数据的中位数是（　　） A．43 B．45 C．45.5 D．46 【分析】将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．据此解答即可． 【解答】解：将这组数据从小到大顺序排列为43，43，45，46，47，50， ∴中位数为， 故选：C． 【即学即练2】 2．有一组数据：35，40，38，36，42，42，75．这组数据的中位数是（　　） A．40 B．37 C．36 D．39 【分析】根据中位数的定义解答．注意中位数需先排序，再确定． 【解答】解：把这组数据按从小到大排序为：35，36，38，40，42，42，75， 中位数为40． 故选：A． 【即学即练3】 3．某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（人） 5 18 14 3 则这40名同学年龄的中位数是（　　） A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁 【分析】根据中位数的定义计算第20和21个数的平均数，即可得出答案． 【解答】解：∵该班有40名同学， ∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数， ∵排序后12岁的5人，13岁的18人， ∴第20和第21个数据为13岁，13岁， ∴这个班同学年龄的中位数是13岁． 故选：B． 知识点02 众数 1. 众数： 一组数据中出现次数 最多 的那个数据就是这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 【即学即练1】 4．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37，33，29，32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（　　） A．29岁 B．32岁 C．33岁 D．35岁 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：∵32出现了2次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是32． 故选：B． 知识点03 平均数、中位数以及众数的综合 1. 平均数、中位数和众数的综合： 优点 缺点 平均数 平均数代表平均水平，与每一个数据都有关，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。 在计算平均数时，所有的数据都参与计算，它极易受极端值的影响。 中位数 中位数不会受到个别极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动很大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。 不能充分利用各数据的信息。 众数 众数考察的各个数据出现的频率，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 当各个数据重复出现的次数大致相同时，众数基本上就没有意义。 联系 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数据 【即学即练1】 5．为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数； （2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以2000即可得到结果； （3）根据中位数和众数的意义进行回答即可． 【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100 ∴a＝5，b91，c＝100； （2）估计成绩不低于9（0分）的人数是27001755（人）， 答：估计成绩不低于9（0分）的人数是1755人； （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是9（1分）， 众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多． 题型01 求数据的中位数 【典例1】下列一组数据5，3，4，5，3，3的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】先求题目中的数据按照从小到大排列，然后即可求出该组数据的中位数． 【解答】解：将数据5，3，4，5，3，3从小到大排列为：3，3，3，4，5，5， ∴中位数为：， 故选：B． 【变式1】已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（　　） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【分析】根据中位数的定义计算即可． 【解答】解：根据题意，得数据排序如下：2，2，3，4，5， 中位数是第3个数据，即3， 故选：D． 【变式2】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（　　） A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9 【分析】将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．根据中位数的概念求解即可． 【解答】解：由题意可得：中位数处在最中间为第23位， ∵1+4+4+7＝16，1+4+4+7+11＝27， ∴中位数落4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 【变式3】数学课上，老师布置了10道选择题作为达标练习，玲玲将全班同学的解题情况绘成如图所示的统计图，根据图表可知对题数量的中位数是（　　） A．18 B．23 C．8 D．9 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：总共的人数有6+18+23+3＝50（人）， 中位数应该是排序后第25和26个数据的平均数，从图上可看出排序后第25和26个数据应该落在了做对9道题中， 所以中位数为9×2÷2＝9． 故选：D． 【变式4】一组数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．2 B．﹣4 C．6 D．﹣8 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【解答】解：∵数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6， ∴x＝6， 则数据重新排列为﹣8、﹣4、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A． 题型02 求数据的众数 【典例1】一组数据3、3、4、5、6，它们的众数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 【解答】解：这组数出现次数最多的是，3， ∴这组数的众数是3． 故选：A． 【变式1】某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为（　　） A．75 B．86 C．89 D．90 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据中，89出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数为89， 故选：C． 【变式2】某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的众数是（　　） A．1册 B．2册 C．3册 D．4册 【分析】从图中得到2册出现的次数最多，即为答案． 【解答】解：有10人阅读书籍1册， 有14人阅读书籍2册， 有13人阅读书籍3册， 有3人阅读书籍4册， ∴该班阅读书籍的册数的众数为2册， 故选：B． 【变式3】某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，并进行了统计，结果如表： 时间/h 1 2 3 4 5 人数 12 20 10 5 3 则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（　　） A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【解答】解：由表格知，阅读时间为2小时的有20人，人数最多， 所以这些学生阅读时间的众数是2； 因为共有12+20+10+5+3＝50人， 所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即2， 故选：B． 【变式4】一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．6 C．9 D．5 【分析】先根据中位数的定义列方程求出x的值，继而可得众数． 【解答】解：由题意知6， 解得x＝7， 所以这组数据为1，3，5，7，7，9， 则这组数据的众数为7， 故选：A． 题型03 根据数据的平均数、中位数和众数求值 【典例1】一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是　﹣1或3或7　． 【分析】先根据平均数的定义求出平均数，再分当x＜1时，当1≤x≤5时，当x＞5时，三种情况分别求出对应的中位数，再根据平均数和中位数相同建立方程求解即可． 【解答】解：一组数据1，3，5，x， 这组数据的平均数为， 当x＜1时，这组数据的中位数为， ∴， 解得x＝﹣1； 当1≤x≤5时，这组数据的中位数为， ∴， 解得x＝3； 当x＞5时，这组数据的中位数为， ∴， 解得x＝7； 综上所述，x的值是﹣1或3或7． 故答案为：﹣1或3或7． 【变式1】某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为x个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．11 【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答． 【解答】解：当0≤x≤6时， 由题意可得， 解得x＝﹣1（舍去）； 当6＜x≤8时， 由题意可得， 解得x＝9.5（舍去）； 当8＜x≤10时， 由题意可得， 解得x＝9.5（x为整数，故舍去）； 当10＜x≤13时， 由题意可得， 解得x＝11； 当13＜x时， 由题意可得， 解得x＝11（舍去）； 故选：D． 【变式2】现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据中位数的意义求解即可． 【解答】解：将这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6，则中位数为4， 由题意可得，增加一个数x后，这列数的中位数仍不变， ①若x＜4，则中位数小于4，不符合题意，舍去， ②若x≥4，则中位数为4， 综上所述，x的取值范围为x≥4， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【变式3】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据中位数的定义分析判断即可． 【解答】解：数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m， ∴数据按大小排序为：1，2，m，m，5，7， ∴整数m可能是2，3，4，5， ∴整数m可能的值有4个． 故选：D． 【变式4】五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐3元的同学后来又追加了a元．追加后的数据与之前的5个数据相比，中位数和众数均没有发生变化，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【分析】根据中位数和众数的定义求出追加前的中位数和众数，根据追加后中位数和众数均没有发生变化得出新数据最小的数据为4或5，即可得出答案． 【解答】解：把追加前这组数据从小到大排列为：3、5、5、6、10， ∵正中间的数据为5，出现最多的数据是5， ∴中位数为5，众数为5， ∵追加后中位数和众数均没有发生变化， ∴追加后的新数据最小的数据为4或5， ∴a的值为1或2， 故选：D． 1．在一次数学测验中，励志组10名同学的成绩分别为：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．这组成绩的中位数是（　　） A．85分 B．90分 C．87.5分 D．92.5分 【分析】根据题意可知：中位数应是第5个和第6个数据之和的平均数，然后计算即可． 【解答】解：∵一组数据为75，80，80，85，90，90，90，95，95，100， ∴该组成绩的中位数是（分）， 故选：B． 2．打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8 则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8，8.5 C．9，8 D．8，9 【分析】根据中位数、众数的定义分别求得这组数据的中位数、众数即可求解． 【解答】解：从小到大排列此数据为：7，8，8，8，8，9，9，16， 数据8出现了4次最多，为众数， 处在第4位，第5位的数都是8，中位数是（8+8）÷2＝8． 故选：A． 3．某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人， ∴这组数据的中位数为14， ∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等， ∴众数是14， 即年龄为14的人最多， ∴14岁的队员最少有4人． 故选：D． 4．如图所示表示1～7组种子发芽率，前五组种子发芽率的中位数为60%，第6组从甲、乙、丙选一个，第7组从丁、戊选一个，若这7组的种子发芽率仍为60%，则选择的可以是（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【分析】由图象可知，要使选定7组种子发芽率的中位数仍为60%，则需要选择60%以上的一组种子和60%以下的一组种子，根据选项即可得出正确的答案． 【解答】解：要使选定7组种子发芽率的中位数仍为60%，则需要选择60%以上的一组种子和60%以下的一组种子， 依题意，A．甲、丁的发芽率都超过60%，不合题意， B．乙、戊发芽率都低于60%，不合题意， C．丙、戊发芽率都低于60%，不合题意， D．乙、丁发芽率一个低于60%，一个高于60%，符合题意． 故选：D． 5．某班六个数学兴趣小组人数（单位：人）如下：5，6，■，7，8，7，其中一个数据缺失．通过查询记录，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【分析】根据题意得求出x＝3，可知这组数据为：3，5，6，7，7，8，即可求出中位数． 【解答】解：设■＝x， ∵数据5，6，■，7，8，7的平均数是6， ∴， 解得：x＝3， 所以这组数据为：3，5，6，7，7，8． 故中位数为：， 故选：A． 6．为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数（保留整数），情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（　　）人． 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【解答】解：∵1册和2册的人数和为14，中位数没有改变， ∴总人数不能超过27， ∴第二次最多抽查；27﹣24＝3（人）． 故选：B． 7．已知一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（　　） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【分析】根据众数、算术平均数和中位数的概念求解． 【解答】解：∵一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3， ∴这组数据从小到大排列为：1，1，3，5，8， ∴这一组数据的平均数为（1+1+3+5+8）÷5＝3.6， 故选：B． 8．小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．160，162 B．158，162 C．160，160 D．158，160 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据的众数为158，中位数为160， 故选：D． 9．一个小饭店所有员工的月收入情况下： 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 洗碗工 人数 1 2 2 2 3 8 2 月收入/元 4700 1900 1500 2200 1500 1400 1200 则下列说法中正确的有几个（　　） ①以上问题中一共有7个数据； ②这个饭店所有员工月收入的平均数是2057元； ③月收入的中位数是2200元； ④月收入的众数是1500元． A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据众数、中位数、加权平均数的定义求解即可． 【解答】解：①以上问题中一共有20个数据，此结论错误； ②这个饭店所有员工月收入的平均数是（4700+2×1900+2×1500+2×2200+3×1500+8×1400+2×1200）＝1700（元），此结论错误； ③月收入的中位数是1450（元），此结论错误； ④月收入的众数是1400元，此结论错误． 故选：A． 10．某班在统计全班45人的体重时，算出中位数与平均数都是50千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重58千克错写成了55千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与50的大小关系，据此可得答案． 【解答】解：原数据中58＞中位数50， 新数据中55＞中位数50， 所以中位数a＝50不变， 新数据比原数据少了58﹣55＝3， 而数据的个数没有变化， 所以正确平均数b＞50，则a＜b， 故选：A． 11．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是　158　． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【解答】解：排列为：130，141，158，179，192， ∴中位数是158， 故答案为：158． 12．某青年排球队12名队员的年龄情况如下表： 年龄 18 19 20 21 22 人数 1 x y 2 2 其中x＞y，中位数为20，则这个队队员年龄的众数是 　19　． 【分析】先求出x+y＝7，再根据x＞y，由众数的定义即可求出这个队队员年龄的众数． 【解答】解：依题意有x+y＝12﹣1﹣2﹣2＝7， ∵x＞y， ∴x≥4， ∴这个队队员年龄的众数是19． 故答案为：19． 13．一组数据8，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是 　3　． 【分析】根据众数的定义求出x，再计算平均数． 【解答】解：若每个数据都是这组数据的众数，则x＝8， 所以这组数据的平均数是：[8+8+3+3+（﹣2）+（﹣2）]÷6＝3． 故答案为：3． 14．在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数 　＞　乙班学生参赛成绩的中位数（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】分别根据折线统计图、扇形统计图求出两个班学生参赛成绩，再根据再根据中位数的定义，即可求解． 【解答】解：观察甲班参赛成绩统计图可知：甲班学生参赛成绩从小到大排列为：85分、85分、90分、90分、90分、90分、95分、95分、95分、95分、95分、100分， ∴甲班学生参赛成绩的中位数为分； 观察乙班参赛成绩统计图可知： ，，12﹣3﹣3﹣4＝2， ∴乙班学生参赛成绩从小到大排列为85分、85分、85分、90分、90分、90分、90分、95分、95分、95分、100分、100分， ∴乙班学生参赛成绩的中位数为分； 综上所述，对于甲、乙两班学生参赛成绩的中位数，甲班比乙班大． 故答案为：＞． 15．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计 频数 8 17 b 15 a 频率 0.08 0.17 c 0.15 1 表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为0.31； ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是 　①②　． 【分析】①根据数据总和＝频数÷频率，列式计算可求a的值； ②根据4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35，可求4≤x＜6的频率范围，进一步得到c的值的范围，从而求解； ③根据中位数的定义即可求解； ④根据加权平均数的计算公式即可求解． 【解答】解：①8÷0.08＝100． 故表中a的值为100，是合理推断； ②25÷100＝0.25， 35÷100＝0.35， 1﹣0.08﹣0.17﹣0.35﹣0.15＝0.25， 1﹣0.08﹣0.17﹣0.25﹣0.15＝0.35， 故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断； ③∵表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35． ∴8+17+25＝50，8+17+35＝60， ∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4～6之间，也可能在6～8之间，故此推断不是合理推断； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断． 故答案为：①②． 16．锂电池的循环次数是指完成一个完整的充放电周期的次数，它是衡量电池寿命的重要指标．某企业为了解一批锂电池的循环次数，从中随机抽取了200块进行检测，数据整理如下： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 循环次数t/次 800≤t＜1000 1000≤t＜1200 1200≤t＜1400 t≥1400 频数 20 30 100 50 （1）样本中循环次数的中位数所在组别为　第三组　； （2）已知这批锂电池有10000块，请估计循环次数不低于1400次的锂电池数量． 【分析】（1）根据统计表的数据，中位数的计算方法，判断即可； （2）利用样本估计总体进行求解即可． 【解答】解：（1）∵样本数量为200， ∴中位数是第100个和第101个数据的平均数． ∵前两组的频数之和为20+30＝50；前三组频数之和为20+30+100＝150， ∴第100个和第101个都在第三组， 故答案为：第三组； （2）∵样本中循环次数不低于1400次的频数是50，样本总数是200， ∴频率为． ∵这批锂电池总数为10000块， ∴循环次数不低于1400次的锂电池数量估计为10000×0.25＝2500块． 17．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生某天使用共享单车的情况，并整理成如图表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 1 9 14 13 11 2 根据以上表格信息，解答下列问题： （1）被抽取的这部分出行学生这天使用共享单车的中位数是　3　，众数是　2　； （2）被抽取的这部分出行学生这天平均每人使用共享单车多少次？ （3）若该校某天有1000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？ 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）用总人数乘样本中使用共享单车次数在4次及4次以上的学生所占的百分比即可． 【解答】解：（1）调查的总人数为5+7+12+14+9+3＝50人， 将调查的50人共享单车的使用次数从小到大排列，第25个和第26个数都是3， 所以中位数为：3， 使用次数最多的是2次，共出现14人， 因此众数是2， 故答案为：3，2； （2）2.6（次）， 答：这部分出行学生平均每人使用共享单车约2.6次； （3）1000260（人）， 答：估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有260人． 18．某校王老师为了解七年级学生英语口语水平，从七年级随机抽取了20名学生进行口语测试，测试成绩满分为10分，对这20名学生的成绩进行统计、整理和分析，并绘制成如下统计图表． 已知成绩在7≤x＜8这一范围内的是：7.6，7.8，7.5，7.9． 学生成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如表： 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 b （1）填空：a＝　6　，b＝　7.7　． （2）若成绩不低于8分为优秀，则抽取的20名学生中有　8　名学生的成绩为优秀． （3）王老师对数据分析后，最终对测试成绩前十名的学生进行了奖励，其中一位学生找到王老师说：“我的成绩是7.5分，比平均数7.44分高，所以我的成绩超过一半的同学，为什么我没有拿到奖励？”假如你是王老师，请你给该学生作出合理的解释． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值； （2）根据统计图解答即可； （3）可从平均数、中位数等角度分析求解． 【解答】解：（1）由题意得， a＝20﹣3﹣5﹣4﹣2＝6， b7.7， 故答案为：6，7.7； （2）若成绩不低于8分为优秀，则抽取的20名学生中有6+2＝8（名）学生的成绩为优秀． 故答案为：8； （3）抽取的学生测试成绩的中位数为7.7，则抽取的20名学生中有一半的同学成绩不低于7.7，所以这位同学的成绩是7.5分，成绩没有超过一半的同学，不是前十名，所以没有拿到奖励． 19．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解0≤x＜70；比较了解70≤x＜80；了解80≤x＜90；非常了解90≤x≤100），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八九年级被抽取的学生得分统计表根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b （1）上述图表中a＝　82　，b＝　78　，c＝　20　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名？ 【分析】（1）根据中位数、众数以及频率的定义进行计算即可； （2）根据样本这八、九年级学生测试成绩的中位数的大小，众数的大小进行解答即可； （3）样本中，八年级学生对人工智能“非常了解”的占20%，九年级学生对人工智能“非常了解”的占，即20%，样本估计总体，利用频率＝频数÷总数进行计算即可． 【解答】解：（1）样本中，被抽取的10名八年级学生的测试成绩从小到大排列，处在第5、6位的两个数的平均数为82分，即被抽取的10名八年级学生的测试成绩的中位数是82分，也就是a＝82； 被抽取的10名九年级学生的测试成绩出现次数最多的是78分，共出现3次，所以被抽取的10名八年级学生的测试成绩的众数是78分，即b＝78； 样本中，被抽取的10名八年级学生的测试成绩在非常了解90≤x≤100的学生人数为10﹣10×10%﹣10×30%﹣4＝2（人），所占的百分比为100%＝20%，即c＝20； 故答案为：82，78，20； （2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高较好， 理由：由于平均数相同，但八年级学生测试成绩的中位数是82分，而九年级学生测试成绩的中位数是79分，因为82＞79， 所以八年级学生测试成绩较好； （3）1500×20%+1600×20%＝620（名）， 答：这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有620名． 20．2022年12月2日是第十一个“全国交通安全日”．某中学为了加强学生的交通安全意识，组织了道路交通安全常识测试，并从七、八年级中各随机抽取了20名学生的成绩，对他们的测试成绩x（分）进行了整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级20名学生的测试成绩x（分）： 70 88 75 95 75 68 69 84 86 72 61 94 99 77 78 68 59 94 88 75 八年级20名学生的测试成绩x（分）： 82 96 85 76 85 88 84 57 63 97 93 68 69 87 91 85 64 85 90 75 【整理数据】 将七、八年级学生的成绩分组整理，得到如下所示的频数分布表： 组别 人数年级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 1 4 7 a 4 八年级 1 4 2 8 5 【分析数据】 分析以上数据得到以下统计量： 统计量 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.75 76 b 八年级 c 85 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝ 　4　，b＝ 　75　，c＝ 　81　； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前50%，小强说“你的成绩在我们年级进不了前50%”，则小明是 　七　（填“七”或“八”）年级的学生； （3）若该校七、八年级各800人，估计该校七、八年级测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据七年级的总频数为20即可求出a的值，再根据平均数和众数的定义求出b、c即可； （2）根据七、八年级的中位数结合小明和小强的说法即可得到答案； （3）分别用800乘以样本中七、八年级在90分及以上的人数占比，再求和即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，a＝20﹣1﹣4﹣7﹣4＝4； ∵七年级成绩中，得分为75分的人数最多， ∴七年级的中位数为75分，即b＝75； 82+96+85+76+85＝424，88+84+57+63+97＝389， 93+68+69+87+91＝408，85+64+85+90+75＝399， ∴八年级的平均分为（分），即c＝81， 故答案为：4；75；81； （2）∵七年级的中位数为76分，八年级的中位数为85分，且小明的成绩能在本年级排到前50%，而在另外一个年级进不了前50%， ∴小明是七年级的学生， 故答案为：七； （3）360（人）， ∴估计该校七、八年级测试成绩不低于90分的学生共有360人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 中位数和众数 课程标准 学习目标 ①中位数 ②众数 ③平均数、中位数和众数的综合 1. 掌握中位数的求法并能够熟练的求一组数据的中位数。 2. 掌握众数的求法并能够熟练的求一组数据的众数。 3. 掌握平均数、中位数和众数的基本特点，能熟练的根据题目要求选择合适的数据表达。 知识点01 中位数 1. 中位数： 将一组数据按照 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则 的平均数就是这组数据的中位数。 【即学即练1】 1．某小组6名成员的英语口试成绩（满分50分）依次为：45，43，43，47，50，46，这一组数据的中位数是（　　） A．43 B．45 C．45.5 D．46 【即学即练2】 2．有一组数据：35，40，38，36，42，42，75．这组数据的中位数是（　　） A．40 B．37 C．36 D．39 【即学即练3】 3．某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（人） 5 18 14 3 则这40名同学年龄的中位数是（　　） A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁 知识点02 众数 1. 众数： 一组数据中出现次数 的那个数据就是这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 【即学即练1】 4．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37，33，29，32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（　　） A．29岁 B．32岁 C．33岁 D．35岁 知识点03 平均数、中位数以及众数的综合 1. 平均数、中位数和众数的综合： 优点 缺点 平均数 平均数代表平均水平，与每一个数据都有关，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。 在计算平均数时，所有的数据都参与计算，它极易受极端值的影响。 中位数 中位数不会受到个别极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动很大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。 不能充分利用各数据的信息。 众数 众数考察的各个数据出现的频率，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 当各个数据重复出现的次数大致相同时，众数基本上就没有意义。 联系 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数据 【即学即练1】 5．为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 题型01 求数据的中位数 【典例1】下列一组数据5，3，4，5，3，3的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式1】已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（　　） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【变式2】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（　　） A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9 【变式3】数学课上，老师布置了10道选择题作为达标练习，玲玲将全班同学的解题情况绘成如图所示的统计图，根据图表可知对题数量的中位数是（　　） A．18 B．23 C．8 D．9 【变式4】一组数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．2 B．﹣4 C．6 D．﹣8 题型02 求数据的众数 【典例1】一组数据3、3、4、5、6，它们的众数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为（　　） A．75 B．86 C．89 D．90 【变式2】某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的众数是（　　） A．1册 B．2册 C．3册 D．4册 【变式3】某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，并进行了统计，结果如表： 时间/h 1 2 3 4 5 人数 12 20 10 5 3 则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（　　） A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2 【变式4】一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．6 C．9 D．5 题型03 根据数据的平均数、中位数和众数求值 【典例1】一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是　 ． 【变式1】某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为x个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．11 【变式2】现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐3元的同学后来又追加了a元．追加后的数据与之前的5个数据相比，中位数和众数均没有发生变化，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 1．在一次数学测验中，励志组10名同学的成绩分别为：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．这组成绩的中位数是（　　） A．85分 B．90分 C．87.5分 D．92.5分 2．打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8 则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8，8.5 C．9，8 D．8，9 3．某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示表示1～7组种子发芽率，前五组种子发芽率的中位数为60%，第6组从甲、乙、丙选一个，第7组从丁、戊选一个，若这7组的种子发芽率仍为60%，则选择的可以是（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 5．某班六个数学兴趣小组人数（单位：人）如下：5，6，■，7，8，7，其中一个数据缺失．通过查询记录，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 6．为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数（保留整数），情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（　　）人． 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（　　） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 8．小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．160，162 B．158，162 C．160，160 D．158，160 9．一个小饭店所有员工的月收入情况下： 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 洗碗工 人数 1 2 2 2 3 8 2 月收入/元 4700 1900 1500 2200 1500 1400 1200 则下列说法中正确的有几个（　　） ①以上问题中一共有7个数据； ②这个饭店所有员工月收入的平均数是2057元； ③月收入的中位数是2200元； ④月收入的众数是1500元． A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 10．某班在统计全班45人的体重时，算出中位数与平均数都是50千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重58千克错写成了55千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 11．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是　 　． 12．某青年排球队12名队员的年龄情况如下表： 年龄 18 19 20 21 22 人数 1 x y 2 2 其中x＞y，中位数为20，则这个队队员年龄的众数是 　 　． 13．一组数据8，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是 　 　． 14．在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数 　 　乙班学生参赛成绩的中位数（填“＞”，“＜”或“＝”）． 15．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计 频数 8 17 b 15 a 频率 0.08 0.17 c 0.15 1 表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为0.31； ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是 　 　． 16．锂电池的循环次数是指完成一个完整的充放电周期的次数，它是衡量电池寿命的重要指标．某企业为了解一批锂电池的循环次数，从中随机抽取了200块进行检测，数据整理如下： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 循环次数t/次 800≤t＜1000 1000≤t＜1200 1200≤t＜1400 t≥1400 频数 20 30 100 50 （1）样本中循环次数的中位数所在组别为　 　； （2）已知这批锂电池有10000块，请估计循环次数不低于1400次的锂电池数量． 17．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生某天使用共享单车的情况，并整理成如图表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 1 9 14 13 11 2 根据以上表格信息，解答下列问题： （1）被抽取的这部分出行学生这天使用共享单车的中位数是　 　，众数是　 ； （2）被抽取的这部分出行学生这天平均每人使用共享单车多少次？ （3）若该校某天有1000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？ 18．某校王老师为了解七年级学生英语口语水平，从七年级随机抽取了20名学生进行口语测试，测试成绩满分为10分，对这20名学生的成绩进行统计、整理和分析，并绘制成如下统计图表． 已知成绩在7≤x＜8这一范围内的是：7.6，7.8，7.5，7.9． 学生成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如表： 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 b （1）填空：a＝　 ，b＝　 　． （2）若成绩不低于8分为优秀，则抽取的20名学生中有　 　名学生的成绩为优秀． （3）王老师对数据分析后，最终对测试成绩前十名的学生进行了奖励，其中一位学生找到王老师说：“我的成绩是7.5分，比平均数7.44分高，所以我的成绩超过一半的同学，为什么我没有拿到奖励？”假如你是王老师，请你给该学生作出合理的解释． 19．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解0≤x＜70；比较了解70≤x＜80；了解80≤x＜90；非常了解90≤x≤100），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八九年级被抽取的学生得分统计表根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b （1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名？ 20．2022年12月2日是第十一个“全国交通安全日”．某中学为了加强学生的交通安全意识，组织了道路交通安全常识测试，并从七、八年级中各随机抽取了20名学生的成绩，对他们的测试成绩x（分）进行了整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级20名学生的测试成绩x（分）： 70 88 75 95 75 68 69 84 86 72 61 94 99 77 78 68 59 94 88 75 八年级20名学生的测试成绩x（分）： 82 96 85 76 85 88 84 57 63 97 93 68 69 87 91 85 64 85 90 75 【整理数据】 将七、八年级学生的成绩分组整理，得到如下所示的频数分布表： 组别 人数年级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 1 4 7 a 4 八年级 1 4 2 8 5 【分析数据】 分析以上数据得到以下统计量： 统计量 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.75 76 b 八年级 c 85 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前50%，小强说“你的成绩在我们年级进不了前50%”，则小明是 　 　（填“七”或“八”）年级的学生； （3）若该校七、八年级各800人，估计该校七、八年级测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$