专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 12 模型3.构造轴对称图形模型 19 27 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积法，勾股定理，过点分别作、、，连接，由角平分线的性质得出，利用勾股定理求出利用三角形面积求法得出答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作、、，连接，如图： ∵点为和的角平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴点到的三边的距离相等， 即， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D到边的距离为， 故选：A． 例2．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 【答案】9 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键． 过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 例3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余、利用网格求三角形面积 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 例4．学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；② 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）①过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．根据角平分线的性质可得，，等量代换可得，根据角平分线的判定定理，即可得证； ②根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）①如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； ②∵，， ∴． ∴． ∵与的面积分别是和， ∴． ∴， 即． ∴. 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等角的余角相等，证明，可判断①；证明，可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 延长，相交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故②正确； ∵， ∴； ∴， 故③正确； ∵是底边、上的等高三角形， ∴， 过点D作于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 则正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，三角形面积的性质，熟练掌握各种性质是解题的关键． 例2．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点的周长为的面积是7，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；根据平行线的性质及角平分线的定义可得，可得 ，，由此把的周长转化为＋，进而可得到的周长，根据角平分线的性质以及的面积是，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵的周长为 ∴， ∵的面积是7 ∴，， ∴的面积为 故答案为：． 例3．如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 例4．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，是的角平分线，为上任意一点，，垂足为点，且，则点到射线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 又是的角平分线，，， ， 即点到射线的距离是3， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．9 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】先证明∠ACD＝∠EDC得到GD＝GC＝6，然后证明∠ABD＝∠EDB得到BE＝DE＝EG＋DG． 【详解】解：∵CD平分∠ACF， ∴∠ACD＝∠FCD， ∵， ∴∠FCD＝∠EDC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴GD＝GC＝6， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵， ∴∠FBD＝∠EDB， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝DE＝EG＋DG＝2＋6＝8，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分，证明BE＝DE是解决问题的关键． 3．如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 4．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 二、填空题 5．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再由等角对等边得，再由即可得解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 故答案为：5． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形的外角的性质；延长交于点，证明进而得出，根据三角形的外角的性质可得，证明是等边三角形，则，进而根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形，则 ∴ 故答案为： 8．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边． （1）利用角平分线的性质定理判断即可； （2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案． 【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等， 点是的角平分线的交点． 故答案为：角平分线； （2）共有6条线路：，，，，，， 在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 在中， 推出， 同理，，，， 最短， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，是的角平分线，点E在的延长线上，且，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见详解 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质,等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 延长相交于点，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边可得，再根据等量代换即可得证． 【详解】解：如图，延长相交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，是的角平分线，过E作交的外角的平分线于点F，交边于点G． (1)的大小为__________度； (2)求证：G为线段的中点． 【答案】(1)90 (2)见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的相关计算，等角对等边，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 （1）根据角平分线的定义可以得到，，结合，即可得出结果； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， 故答案为：90； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 为线段的中点． 11．课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见详解；（3）6；（4）见详解 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质并正确做出辅助线． 解：根据角的平分线的性质即可解答． （2）证明，根据全等三角形的性质即可证明． （3）如图，过点P作交的延长线于点H，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，，，根据四边形的面积即可求解． （4）设 中 边上的高为 ，则 ， ．过点 分别作 于点 于点 ．根据角的平分线的性质得出，结合，求两个三角形面积比即可证明． 【详解】（1）解：角的平分线有以下性质：角平分线上的点到角的两边距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作交的延长线于点H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积． （4）解： 设 中 边上的高为 ，则 ， ． 如图，过点 分别作 于点 于点 ． ∵ 是 的平分线， ， 又 ∵， ， ． 12．在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出你的猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对你的猜想给予证明） 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键． （1）过作，交于点，由为的平分线，，，可得，易证，可得，，又由，推出，根据线段的和差即可求解； （2）．在上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． （3），理由为：在上截取，连接，同（2）即可得证． 【详解】（1）过作，交于点， 如图①所示， 为的平分线，，， ， 在和中，，， ， ，， ， ， 又， ， ， 则； （2）， 理由为：在上截取，连接，如图②所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 则， 故答案为：； （3）， 理由为：在上截取，连接，如图③所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，，即， ， ， 又， ， ， 则， 故答案为：． 13．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 14．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解，（2），理由见解析；（3）2 【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接，如图， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图， 同理可证：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 12 模型3.构造轴对称图形模型 19 27 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 例3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 例4．学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点的周长为的面积是7，则的面积是 ． 例3．如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 例4．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 一、单选题 1．如图，是的角平分线，为上任意一点，，垂足为点，且，则点到射线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．9 3．如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 5．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 8．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 三、解答题 9．如图，是的角平分线，点E在的延长线上，且，交的延长线于点F，求证：． 10．如图，是的角平分线，过E作交的外角的平分线于点F，交边于点G． (1)的大小为__________度； (2)求证：G为线段的中点． 11．课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 12．在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出你的猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对你的猜想给予证明） 13．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 14．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$