专题03 遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 17 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2.如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 例3．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 例2．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 例3．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 例2．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 一、单选题 1．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 2．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 4．如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 7．如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为 . 8．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 9．如图．在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，M是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ．    10．如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．    三、解答题 11．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 12．在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O． (1)如图1，M是中点，N是中点， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，则，，之间的数量关系为______． 13．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 14．【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 15．在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 17 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例2.如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ，即， 是的中位线， ． 故答案为：． 例3．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质， （1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； （3）取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且且，根据等腰三角形的性质即可得结论； 掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：． （2）如图1，连接． 分别是边的中点， ， ． ， ， ， ， ． （3）证明：如图2，取的中点，连接． 分别是的中点， 且， 同理可得且． ， ， ， ， ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 例2．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 例3．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，求出，再由勾股定理即可得出答案； （2）延长至，使，连接、，证明，得出，，证出，由勾股定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： ，，点是斜边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ； 故答案为：5； （2）证明：延长至，使，连接、，如图2所示： 在和中，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 例2．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； [问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． [问题探究]：结论：，证明如下： 延长线，相交于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键； 连接，由，点E为的中点，根据等腰三角形的性质得到，并且，在中利用勾股定理可计算出，然后根据三角形面积公式得，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接，   ，，，点E为BC的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，求出的长，进一步求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，，                                                     ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 4．如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理算出，作点D关于的对称点F，连接，根据轴对称的性质得出，取的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线定理得出，即可求出，，根据，得出故当三点共线时，最小， 根据勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点F，连接， 则， 取的中点， ∵点E为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， 故当三点共线时， 则最小， 最小值． 故选：A． 二、填空题 6．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是等腰三角形，进一步得到则，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，与互相平分， ∴点O是与的中点，是等腰三角形， ∵点E为线段的中点， ∴，， ∴是等腰三角形，， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图．在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，M是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ．    【答案】2 【知识点】根据旋转的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用 【分析】连接．解直角三角形求出，，再根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ，， 是的中点，是的中点， ，， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 即， 的最小值为2， 故答案为：2．    【点睛】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．    【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、垂线段最短、最短路径问题 【分析】作构造，再过点O作交于点D，，所以最小，根据含直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴. 如图，过点C作，过点O作交于点D，    ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴根据垂线段最短可知： 的最小值为：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线． 三、解答题 11．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 【答案】(1)①，② (2)360 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）①连接，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，再结合已知条件证明与全等，由全等三角形的性质可得 ；②由①得：，由全等三角形的性质可得，；在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可；则可得出的面积． （2）根据题意画出图形，连接，要求的面积，同（1）②可得是等腰直角三角形，即可求出的面积． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D为中点 ∴，， 又∵ ∴， 即， 在与中 ∴ ∴ ②由①得： ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∴ ∴= （2）根据题意画出图形，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， 在中，， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，以及勾股定理的应用，等知识，掌握这些知识是解题的关键． 12．在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O． (1)如图1，M是中点，N是中点， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，则，，之间的数量关系为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①由三角形中位线定理可知，，即可证明结论； ②由中位线定理可知，，，，可证得，得，即可证明结论； （2）由题意可知，，，由（1）可知，，同理可知，设，，则，，由勾股定理可得，，，则，即：，即可得． 【详解】（1）证明：①∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴， 又∵M是中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； ②由①可知，是的中位线，是的中位线，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由题意可知，，， 由（1）可知，，同理可知， 设，，则，， ∵， ∴， ， ， 则，即：， ∴， ∴． 故答案为：． 13．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）延长至D，使，连接，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题； （3）连接，取的中点，连接，由（1）可知，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】证明：（1）延长至D，使，连接， ∵点O是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 解：（2）在中， 、分别是、的中点， ，， 在中， 是中点， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，取的中点，连接， 由（1）可知， 则点到四边形四个顶点的距离均为，即， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∴点到四边形四个顶点的距离． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 14．【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论； （2）连接，由，分别是，的中点，得，，由，分别是，的中点，得，，故，，从而四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据题意得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：（1）如图，延长到点，使，连接连接． ，， 四边形是平行四边形，平行且等于， 平行且等于． 四边形是平行四边形， 平行且等于． 又， ∴且； （2）四边形是平行四边形；理由如下： 连接，如图： ，分别是，的中点， ∴，， ，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、， 是的中点，是的中点， ，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边对等角等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 15．在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果； （2）过点作交的延长线于点，连接，证明得，，由垂直平分线的性质定理得，进而根据勾股定理得结论 （3）分为当点E在线段上时及当点E在线段的延长线上时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，是线段的中点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：． 证明：过点作交的延长线于点，连接， ． ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点E在线段上时， 设，则， ， ， 在中，， 由（2）得， ， ， 解得：， ； 当点E在线段的延长线上时，如图， 过点作，与的延长线交于点，连接， 设，则， ， ， 则，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，关键在于构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$