专题02 双角平分线与角n等分线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的度数． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 一、单选题 1．如图，平分，平分，，，则的度数为（    ） A．45° B．50° C．65° D．70° 2．如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．把一副三角板（其中）与（其中）按如图方式拼在一起，其中点在同一直线上．若平分平分，则（    ） A． B． C． D． 4．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．已知如图，，是的平分线，是的平分线，且，则的度数为 度 6．一副三角板与如图摆放，，，平分，平分，则的度数为 ．    7．已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 8．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 三、解答题 9．如图，点在同一条直线上，分别平分． (1)求的度数； (2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数． 10．如图，已知是内的一条射线，且平分平分是内的一条射线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 11．如图，是的平分线，是的平分线． (1)当，时，求的度数； (2)当，时，求的度数． 12．如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，，即可求出； （2）由角平分线的定义可得出，．由此得到，从而可求出答案． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的角的运算，与补角有关的运算．解题的关键是根据题意结合图找出角之间的数量关系． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； （1）①根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴ （2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得射线在内部，则可分：当射线在内部时，当射线在内部时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：因为射线平分，， 所以， ∵， ∴； 故答案为； （2）解：因为射线和射线分别平分、，， 所以， 因为， 所以， ∴； （3）解：因为射线平分， 所以， 因为， 所以， 由可知射线在内部，则可分： 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 综上所述：或． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 一、单选题 1．如图，平分，平分，，，则的度数为（    ） A．45° B．50° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，解题的关键是掌握角的和差与角平分线的定义．利用角的和差与角平分线的定义计算． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C 2．如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本几何图形中的角度计算，角平分线的含义，掌握角度的运算法则是解题的关键．根据题意计算出，，的度数，再根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分，平分， ∴ ∴， 故答案为：B． 3．把一副三角板（其中）与（其中）按如图方式拼在一起，其中点在同一直线上．若平分平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差和角平分线的意义，先根据平角的定义计算出，再根据角平分线的意义得出，最后根据求解即可． 【详解】∵点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 故选：B． 4．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 二、填空题 5．已知如图，，是的平分线，是的平分线，且，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差是解题的关键．设，即可得到，根据角平分线的性质得到，即可进行解答． 【详解】解：设， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．一副三角板与如图摆放，，，平分，平分，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线．根据角平分线的定义分别表示出、，再根据角之间的关系求出，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 【答案】或 【详解】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合的度数可求解． 【解答】解：当射线在的内部时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线上方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线下方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 8．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，考查角的计算， （1）根据，则，由此可得出结论； （2）根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；然后分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值； 解题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，， ∴， ∵将顺时针旋转（）得到， ∴， 分两种情况： 如图，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上所述，的值为或． 三、解答题 9．如图，点在同一条直线上，分别平分． (1)求的度数； (2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系． （1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果； （2）分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， 则， ∵， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， 当在上方时， ； 当在下方时， ； 综上，为或． 10．如图，已知是内的一条射线，且平分平分是内的一条射线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和角的和差倍分． （1）先求出，根据角平分线求出，即可求出的度数； （2）求出，得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵平分 ∴ ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，是的平分线，是的平分线． (1)当，时，求的度数； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的有关计算． （1）先求出度数，再根据角平分线的性质求出和的度数，代入求出即可； （2）先用、表示出度数，再根据角平分线的性质表示出和的度数，代入即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即． 12．如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①根据旋转速度及时间求得，然后根据角平分线的概念和角的和差分析计算； ②当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ． ． （2）解：①当时，， ∵平分平分， ∴， ∴, ∴； ②的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$