专题01 线段中双（多）中点模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题01 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 6 12 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 例2．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 例3．如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 例4．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    例2．如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点、在数轴上所对应的数分别为、．若将向左平移个单位，向右平移个单位．当点、为线段的三等分点时，则的值为 ．    例3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 例4．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 一、单选题 1．如图，C是线段上一点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图， 点在同一直线上，为的中点， 为的中点， 为的中点，则下列说法： ，，， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为（   ）    A．8 B．4 C．4或8 D．4或16 4．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；…这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，若，，，两点在线段上，点为的中点，则的长为 ． 6．如图，B、D在线段上， ，线段、的中点E、F之间距离是，则 ． 7．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点：依此类推……，线段的长为 ． 8．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 三、解答题 9．如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 10．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 11．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 12．如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.    （1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______. （2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由. 13．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 14．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 15．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 6 12 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可． 【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 例2．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又， ，解得， （）， 即线段的长为． 故答案为：． 例3．如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 【答案】说明见解析 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得，再根据线段中点的定义及表示出，即可说明问题．解题的关键是理解线段的中点定义：一条线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分为相等的两条线段． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 由题意及图形知：点在线段上， 即是线段的中点． 例4．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 例2．如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点、在数轴上所对应的数分别为、．若将向左平移个单位，向右平移个单位．当点、为线段的三等分点时，则的值为 ．    【答案】或6 【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的性质、线段n等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知，再根据分点、的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵点、在数轴上所对应的数分别为、， ∴，即等边三角形的边长为， ∵向左平移个单位，向右平移个单位， ∴点、是线段的三等分点分两种情况： ①点在点的左边时，如图所示， ∵、是线段的三等分点， ∴， ∵，， ∴， 解得：；    ②点在点的右边时，如图所示， ∵、是线段的三等分点， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上可知：．当点、为线段的三等分点时，则的值为或． 故答案为：或．    【点睛】本题考查等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等．也考查了平移的性质、数轴上两点之间的距离、三等分点的意义和一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 例3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考出来线段的和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，进而求出，则，由此即可得到； （2）设，则，．根据题意，得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则，，． 根据题意，得， 解得． ∴的长为． 例4．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 一、单选题 1．如图，C是线段上一点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，有关线段中点的计算； 由线段中点的定义得，，由线段的和差得，即可求解． 【详解】解：是的中点，是的中点， ，， ， 故选：A． 2．如图， 点在同一直线上，为的中点， 为的中点， 为的中点，则下列说法： ，，， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了中点的有关计算，线段和差，由为的中点， 为的中点，为的中点，则，，，然后结合图形，进行计算，即可判断，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】∵为的中点， 为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∴，正确，错误； ，正确； ，正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为（   ）    A．8 B．4 C．4或8 D．4或16 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了新定义，线段中点的有关计算，线段的和差；①当在线段上时，由线段的和差得，，由新定义得，即可求解；②当在线段上时，同理可求；理解新定义，能熟练用线段和差表示所求线段是解题的关键． 【详解】解：①当在线段上时，如图，   点为线段的中点， ， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ， ； ②当在线段上时，如图，   点为线段的中点， ， ， 点是折线的“折中点”， ， ， ； 线段的长为或； 故选：D． 4．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；…这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．．； ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．如图，若，，，两点在线段上，点为的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出的长，再根据线段中点的定义求出的长，最后根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，B、D在线段上， ，线段、的中点E、F之间距离是，则 ． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系、两点间的距离 【分析】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．先设，由题意得，，，再根据中点的定义，用含x的式子表示出和，再根据，且E、F之间距离是，所以，解方程求得x的值，即可求，的长． 【详解】解：设，则，，， 点E、点F分别为、的中点，，， ， ， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：12． 7．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点：依此类推……，线段的长为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：因为线段，是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； ， 所以， 所以， 故答案为：． 8．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】20或4 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 三、解答题 9．如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是两点间的距离． （1）先根据题意得出及的长，再根据中点的定义得出线段的长； （2）根据中点的定义得出线段的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）解：∵为的中点， ∴， ∴． 10．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 11．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.    （1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______. （2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由. 【答案】（1）10，10；（2）的长不会发生改变，且. 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、线段n等分点的有关计算 【分析】（1）由点P表示的有理数为0可得出AP、BP的长度，根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度，再由MN＝MP+NP即可求出MN的长度；当点P表示的有理数为1时，利用同样的方法求解即可； （2）设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5），分﹣10＜a＜5及a＞5两种情况考虑，由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度（用含字母a的代数式表示），根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示），再由MN＝MP+NP（或MN＝MP﹣NP），即可求出MN的长，进而可作出判断． 【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0，则AP＝10，BP＝5． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP＝AP＝，NP＝BP＝， ∴MN＝MP+NP＝+=10； 若点P表示的有理数是1，则AP＝11，BP＝4． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点， ∴MP＝AP＝，NP＝BP＝， ∴MN＝MP+NP＝+=10． 故答案为：10，10； （2）MN的长不会发生改变，理由如下： 设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5）． 当﹣10＜a＜5时，如图1，AP＝a+10，BP＝5﹣a． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)， ∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；    当a＞5时（如图2），AP＝a+10，BP＝a﹣5． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)， ∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10． 综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长不会发生变化，且为定值10．    【点睛】本题考查了两点间的距离、线段三等分点的概念和整式的加减运算，解题的关键是：（1）根据三等分点的定义表示出MP、NP的长度；（2）分﹣10＜a＜5及a＞5两种情况求出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示）． 13．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 【答案】（1）①；②;（2）或或或 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段之间的数量关系、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解； （2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可． 【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB， ∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s， ∴QB=2PC， ∴CQ=2AC-2PC=2AP， ∴ ②设运动秒 ， 分两种情况 A:在右侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ B:在左侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ （2）∵BC=2AC． 设AC=x，则BC=2x， ∴AB=3x， ①当D在A点左侧时， |AD-BD|=BD-AD=AB=CD， ∴CD=6x， ∴ ； ②当D在AC之间时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x+CD-x+CD=CD， x=-CD（不成立）， ③当D在BC之间时， |AD-BD|=AD-BD=CD， ∴x+CD-2x+CD=CD， CD=x， ∴； |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， ∴CD= ； ④当D在B的右侧时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， CD=6x， ∴． 综上所述，的值为或或或 【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． 14．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为 (3)存在，n为5，为 【知识点】数轴上的动点问题、数字类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解． （3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴， 又∵， ， ∴M点为5，N点为， 故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵， ∴中点所对应的数也为1， ∵， ， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴． ∴， ∴． ∴为，为． （3）解：存在，理由： ∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴， ∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令， ∴， ∴， ∴． ． 当表示的数为65时，， 解得：． 又∵和关于1对称， ∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 15．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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