专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 11 19 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 过点作于，则，再根据角平分线的性质定理得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作于， 点到的距离为， ， 是的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：． 例2．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．    (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 【答案】30 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：30． 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点到的距离为， 故选：B． 2．如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 延长交于点E，通过证明，得出，根据平行线的性质得出，则，进而得出，再根据，推出，得出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B．    4．如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、用SAS证明三角形全等（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，延长至，使，连接，， 由“” 可证. 可得，设，由等腰三角形的性质可得，根据角平分线定义求出，，根据平角定义求出，再根据三角形外角的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【详解】如图， 延长至，使，连接，，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵的和的外角角平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 二、填空题 5．如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．    【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键． 过点P作，垂足为M，，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明，再利用角平分线的性质证明，求得，即可由三角形面积公式求解． 【详解】过点P作，垂足为M，，垂足为N，如图，   是的角平分线， ， ，， ，， ， ，， ， 点D到的距离为3， ， ， 点D到PF的距离为3， ∴， 故答案为：9． 6．如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 7．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案． 【详解】解：作于点， 射线是的角平分线， ，， ， 的面积． 故答案为：． 8．如图，中．若，，是的角平分线交于点M，，垂足为点N．若，则 ． 【答案】6 【知识点】等腰三角形的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质．利用证明和，求得，，据此求解即可． 【详解】解：延长、相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 9．如图，在直角中，，平分，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，求的面积． (3)若，且，求的长． 【答案】(1) (2)16 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先利用直角三角形的性质求出，再利用角平分线的性质得到，再根据平行线的性质即可解答； （2）同理（1）证明，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答； （3）过点D作，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理证明，求出，利用勾股定理求出，设，则，求出，同理（2）得，设，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积； （3）解：如图，过点D作， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即， 同理（2）得， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练运用勾股定理实际解题的关键． 10．如图，为的角平分线．    (1)如图1，若于点F，交于点E，，．则_________； (2)如图2，若，，的面积是10，求的面积； (3)如图3，若，，，请直接写出的长(用含m，n的式子表示)． 【答案】(1)2 (2)24 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识， （1）利用证明，得，得出答案； （2）过作于，于，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）在上取，可得，根据和的高相等，面积比等于底之比可求出的长． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：2； （2）解：过作于，于，   为的角平分线， ， ，的面积是10， ∴， ， ， ， ∴的面积； （3）解：在上取，过作于，于，   是的平分线， ， 在与中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 为的角平分线， ， ∴， ∴， ， ． 11．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 12．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 14．【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 （2）如图②，在中，，为的邻补角的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究延伸】 （3）如图③，在中，，，，，为的角平分线，是的邻补角的角平分线时，请直接写出和的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、二次根式的混合运算、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在的延长线上取一点G，使，连接，可证明，得，，可推导出，则，所以； （3）在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H，，根据等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义及勾股定理分别计算，，的长，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在上截取，连接，如图1， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图2，在的延长线上取一点G，使，连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 的面积． 【点睛】此题是三角形的综合题，重点考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，运用类比的方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 11 19 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为 ． 例2．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．    (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 一、单选题 1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 4．如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．    6．如图，中，平分，于点，，，则 ． 7．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 8．如图，中．若，，是的角平分线交于点M，，垂足为点N．若，则 ． 三、解答题 9．如图，在直角中，，平分，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，求的面积． (3)若，且，求的长． 10．如图，为的角平分线．    (1)如图1，若于点F，交于点E，，．则_________； (2)如图2，若，，的面积是10，求的面积； (3)如图3，若，，，请直接写出的长(用含m，n的式子表示)． 11．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 12．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 13．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 14．【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 （2）如图②，在中，，为的邻补角的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究延伸】 （3）如图③，在中，，，，，为的角平分线，是的邻补角的角平分线时，请直接写出和的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$