专题03 遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 13 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则 ． 例2.如图，已知在（）中，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分且交于点，则的长为 ． 例3.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 例4.如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 例2.如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 例3.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1.如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______． A． B． C． D． ②求得的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且． (3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度． 一、单选题 1．如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 二、填空题 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 5．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 6．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 三、解答题 7．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 8．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 9．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 11．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 12．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 13 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线定理，根据矩形的性质可知，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 矩形， ， 分别是的中点， ， ， ． 故答案为：． 例2.如图，已知在（）中，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分且交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，延长到使得，连接，先由线段中点的定义得到，再由过点的直线将的周长平分且交于点，推出，则可得到，利用勾股定理求出，则由三角形中位线定理可得． 【详解】解：如图所示，延长到使得，连接， ∵为边上的中点， ∴， ∵过点的直线将的周长平分且交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵D、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 例3.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，过A作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：3． 例4.如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、勾股定理逆定理，连接，取的中点，连接、，由勾股定理逆定理得出，再根据三角形中位线定理得出，，，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：连接，取的中点，连接、， ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵M，N，分别为，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形你斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出，连接，得，过点作于点M，运用等积法求出，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，故可得结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 连接，如图， ∵是的中点， ∴ ∴， 过点作于点M， ∵, ∴； 根据垂线段最短可得，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，如图， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 例2.如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴F是中点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 例3.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，余角的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键. （1）连结，证明得，然后根据余角的性质即可证明； （2）由勾股定理求出，从而求出，由直角三角形斜边的中线得，从而，然后再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：连结 是边上的高线 是边上的中线 是边上的中点 点是中点 （2）解： 点是中点 是边上的中点 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1.如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______． A． B． C． D． ②求得的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且． (3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度． 【答案】(1)（1）①B；②C (2)见解析 (3)6或 【分析】（1）根据作图结合，以及三角形的三边关系进行作答即可； （2）先证明，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）分为的中位线，以及不是的中位线，两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵点D为的中点， ∴， 又， ∴； 故选B； ②∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C； （2）证明：延长到，使，连接， 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ． （3）的长度为6或． ①当为的中位线时，如图1，． 点Q是的中点，点C为的中点， ． ②如图2，当不是的中位线时，连接，取的中点E，连接，过点P作于点F，过点F作于点N，过点Q作于点M． 为等腰三角形， ， ， ， ． 为的中点，Q为的中点， 是的中位线， ， ， ． ， ， ， ，即， ，即． 综上所述，的长度为6或． 一、单选题 1．如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 延长交于点，由题意可得，为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴是的中位线， ， ∴当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中，， ， 的最大值， 故选：B． 3．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解， 本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由∵是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 【答案】5 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ，G是的中点， ．， ． 故答案为：5 5．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为1． 6．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 【答案】2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，三角形中位线定理是解答此题的关键．求出，证明，取的中点G，连接，，证明点E、F、G三点共线，得到是的中位线，是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：中，，， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 取的中点G，连接，，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴点E、F、G三点共线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴ ∴ 故答案为：2． 三、解答题 7．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积是四边形的面积的2倍，理由见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证，再通过全等三角形性质即可得证； （2）先通过全等性质得到，再通过中线基本性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：的面积是四边形的面积的2倍，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 8．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 9．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 10．如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键． （1）①结合题意，通过证明，证明； ②由折叠的性质可知，又，从而证得； （2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证； 【详解】（1）①点是的中点， ． 由折叠，得，． ， 是的一个外角， ． ， ， ． ②如图，连接，记与的交点为， 由折叠，得， ． 由①，得， ， ． （2），理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ，，． 点是的中点， ． ， ，． 由折叠，得， ， ． 在中，由勾股定理，得 11．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 【答案】(1)①，②；， (2)，证明见详解 (3)4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质、平行四边形的判定以及性质和勾股定理， （1）由题可得即为的中位线，即，且，①有题意可得，继而可知则，那么，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得；②由题意得，同理可得，，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得； （2）连接，由已知可知与、与的比例关系，设，由此可得、的长，依次将线段长代入和中，即可求解； （3）由题可知，，设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题可得即为的中位线， ，且， ①当时， ， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， 则在中，， ∵是的中线， ； ②当时， ， 同理可得，， 则在和中， ， ． （2）猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如图，连接，    ∵，是的中线， ∴是的中位线． ，且． ． 设，则， 在中，①； 在中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． （3）解：设AF，BE交于点P．取AB的中点H，连接FH，AC．如图，    ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 是“中垂三角形”， ， 即， ． 12．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；②2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$