专题05 遇到角平分线如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题05 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 17 24 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 例3．如图，为的角平分线．    (1)如图1，若于点F，交于点E，，．则_________； (2)如图2，若，，的面积是10，求的面积； (3)如图3，若，，，请直接写出的长(用含m，n的式子表示)． 例4．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 例2．如图，中，平分，于点，，，则 ． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 例4．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 14．【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 （2）如图②，在中，，为的邻补角的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究延伸】 （3）如图③，在中，，，，，为的角平分线，是的邻补角的角平分线时，请直接写出和的面积． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 例2．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 一、单选题 1．如图，是的角平分线，为上任意一点，，垂足为点，且，则点到射线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．9 3．如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 5．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 8．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 三、解答题 9．如图，是的角平分线，点E在的延长线上，且，交的延长线于点F，求证：． 10．课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 11．在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出你的猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对你的猜想给予证明） 12．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 13．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 14．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 17 24 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点到的距离为， 故选：B． 例2．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案． 【详解】解：作于点， 射线是的角平分线， ，， ， 的面积． 故答案为：． 例3．如图，为的角平分线．    (1)如图1，若于点F，交于点E，，．则_________； (2)如图2，若，，的面积是10，求的面积； (3)如图3，若，，，请直接写出的长(用含m，n的式子表示)． 【答案】(1)2 (2)24 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识， （1）利用证明，得，得出答案； （2）过作于，于，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）在上取，可得，根据和的高相等，面积比等于底之比可求出的长． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：2； （2）解：过作于，于，   为的角平分线， ， ，的面积是10， ∴， ， ， ， ∴的面积； （3）解：在上取，过作于，于，   是的平分线， ， 在与中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 为的角平分线， ， ∴， ∴， ， ． 例4．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 例2．如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 例4．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 14．【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 （2）如图②，在中，，为的邻补角的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究延伸】 （3）如图③，在中，，，，，为的角平分线，是的邻补角的角平分线时，请直接写出和的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、二次根式的混合运算、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在的延长线上取一点G，使，连接，可证明，得，，可推导出，则，所以； （3）在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H，，根据等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义及勾股定理分别计算，，的长，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在上截取，连接，如图1， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图2，在的延长线上取一点G，使，连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 的面积． 【点睛】此题是三角形的综合题，重点考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，运用类比的方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 一、单选题 1．如图，是的角平分线，为上任意一点，，垂足为点，且，则点到射线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 又是的角平分线，，， ， 即点到射线的距离是3， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．9 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】先证明∠ACD＝∠EDC得到GD＝GC＝6，然后证明∠ABD＝∠EDB得到BE＝DE＝EG＋DG． 【详解】解：∵CD平分∠ACF， ∴∠ACD＝∠FCD， ∵， ∴∠FCD＝∠EDC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴GD＝GC＝6， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵， ∴∠FBD＝∠EDB， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝DE＝EG＋DG＝2＋6＝8，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分，证明BE＝DE是解决问题的关键． 3．如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 4．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 二、填空题 5．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再由等角对等边得，再由即可得解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 故答案为：5． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形的外角的性质；延长交于点，证明进而得出，根据三角形的外角的性质可得，证明是等边三角形，则，进而根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形，则 ∴ 故答案为： 8．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边． （1）利用角平分线的性质定理判断即可； （2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案． 【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等， 点是的角平分线的交点． 故答案为：角平分线； （2）共有6条线路：，，，，，， 在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 在中， 推出， 同理，，，， 最短， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，是的角平分线，点E在的延长线上，且，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见详解 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质,等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 延长相交于点，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边可得，再根据等量代换即可得证． 【详解】解：如图，延长相交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见详解；（3）6；（4）见详解 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质并正确做出辅助线． 解：根据角的平分线的性质即可解答． （2）证明，根据全等三角形的性质即可证明． （3）如图，过点P作交的延长线于点H，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，，，根据四边形的面积即可求解． （4）设 中 边上的高为 ，则 ， ．过点 分别作 于点 于点 ．根据角的平分线的性质得出，结合，求两个三角形面积比即可证明． 【详解】（1）解：角的平分线有以下性质：角平分线上的点到角的两边距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作交的延长线于点H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积． （4）解： 设 中 边上的高为 ，则 ， ． 如图，过点 分别作 于点 于点 ． ∵ 是 的平分线， ， 又 ∵， ， ． 11．在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出你的猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对你的猜想给予证明） 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键． （1）过作，交于点，由为的平分线，，，可得，易证，可得，，又由，推出，根据线段的和差即可求解； （2）．在上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． （3），理由为：在上截取，连接，同（2）即可得证． 【详解】（1）过作，交于点， 如图①所示， 为的平分线，，， ， 在和中，，， ， ，， ， ， 又， ， ， 则； （2）， 理由为：在上截取，连接，如图②所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 则， 故答案为：； （3）， 理由为：在上截取，连接，如图③所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，，即， ， ， 又， ， ， 则， 故答案为：． 12．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 13．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解，（2），理由见解析；（3）2 【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接，如图， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图， 同理可证：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$