专题04 遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题04 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 10 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 15 22 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 延长交于点，由题意可得，为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 例2.如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 【答案】5 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ，G是的中点， ．， ． 故答案为：5 例3．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 【答案】2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，三角形中位线定理是解答此题的关键．求出，证明，取的中点G，连接，，证明点E、F、G三点共线，得到是的中位线，是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：中，，， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 取的中点G，连接，，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴点E、F、G三点共线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴ ∴ 故答案为：2． 例4．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 例5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 【答案】(1)①，②；， (2)，证明见详解 (3)4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质、平行四边形的判定以及性质和勾股定理， （1）由题可得即为的中位线，即，且，①有题意可得，继而可知则，那么，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得；②由题意得，同理可得，，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得； （2）连接，由已知可知与、与的比例关系，设，由此可得、的长，依次将线段长代入和中，即可求解； （3）由题可知，，设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题可得即为的中位线， ，且， ①当时， ， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， 则在中，， ∵是的中线， ； ②当时， ， 同理可得，， 则在和中， ， ． （2）猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如图，连接，    ∵，是的中线， ∴是的中位线． ，且． ． 设，则， 在中，①； 在中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． （3）解：设AF，BE交于点P．取AB的中点H，连接FH，AC．如图，    ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 是“中垂三角形”， ， 即， ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 例2．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解， 本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由∵是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 例3．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积是四边形的面积的2倍，理由见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证，再通过全等三角形性质即可得证； （2）先通过全等性质得到，再通过中线基本性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：的面积是四边形的面积的2倍，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 例4.如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键． （1）①结合题意，通过证明，证明； ②由折叠的性质可知，又，从而证得； （2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证； 【详解】（1）①点是的中点， ． 由折叠，得，． ， 是的一个外角， ． ， ， ． ②如图，连接，记与的交点为， 由折叠，得， ． 由①，得， ， ． （2），理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ，，． 点是的中点， ． ， ，． 由折叠，得， ， ． 在中，由勾股定理，得 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； [问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． [问题探究]：结论：，证明如下： 延长线，相交于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例2．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；②2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 一、单选题 1．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键； 连接，由，点E为的中点，根据等腰三角形的性质得到，并且，在中利用勾股定理可计算出，然后根据三角形面积公式得，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接，   ，，，点E为BC的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 故选：D． 2．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 3．如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理算出，作点D关于的对称点F，连接，根据轴对称的性质得出，取的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线定理得出，即可求出，，根据，得出故当三点共线时，最小， 根据勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点F，连接， 则， 取的中点， ∵点E为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， 故当三点共线时， 则最小， 最小值． 故选：A． 二、填空题 5．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 7．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是等腰三角形，进一步得到则，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，与互相平分， ∴点O是与的中点，是等腰三角形， ∵点E为线段的中点， ∴，， ∴是等腰三角形，， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．    【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、垂线段最短、最短路径问题 【分析】作构造，再过点O作交于点D，，所以最小，根据含直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴. 如图，过点C作，过点O作交于点D，    ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴根据垂线段最短可知： 的最小值为：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线． 三、解答题 9．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 【答案】(1)①，② (2)360 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）①连接，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，再结合已知条件证明与全等，由全等三角形的性质可得 ；②由①得：，由全等三角形的性质可得，；在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可；则可得出的面积． （2）根据题意画出图形，连接，要求的面积，同（1）②可得是等腰直角三角形，即可求出的面积． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D为中点 ∴，， 又∵ ∴， 即， 在与中 ∴ ∴ ②由①得： ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∴ ∴= （2）根据题意画出图形，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， 在中，， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，以及勾股定理的应用，等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10．在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O． (1)如图1，M是中点，N是中点， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，则，，之间的数量关系为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①由三角形中位线定理可知，，即可证明结论； ②由中位线定理可知，，，，可证得，得，即可证明结论； （2）由题意可知，，，由（1）可知，，同理可知，设，，则，，由勾股定理可得，，，则，即：，即可得． 【详解】（1）证明：①∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴， 又∵M是中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； ②由①可知，是的中位线，是的中位线，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由题意可知，，， 由（1）可知，，同理可知， 设，，则，， ∵， ∴， ， ， 则，即：， ∴， ∴． 故答案为：． 11．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）延长至D，使，连接，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题； （3）连接，取的中点，连接，由（1）可知，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】证明：（1）延长至D，使，连接， ∵点O是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 解：（2）在中， 、分别是、的中点， ，， 在中， 是中点， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，取的中点，连接， 由（1）可知， 则点到四边形四个顶点的距离均为，即， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∴点到四边形四个顶点的距离． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 12．【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论； （2）连接，由，分别是，的中点，得，，由，分别是，的中点，得，，故，，从而四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据题意得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：（1）如图，延长到点，使，连接连接． ，， 四边形是平行四边形，平行且等于， 平行且等于． 四边形是平行四边形， 平行且等于． 又， ∴且； （2）四边形是平行四边形；理由如下： 连接，如图： ，分别是，的中点， ∴，， ，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、， 是的中点，是的中点， ，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边对等角等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 13．在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果； （2）过点作交的延长线于点，连接，证明得，，由垂直平分线的性质定理得，进而根据勾股定理得结论 （3）分为当点E在线段上时及当点E在线段的延长线上时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，是线段的中点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：． 证明：过点作交的延长线于点，连接， ． ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点E在线段上时， 设，则， ， ， 在中，， 由（2）得， ， ， 解得：， ； 当点E在线段的延长线上时，如图， 过点作，与的延长线交于点，连接， 设，则， ， ， 则，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，关键在于构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 10 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 15 22 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 例2.如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 例3．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 例4．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 例5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 例2．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 例3．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 例4.如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 例2．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 一、单选题 1．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 2．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 3．如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 6．如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为 . 7．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 8．如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．    三、解答题 9．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 10．在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O． (1)如图1，M是中点，N是中点， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，则，，之间的数量关系为______． 11．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 12．【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 13．在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$